某中学物理竞赛学习知识系统整编

物理知识整理

©知识点睛

惯性力

先思考一个问题:设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小

车的横向线度)之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后突然使小车向右对地作加速运动，这时小球将如何

运动呢？

地面上的观察者认为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律；

车上的观察者觉得：小球以一处相对于小车作加速运动；

我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场合下，他都强烈地要

求保留这一认知，于是车上的人说：小球之所以对小车有-处的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力

的大小为-〃?小;但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其它物体的作用，

物理上把这个力命名为惯性力。

惯性力的理解：

(1)惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。

(2)惯性力的大小等于研究对象的质量用与非惯性系的加速度&的乘积，而方向与a,相反，即•/=一吟

(3)我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为小.物体受相对此参考系

加速度为4牛顿定律可以写成：尸+『"=’加'其中尸为物理受的“真实的力”，产为惯性力，是个“假力”。

(4)如果研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处，

说明：关于真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这样说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。所以质疑和争论的人比较多。不过

笔者建议初学的时候不必较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。在这个问题的

思考中培养出爱因斯坦2.0版本的概率很低(因为现有的迷惑都被1.0版本解决了)，在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空

间的概念清晰起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。

极其不建议想不明白这问题的同学Baidu这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦吃，很容易对不懂的人

产生误导。

二.惯性力的具体表现(选讲)

1.作直线加速运动的非惯性系中的惯性力

这时惯性力仅与牵连运动有关，吧仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具有与恒定重力相类似

的特性，即与惯性质量正比。记为：r二一呵

2.做圆周运动的非惯性系中的惯性力

这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力：

/»♦_2

1）离心力为背向圆心的一个力：J=m0）r

2）科里奥利力概念比较麻烦（竞赛复赛阶段还考不到），这里就不做介绍了。大家只要了解当物体相对转动参考

系有相对运动时必须考虑科里奥利力就行了。计算公式如下：力*=2?疝相这是个叉积式。

总的来说惯性力可以用万有引力去等效，其本质都是引力场作用，“施力物体”都可以当成整个宇宙（还好不是

上帝）。所以我们在地球上上随着地球自转的时候，来自宇宙中遥远的群星正把我们往外拉（离心力），结果导致我们

对地面压力比地球对我们的引力小了不少。不过南北极极点的人受这种群星的引力就可以忽略不计。

这个观点比较雷人，很多人听到后感觉很痛苦，感觉完全不符合逻辑。其实只要摒弃物体间的相互与运动状态无

关的惯性思维就会舒服多了。当我们相对于某个天体静止时，天体对我们的引力与我们现对运动时不一样。这个理解

可以类比电磁学里洛伦兹力与静电力，它们都产生于电荷间但不同的原因在于前者有相对运动。当两个物体间有相互

作用的时候，它们是通过一种物质实现这种作用的，这种物质就是我们看不见但可以检测到的“场”，场力的特点是

与物体相对运动有关。实际生活中的一切现象都是场作用。

第一次世界大战期间，英、德在阿根廷附近马尔维纳斯岛的洋面上进行了一次大战。当德国军舰位于英国军舰北

方大约7km时，英舰炮手瞄准德舰开炮，炮弹全都落在德舰的左侧大约100多米以外的地方，也是由于神奇的惯性力

的作用造成的。（当然也可以理解为炮弹飞到目标位置时，德国人的舰船已经随着地球的自转跑到新的地方去了）

学习物理学我们应该可以意识到，这世上任何的事情没有绝对正确的解释，只有相对来说适用范围大，精确度高

的解释。物理课程在教学上一直强调两条：

1.讲到任何一个点，尽量在同学能接受的情况下，从这个点出发，给出将来大家要会继续学习的物理体系的框架，

避免那种"学习物理就是下一个老师否定上一个老师”的痛苦。

2.加强物理思想对我们同学思维习惯，认识方式的塑造，可能的话，甚至对人生观世界观加以引导。做到学懂物理

的人不会被各种迷信，各种哲学，各种“思想”，各种“主义”所蛊惑，学懂物理的同学进了清华北大也不自杀，不

出家。学懂物理的人对待任何事情抱着研究归纳的心态，眼光去面对，以惯有的，高超的类比能力，思维迁移能力，

总结能力去做人生道路上的任何事情。

©问题分类详解

3.“分离”问题

观察思考：

弹跳器是很多运动爱好者喜欢的运动，如图所示，人通过向下踩踏板，在弹簧缩短的过程中，人受到向上的

力，就把弹跳器从地面上拉起来了。粗略一想“道理”确实不难，不过对现象能做出定量的描述才是关键，比如中

国人发明了火药大炮，但是弹道学却让欧洲人的炮兵技术远远领先于中国（火炮确实是中国人发明的）。我们的问题

是，人是什么时候脱离踏板往上“飞出”，以至于把弹跳器拉离地面的？为了便于分析，我们忽略与力学无关的细

节，把问题描述成以下原理图，这个过程叫物理建模。

不妨把人用物块代表，质量设为M,弹簧质量忽略，踏板质量设为m,在人脱离踏板前，不考虑人的手对弹跳器

的力，当人离开踏板后，人再对通过手向上拉弹跳器，使之离开地面。问题是：在弹簧回复的过程中，踏板带着人向

上运动，当弹簧恢复到什么程度人会离开踏板？

人离开踏板前人与踏板运动细节如何？

777777777777

解析：显然分离时人的加速度几乎与踏板仍然一样，隔离人，此时人加速度为g,说明踏板也是这个值，人和踏

板相互作用力N=0,隔离踏板知其受合力等于其重力，所以是在弹簧原长处分离。这个问题也可以用惯性力去解决。

讲解的时候不妨多对熟知的结论（用向上的力拉地面上箱子，拉力等于重力时箱子离开地面）适用范围作出描述，并

把这个问题向着原有情景类比，训练学生类比能力。

二.“轻物”动力学分析

反思：

“轻”是物理习题中经常描述的词，指的的质量忽略不计的物体，这类物体动力特点很容易通过思考发现。大家

先不放思考一下：当我们用一根轻绳拉一个物体加速前进时，为什么我们对绳子的拉力等于绳子对物体的拉力？只

能用牛顿定律去解释，而不能用力具有传递性之类的理论.

总结是：“轻”物体在动力学中的行为特征是

1.受的力以及力矩的特点：

2.运动特点：

牛顿运动定律定理对流体静力学规律的拓展

流体力学是最古老的物理学之一，也是物理上在工业上后

一。在流体中使用牛顿运动定律比较复杂，比较容易想到的

是取一小片质点为对象，受力分析，这个方法能处理一些不

考虑压缩，静态的流体问题。复杂的情况，我们以后会逐步

在各章介绍一些。由于在工业上的应用广泛，流体力学发展

成了一门体系庞大的，模型与方程众多的独立学科。大学的

物理系的同学也不会太深入学习。一般来说，具有物理能力

的人不太了解流体力学的应用体系，熟悉方程的人又普遍缺

乏物理的思维能力。可以说，这方面我国的理论水平还远远

落后于发达国家，这些年我国在某些技术上有了些进步，但

是理论上的差距才是真正是级别性的差距，因为不是所有的

公式都会公开发表的，还有很多问题等待我们同学将来去突

破。

海啸

风动实验J20战斗机著名空气动力学家：钱学森（他讲的是什么）

有个两个简单的原理要先交代一下：

1：对每一个流体质元，其现对周围流体静止时受到的力都垂直与接触面，这是由于流体之间无静摩擦的原因,

可以看当成流体的定义。

2：对无穷小质元，忽略质量力（重力与惯性力）后各个面的压强处处一样，这个证明很容易用微元法实现，这

里就不证明了。这个原理其实就是帕斯卡原理，但是初中课本上表述的帕斯卡原理完全无法在负责情况下应用，这里

提醒大家不要用“液体能传递压强之类”的朴素理论分析问题。

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恒力作用下匀变速运动动力学分析思路

动力学的两类基本问题

应用牛顿运动定律解决的问题主要可分为两类：（1）已知受力情况求运动情况，（2）已知运动情况求受力情况.

分析解决这两类问题的关键是抓住受力情况和运动情况之间联系的桥梁——加速度.

基本思路流程图：

基本公式流程图为:

F<------------a<------------%,t，匕，x

▲A

1,

x=vt+-at

J-----<Q2

『ma匕z-%2=2“x

山

t2；

动力学问题的处理方法：

（1）正确的受力分析

物体进行受力分析，是求解力学问题的关键，也是学好力学的基础.

（2）受力分析的依据

①力的产生条件是否存在，是受力分析的重要依据之一.

②力的作用效果与物体的运动状态之间有相互制约的关系，结合物体的运动状态分析受力情况是不可忽视

的.

③由牛顿第三定律（力的相互性）出发，分析物体的受力情况，可以化难为易.

解题思路

（1）由物体的受力情况求解物体的运动情况的一般方法和步骤.

①确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力图.

②根据力的合成与分解的方法，求出物体所受合外力（包括大小和方向）.

③根据牛顿第二定律列方程，求出物体的加速度.

④结合给定的物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需的运动参量.

（2）由物体的运动情况求解物体的受力情况.

解决这类问题的基本思路是解决第一类问题的逆过程，具体步骤跟上面所讲的相似，但需特别注意：①

由运动学规律求加速度，要特别注意加速度的方向，从而确定合力的方向，不能将速度的方向与加速度的方

向混淆.②题目中求的力可能是合力，也可能是某一特定的作用力.即使是后一种情况，也必须先求出合力

的大小和方向，再根据力的合成与分解知识求分力.

知识点睛

概念引入

1.动量

⑴定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量，p=mv.

⑵动量表征物体的运动状态，是矢量，其方向与速度的方向相同，两个物体的动量相同必须是大小相等、方向相

同.

2.动量的变化量

®^=P,­Po-

②动量的变化量是矢量，其方向与速度变化的方向相同，与合外力冲量的方向相同，跟动量的方向无关.

③求动量变化量的方法：^p=p,-pv=mv2-mvt,\p=Ft

3.冲量

⑴定义：力和力的作用时间的乘积，叫做该力的冲量，l=Ft.

⑵冲量表示力在一段时间内的累积作用效果，是矢量，其方向由力的方向决定，如果在作用时间内力的方向不变,

冲量的方向就和力的方向相同.

⑶求冲量的方法：/=入（适用于求恒力的冲量）；/=即（适用于恒力和变力）.

—.动量定理

内容：物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的变化量.

1合=Ft=p'-p=m（y'-v）

三.知识理解

1.动量变化△〃：不指动量大小的变化，仍然必须用矢量计算，这个量是衡量动量大小方向总变化的一个物理量,

大部分时候我们会把复杂的动量变化分解到几个独立的方向上进行计算。

2.动量定理可以认为是牛顿第二定律的过程式。

3.相互作用力的冲量等大反向。

4.对一个整体，内力总冲量为零。

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阅读：动量守恒的发现史

动量守恒是人类最早认识到的守恒定律，也是最普遍成立的物理规律。人类很早就发现碰撞、冲击等力学过程中有明显的规律性，

但定量的描述这种规律却很难。最早对碰撞现象做过研究的人是伽利略，他曾常识通过测量冲击过程中的力去发现数学规律，不过他未

能如愿。伽利略的这个研究思路来源于他对力学现象的一贯理解：力是造成运动状态变化的根本原因。但在当时的实验条件下，去弄清

楚一瞬间的力显然是不现实的。实际即使到现代物理学中，在实验上严格定义和测量“力”也是不可能的。

1639年马尔西通过实验，发现了等质量弹性球碰撞时一个有趣的现象：把一串等质量的弹性球排成一条线，给其中一端的一个球初

速度，让这个球去撞击前方的球，结果这个球的速度最终传给了另一端的球，而其它球都停了下来。虽然马尔西的发现还非常“初级”，

但也极大的鼓励其他科学家的研究热情。后来的研究也集中到了对碰撞前后可测量物理量的分析上，而不再执着于研究碰撞的过程中的

力。

马尔西的碰撞实脸：炮弹在出膛后碰到静止等质量的铁球后会停下来，把速度传递给最前方的铁球，而且被撞击的铁球落地时射程

与不遇到任何障碍的炮弹射程一样。

后来在笛卡尔，惠更斯以及马略特等人的不懈努力下，总算找出了孤立体系（不考虑外界作用的的物体或物质构成的体系）动量守

恒的方程。并最终由牛顿对整个研究做了总结，这就是我们后来知道的牛顿第三定律：即在运动过程中物体间的相互作用也是等大反向

并同时进行的。在牛顿力学中，动量守恒可以看成牛顿定律的一个推论。

马略特通过小球摆起的高度来标识的球速高中实脸室通过小球的水平射程来标识球速

现代物理的发展揭示了牛顿力学的局限性，在微观以及接近光速的情况下，牛顿力学中概念体系完全崩盘，用牛顿力学完全无法理

解和预言微观以及高速下的物理现象。按说一度被视为牛顿定律推导式的动量守恒应该也不成立了，不过实验却发现，在微观以及高速

情况下，孤立体系的动量守恒依然是精确成立的。动量守恒定律在物理学中的地位一下子行情暴涨，和牛顿定律来了次上下级对调，成

了宇宙最基本的运行定律之一。

从讲义后文中的牛顿推导过程我们可以看出：牛顿用力的概念去理解动量守恒的实验结果，其实是又引入了“不同参考系时空间一

致”以及“能从实际世界中隔离出一个有精确质量的物体”等假设，结果导致很普适的物理定律被牛顿局限化了。应该说力的概念对于

理解宏观低速时的动力学情景确实是实用的，否则我们就得从能量动量的角度用微扰法去理解，需要使用的数学方法就会复杂的多。从

科普的角度，“力”的概念至关重要，它符合人的直觉的模糊思维，显得“形象简明”，而且有“切身感受二但是从严格的物理逻辑出发,

我们说，正是由于引入了“力”的概念，才导致近代物理学一开始就走入了一条越走越窄的死胡同。执着于用“力”解释一切的人，一

般会觉得现代物理不是真正的物理，而是一堆神经病的数学家入侵物理研究时玩的符号游戏。

我们不妨回头去看看当初我们从马尔西实验中获得的教训，实验上能测量的就是物体作用前后的动量，所以逻辑上根本没必要也不

应该去额外定义一个“力”的概念。如果说要考虑实验对象受的作用，直接用其动量的变化就可以衡量了，这正是现代物理学对力的定

义（力是动量随时间的变化率）。

1927年，玻特和贝克用a粒子（高速的氮原子核）轰击金属钺时，发现了一种穿透力很

强的中性射线。1932年查德威克用这种射线去轰击氮原子核，并通过类比弹性球碰撞

的理论计算出这种射线其实是质量约等于质子质量的中性粒子，这就是多年前卢瑟福

大神预言的中子。由于查德威克的发现中子的贡献，他获得了1935年的诺贝尔奖。（温

馨提示：要想拿诺奖，打入顶级物理学家的团伙是省力省距离的好办法

沃尔夫冈•泡利（1900〜1958）,性格犀利，言辞更犀利的天才级物理学家。1930年，泡利在研

究。袤变（原子核内中子变成质子并辐射出电子的现象）辐射能量连续的问题时，发现一个令他纠

结的事，要么。衰变中能量与动量不再守恒，要么是还存在着一种用当时一切探测仪器也无法探测

到的“鬼粒子”，他果断选择了后面一种判定，这种粒子就是一直到今天依然困扰着理论物理学家的

“中微子（中微子早在1956年被实验证实存在，但关于中微子的很多实验结论却总是出人意料，

比如最近又爆出测出中微子速度超光速的现象，这让相对论受到前所未有的挑战）。

相对论中的雷人结论:一个静止时为质量

为m的物体，一旦速度变为%质量变为：

即运动的物体质量比静止时大，原因是相互作用过程中动量和质量守恒。

--动量守恒定律的推导：

【概念梳理】

系统：我们通常把研究对象有多个物体统称为一个系统。

内力：系统中各物体之间的相互作用力叫做内力。

外力：外部其它物体对系统的作用力叫做外力。注意在高中的力学问题中重力永远是外力，因为高中范围内的问题

中我们不会把物体和地球取做一个系统。

推导

如图所示，两个物体在碰撞的过程中，它们发生的形变不断变化，因此它们之间的相互作用力是变力，取其平

均值，作受力分析图，对小球1和小球2分别使用动量定理，如式（1）和式（2）,再根据牛顿第三定律列式（3）

F-©

则有：

mv

Ft=加1M-\\

F't=m2v'2-m2V2

F=-F'

mv

变形得:仍巧+m2V2—\\+“%

这就是动量守恒定律：要注意从动量守恒定律在牛顿力学范围内看起来是牛顿定律的推论，实际它适用的范围

是广于牛顿定律的，在高速作用和微观状态中，牛顿定律早已经不在成立，但是动量守恒认严格成立。这里的“推

导”其实是牛顿式的推导。

动量守恒运用总结

（1）内容：相互作用的物体，如果不受外力作用，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变.％=（）p=p'

或僧]匕+m2v2=mxv,'+m2v-,,

（2）动量守恒定律的研究对象是两个或两个以上物体所组成的系统.

（3）动量守恒定律的三种使用条件是：

a：系统不受外力或所受的合外力为零.这种情况可以叫“严格守恒”。

b：系统所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则在此方向上系统的动量守恒.这种情况可以叫“分

量守恒”。

c：系统所受的合外力不为零，但系统内各物体作用的内力远远大于系统所受的合外力，例如碰撞、爆炸、打

击、反冲运动等现象，如果在作用时间很短时均可认为内力很大，此时系统内各物体的动量变化主要是由内力引起

的，外力的冲量可以忽略，这种情况可以叫“近似守恒”。

©知识点睛

三.动量守恒的动力学理解：

从牛顿第二的整体式出发我们可以推导出动量守恒定律的质心式，我们知道，质心的坐标式为：

X；加内+…+型氏（变化式为:X，加2AX2.•,+-”©，，）

n\+m2—\-mn'+m2—\-mn

又位置对时间的变化率为速度V=竺Ar

那么由上式可得匕=+…+驾即：质心的速度等于总动量与总质量的比.

叫+叫.••+机〃

又速度对时间的变化率为加速度a=包

△t

EH

那么由上式可得ac=——2——

m]+m2—\-mn

由牛顿第二定律得ZE=m}a[+m2a2---+mnall^；系统的合力与总质量决定质心处加速度。动量守恒的条件

是合外力为零，那么动量守恒的体系质心加速度为零，即质心处于匀速或者静止态。

©知识点睛

曲线运动中的加速度

我们研究曲线运动，运用的坐标系不同，加速度分量式是不同。物理学研究的时候根据研究问题的特点不同，采

用的坐标系经常不一样，比如直角坐标系，自然坐标系，极坐标系，球坐标系，注坐标系等，在高一暑假的讲义上,

我们曾经铺垫过一些，本讲继续讨论。

在普通的直角坐标系中，分加速度容易理解，每个坐标方向相互独立。

记为：

_Av

cix----v

-Avv

ay=——

N

-Av,

。二=---

△t

对应的动力学方程就是牛顿定律分量式，具体的应用参考我们对于抛体以及恒力曲线运动的处理，这个方法比

较适合恒力作用下的曲线运动。由于浅显易懂，本讲不再重复.

1.自然坐标系以及加速度分量

除了直角坐标系以外，我们还经常会用自然坐标系研究加速度。有一类曲线运动是在已知轨道上进行的，这时,

可以在轨道上任取一参照点。，这样就可以在轨道上用到。的距离来表示运动方程。这就是自然坐标，实际初中

物理中的匀速率运动公式5=以就是这个坐标系中的方程。

我们把运动方向叫切向，垂直运动方向叫法向。对应的，每个方向的加速度叫切向加速度，与法向加速度。下

面用数学推导相应的加速度。当质点做曲线运动时，一般速度的大小和方向都在变化。为计算P位置加速度，将速

度增量Au分解为与02平行的分量和马垂直的分量△区，如图：

质点在P的加速度为

Av,

a=lim-----=lim+lim

A/->OArA/->O△tA/—>O△t=«+4

其中“r，。〃就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有规律：

易从相似三角形得：an=也=<yv.

其中R为P位置的“曲率半径”，

2

由于0=一.所以还有：a=cov-CO2R=—

R"R

如果物体做圆周运动，这个加速度又叫向心加速度，向心加速度的规律最早由惠更斯在研究匀速圆周运动时发

现。惠更斯发现：做匀速圆周运动的物体，其受合外力总是正比于物体质量，正比于物体速度平方，反比于其圆轨

道半径。记为：

F这就是高中教材上的圆周运动向心力定理。

"R

应该说这个结论还是很实用的，虽然只是我们推论中的一个特殊情况。

由于暂时我们的同学对于向量微分的运算还不了解，为了把上述推导在极坐标系里推广，必须把自然坐标系的

计算结果做一个形象的总结。

【总结】

（1）改变一个速度的大小的加速度分量与速度共线，由速度大小变化率决定。

（2）改变一个速度方向的加速度与该速度垂直指向旋转的内侧，大小正比于速度与角速度乘积。

利用以上推论我们引入极坐标里的加速度

2.极坐标系以及加速度分量

极坐标以到参考点。（又叫极点）的距离0以及到参考射线（极轴）的夹角。来描述平面内的点（0,e）,

其数学优点是某些平面坐标系里的很复杂的曲线方程很简单（比如以极点为圆心的圆的方程为°=R）。极坐标在

物理上的优势是描述一些既沿着径向运动，又绕着固定点的旋转的运动比较直观。

比如椭圆轨道卫星的运动，我们关心卫星到地面高度以及方位角。又比如我们以前学习运动关联时候用绳子或

杆衔接的物体，既有径向速度，又有转速。都比较适合极坐标，如图：

水平向左运动的物体B的速度分解为沿着绳子的分量力以及垂直绳子的转速也，根据自然坐标系得到的加速

度计算原理：

1.在绳子方向（径向）上一共是两个加速度，一个改变以大小，与拉绳子的加速度大小一致，另一个改变匕方

2

向，大小〃=上」。

RAB

2.在垂直绳子方向（垂向，注意不是切向）也有两加速度，一个改变匕大小，另一个改变以方向，注意这个

2

加速度不等于，而等于丫3=乜这。

RABRAB

专业的力学教材还会对这些加速度中的某些项取一堆形象的名字方便记忆，比如著名的科里奥利加速度，平面

系5个加速度等。由于这个加速度过于依赖向量微分的理解，这里就不引入了。

期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣，因为很复杂的物理情景理解问题在向量

微积分里可以简化为几个简单的算符。

物理竞赛的教学一种灌输一种观点，那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上物理的同学一

般都是因为物理对现实的超理性理解。但多数喜欢物理的人进入大学后都容易对脱离实际现象的数学运算产生排斥

感和畏惧感，希望同学们尽量的克服。一旦我们弄懂一个方程运算可以处理的实际情景之广泛，就会疯狂的喜欢上

这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点，方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的量减少为最

少。

从现实的角度，很多喜欢物理而且具备很高物理直觉天赋的同学最终在学习物理的过程中被郁闷，基本都是因

为不适应物理的数学描述方式。我们提倡数理结合一起理解物理的教学观点也是希望更早的开始帮助我们同学克服

上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远，与其被数学语言虐，不如学会去享受它。

当然如果我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下，物理确实不需要过多的数学语言去表达它。即便从

概念以及逻辑思辨的角度去学习物理，物理也是很美丽很迷人的，因为他可以几乎可以无限的满足人先天本能中那

种无法抑制的探索欲与求知欲。

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一.功

物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作功。功表征了力对空间的累计效应。

1.恒力做功

在恒力产作用下质点沿直线发生了一段位移则在此过程中，力对质点所做的功按以下计算:

W=FA/cos0

其中6为尸与△/的夹角。这个公式记为矢量的点乘式为：

W=F-M

功的单位为焦耳(J),其中L7=lN-m

注意：

①功为标量，但有正负：

(6?e(0,-),cos^>0JK>0力对物体做正功;

2

7t

《e=—,cos8=0"，=0力对物体不作功:

9

、（工、万）,cosHvOJP<0力对物体做负功

4

②多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。

证明：W=ZQA/=(耳+6++/)•△/=叱+叱++叫=>^叱

③功的计算式中位移是受力质点作用点的参考系位移0

1.如图：拉力F对球做功等于打,但弹簧对墙做功为0。

2.如图：一子弹射入一个可以自由移动的木块，设相互作用大小为F,则：

子弹队木块做功：FS

木块对子弹做功：-F〃+5)

这样的定义必然导致相互作用力的总功不一定为零，这和相互作用力冲量很不一样，所以当我们对于一个系统

进行功的计算时，必须考虑内力。恒定的相互作用力的总功为皿=齐万，其中d为相对位移。功的定义导致功的计算

依赖参考系的选取，但是相互作用力的总功与参考系的选取无关。中学阶段只要不刻意强调，功指的都是对地的功。

④易证明恒力做功与轨迹无关，只取决于恒力方向上的位移。

如轨迹为曲线，可以把曲线看成无穷多段，如图，设恒力碓用下一物体，从。位置运动到6位置,把轨迹分成无

穷段，分别为△//A/2.A/3-

整个过程中做功为

W=F-\lx+F-A/9+F•A/3•••=F•A/g=F2F

其中△。为尸方向上位分位移，与尸同向取正，反之取负。

实例:

如图，用水平恒定的拉力尸，把一个质量为根的球拉至新位置，拉力做功为列，重力做功为机g/l。

2.变力做功

微元思想给出了变力做功的计算方法，无限分割路径，以直线段代替曲线段，计算每一小段功，累加即可，可以把

功当做力对路径的路径积分。

作出尸cos。/的函数图像，曲线与横轴所围面积表示功的大小:

八尸cos。

如图：弹性系数为k的弹簧，在弹力的作用下，从距原长为X。收缩到X,作出弹力随着位移的函数图象，规定向右

为正。图中阴影部分面积为弹簧对物体做功。

由面积公式：△卬=《此-；区2

3.功率

单位时间做功为功率，用字母尸表示，则功率定义式为:

pl

Ar

其中△，代入总时间则计算得平均功率，△/趋近于零则计算为瞬时功率，瞬时功率还可用uncos。计算，其

中《为F与v夹角。

4.功与动能

计算功的目的是什么？功也是力的一种效果，定性的可以想到一定也是改变了与物体运动状态有关的一个物理量

。以下我们用微元法推导，做功过程中一个重要原理：动能定理。

b

假设一个物体在外力产作用下，由。运动到儿速度由阳变化为打，把整个轨迹等分成很多的△/,

对一段，由于轨迹很短，可以看为匀变速直线运动，由牛顿第二定律:

匹cos^=mc\

22

T7匕一%

又4=-———

2%

易得：△%=F]•COS4=；m（匕2—％2）

co22

则同理有△%=F2•△/2s02=ym（v2-v,）

2

△吗=K,8s。3=g〃Z（匕2-V2）

2

△W.T=Ei・△/,-8se“T=gm（v；-Vn.,）

22

△W"=",M8sen=gm（v,-v„）

叠加得Z△叱（匕2一%2）

1,

我们定义一个质量为根的物体以速度为V的物体具备的一个状态量一根后,叫一个物体的动能，用字母及表示，记

2

为：Ek--mv~

2

上述推导结论可以表达为，一个物理做成中外力对某质点做功等于其动能增加量，这个原理叫质点动能定理。

对于质点组的情况，只需要把多个质点的方程叠加即可，注意质点组之间的相互作用总功在叠加过程中不一定能

消去（内力总功不一定为零），那么质点组动能定理可表达为：

%+%、=AEK|+AEK2…

即内力与外力总功等于系统总动能变化。

当人从地面上跳起过程中，地板对人的力作用于脚上，起跳过程中：至然身体重，。在上弁;但是脚没有上升，所

以地面未对人做功，对人做正功的只能是人自身的内力（肌肉对骨骼的力，不是武侠小说中的内力），导致人加速上

升。而跳水的时候，情况正好相反，跳板对人做功导致人加速上升。

从以上实例中我们应该看到，分析同一个事件，牛顿定律认为是地面对人的支持力导致人产生向上的加速度，但

动能定理却认为是人自身的内力导致人动能增加。由于方程的不同，导致解释时的描述不同。

©知识点睛

—.势能

运动的物体具备一种做功的本领，我们上讲定义其为动能。那么是否静止的物体也可以具有做功的本领呢？回

答显然是肯定的，比如被举高的重物，形变后的弹簧等。为了研究这些现象，我们有必要拓展能量的定义。

我们把一个物理过程中，做功数值与路径无关的力叫保守力。若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两

质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。

存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能

变化的负值，即：

“粉=-AEp»

说明：势即位也，势能这个定义，顾名思义显然就是与物体间位置有关的能量，所以要引入保守力的概念。计

算势能时，还要注意以下几点：

（1）势能的相对性。

通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势

能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。

（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。

（3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。

常见的几种势能

（1）重力势能

在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则力高处重物机的重力势能为

Ep=mgh

（2）弹簧的弹性势能

取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-丘，弹力做的功为

W=--kx2

2

由前面保守力所做功与势能变化关系可知

W=-AEP=_（昂-0）

所以：E弹=；依2

（3）引力势能

质点间的引力势能为E0=-2处（选取无穷远为零势能面）

r

关于万有引力的规律我们将在以后的讲义中具体讲解，这里列出这个公式是提醒同学们：重力势能公式是引力

势能在近地附近的近似，如果一个物体被举高10根，那么重力势能可以用，”g/z近似计算，如果物体被举高1000b”,

那么重力势能公式必须用Ep=-g皿计算了。

r

中学物理定义动能，重力势能以及弹性势能统称为机械能（这个定义和普物有些不同，阅读大学物理的同学注

意一下。由于机械能是个无关紧要的概念，所以不必较真）。

--其它形式的能量

除了机械能，物理学研究的现象中还涉及内能，光能，电磁能，化学能，核能等。能量的定义体系很乱，有些

是从应用的角度按表征定义的，比如风能，水能，潮汐能等。所有能量的本质都是四种自然作用的体现，比如弹性

势能与内能的本质都是分子间电磁作用，所以我们能观察到实际的弹簧被拉长后温度降低（因为分子间相互作用做

负功，分子热运动动能变少）被压缩后温度升高的现象。力学中阐述的弹性势能是一种理想情况。

在以后的物理学习过程中，我们会逐步的对每种能量的标度越来越清晰。本讲只定性的给出每种能量的定性介

绍。

内能：由于物体内部大量分子热运动以及相互作用具有的能量。宏观可观测的内能标志是温度，以及形状，在理论

上的完全恢复的弹性形变中，不考虑内能变化。机械能变为内能最常见的形式为滑动摩擦与不可恢复形变。后面的

讲义会推导两种情况下内能与机械能转化的模型。

光能：由光的频率以及光子数（构成光的一份能量叫一个光子）决定的能量。

电磁能：具体体现形式很多，比如静电势能，电流能，磁能，电磁波能等，由于光也可以看做电磁波，所以可以认

为光能本质也是电磁能，当然也可以倒过来。

化学能：化学反应中吸收或者释放出来的能量，本质也是电磁作用能。

核能：在核反应中才能释放和吸收的能量。

以上定义都是经验的，直观的定义法，分别有具体的实验对应。现有的理论认为，测量能量本质的方法是测量

质量，根据是著名的E=,"C2（这个公式在以后的讲义推导），质量可以根据引力，惯性等标度。

关于能量与质量高度等效其实不难理解，我们需要做的只是观念的转变。比如高温物接触低温物，主要是高温物把红外光子辐射

给了低温物（热传递一共有三种形式：传导，对流，辐射。传导与对流的本质是因为物质分子周围电磁场接近，所以产生了非球对称

的辐射），那么高温物物质变少了，所以高温物内能以及质量都变少了。比如氧气与氧气燃烧，生成水并辐射出光能，那么生成的水比

反应前的氢氧总质量少了。一个同学把落地的笔捡起来，那么人通过手部的分子电磁场接近笔的分子电磁场把电磁能传递给了笔，笔

与地球体系总引力势能变多则其质量变多。不过以上现象由于质量变化都很少所以实际测量比较困难而已。物质的本质是质量，或者

说能量，我们得为老爱因斯坦的工作喝一声彩，他给了我们对现有的一切现象统一简洁的描述。

四.能量守恒与机械能守恒

自然界的各种能量的总和在一切变化过程中保持不变，只能由一个物体转移给另一个物体，由一种形式转变成

为另一种形式，这就是能量守恒定律。能量守恒定律发现的过程比较曲折，最初由各个学科的科学家分别在力学，

热力学，生理学，电学等学科分别提出能量守恒的具体表达，后来由焦耳等科学家完成能量守恒的总结。

物理表达中，能量守恒的适用对象必须为孤立体系（这一点和动量守恒一致），如果有外界作用，那么外界会

对体系内输入或者输走能量。能量转移的过程意味着有做功的过程，做功是能量转移转化的过程。

总的来说，能量守恒定律可以称为物理学建立以来最受物理学家信任的物理定律。在科学史上，人类经常会发

现已定义的能量不守恒的现象，这时候物理学家们就会把能量的定义拓展一下，定义一种新的能量形式，能量守恒

定律就又完美了。最经典的案例莫过于焦耳用内能的定义代替热质理论的成就（这段科学史比较普及，这里就不介

绍了）。

很多同学看完这段会觉得这样的物理定律比较扯淡，有点像那个“史上最无敌的真理”一“三切事物都星充盾统二.的"在解释

个饿.工的，人吃了面.包肚.子就饱了.”时使用的逻辑一“饿和饱是一对矛盾，面包和人是一对矛盾，人吃了面包，结果就矛盾统一了”！

只要对所发表言论中的概念不做清晰定义并保有最终解释权，那么这个世界永远伟大光荣正确的理论会无处不在。比如我们就可以说

“报物理竞赛班的同学其实都是加e的”。

不过物理毕竟不是扯淡理论，关于能量的理解会伴随我们同学学习研究物理的终身。基本从3岁开始，我们看到咸蛋超人胸前红

灯嘟嘟直闪，就认识到那种对于超人来说都至关重要的东西原来叫能量。中学的时候，身处题海战的我们被迫的开始运用能量守恒去

计算习题中的未知数。再后来，通过对相对论的推导，我们会意识到能量与质量的等效性，这时我们才真正的对能量有了清晰的认知。

再到后来，我们的同学在科研工作中自觉的运用能量守恒分析实验的数据。可以说，能量是这颗行星上的智慧生命普及度最高的专业

概念，虽然每个人对其理解深度不一，但是都在自觉不自觉的运用能量的概念在思维和判定。

在学习能量守恒的过程中我们同学会认识到物理学的终极目标：用更少的概念去描述更多的观测规律，并对没有观测到过的现象

进行预言。从这个角度，我们应该意识到焦耳的工作是高度有效的，因为他让后来同学在学习中学物理时少背了一套理论，让我们对

热效应的思考时少用了很多步骤。可笑的是无知的人理解物理学发展的过程老是用“真理战胜愚昧”来理解。比如国内的一些学者写

的科普读物中就这么赞美焦耳，“热质是错误的假想的物质，在焦耳的实践斗争中被推翻”。其实稍微懂点现代物理的人都应该知道，

热质学说很有道理啊，热质不就是现在说的光子么，只不过在当时热质说还只是个唯像理论。

作为能量守恒的特例，当一个系统除了速度，高度，形变以外没有其它物理参数变化时，自然机械能守恒，根

据动能定理以及势能的功能关系，我们可以推导得出机械能守恒的力学条件。

对于一个质点系，由动能定理：

%+畋=汇出

又重力做功％=-AEp

系统内弹簧对质点总功吗单=一△£弹

这两个功在方程的左边，把它们移项到右边，则有

%®=庄K△^弹

左边为除重力以及系统内弹簧以外其它一切力做功，右边为机械能变化量。这个方程又叫功能原理.其推论是:

如果一个系统除重力以及系统内部弹簧弹力功以外，其它力总功任意时段都为零，则系统机械能守恒。

这个表述虽然看上去严格，但是其实基本不实用，因为计算系统内力做功显然不是容易的事，多数我们还是从

没有其他能量生成考虑机械能是否守恒。注意以上的推导和普物的不同，因为中学教材中对机械能定义的原因导致。

其次就是机械能显然是对实际的一种理想近似。下面我们讨论两种常见的机械能与内能转化现象：

1.摩擦生热

回顾上讲中我们处理的一个模型：子弹击穿木块

自

一子弹射入一个可以自由移动的木块，设相互作用大小为凡则：

子弹队木块做功等于木块动能变化量：F.s-=AE^

木块对子弹做功等于子弹动能变化：-F（s+l）=AE掰

叠加一下：-Fl=AE子弹+研穆:

这个方程可以解读为摩擦内力的总功为负，其值等于总动能变化量（也是负数）。但是从能量守恒的角度，我们会

发现系统作用后总动能减少了，减少的能量转变成什么形式的能量了呢？焦耳发现，子弹与木块的温度都上升了。这

说明系统的内能增加了，通过测量，在摩擦内力做功的过程中，系统增加的内能总是正比于系统机械能减少量。这说

明内能与机械能本质是等效的，所以焦耳用机械能的量度一一力与距离的乘积衡量内能。原子分子论建立起来后，内

能有了明确的定义，就是大量微观粒子总动能与势能的总和。从上面的推导中可以看出，如果是通过滑动摩擦把机械

能转化为机械能（简称摩擦生热）则生热的数量可以用Q=力计算（/为相对路程）。

如图为焦耳测量热功当量的实验之一，重物的机械能通过螺旋桨与水之间的摩擦转化为水的内能，使水温度上升

。亏损的机械能与水温度升高量成简单正比，证明内能与机械能的本质是一回事。早期物理学计量内能的单位为卡路

里（记为cal,相当于把/g的水升温/℃需要的内能），该实验可测得1c”/的值约4.2J。这个实脸结果也可以理解

为：把一瓶矿泉水从距地面高0.42根的地方自由释放，不考虑空气阻力，水瓶落地后停下，即便生热全被内部的水吸

收，水也只升高0.001。匚这个现象很不明显，所以一直没有引起注意。

2.碰撞

动量失衡的学习过冲中我们知道质量町和烧2的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为马。和

“20及匕和叱，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到：班匕0+加2V20=犯匕+加2%

上述方程在预言结构时候显然是不完备的，原因是不同的材料碰撞过程中能量变化不同，根据碰前后是否生热，

生热的不同我们可以把碰撞分为：

（D弹性碰撞

在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有

12,1212,12

5g4。+/m2V2。=］叫匕+,飞吗

结合动量守恒解得

对上述结果可作如下讨论

①g=加2,则%=匕0,%=90,即,%〃”交换速度，这便是最初马尔西惠更斯他们得到的认识。

②若叫>>加2,且有％）=°,则％"%。，%"2%即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。

③若犯<<加2,且％=°,则4=一40,眩"°,则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。

（2）完全非弹性碰撞

两物相碰粘合在一起或具有相同速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，损失机械

能最大。

网v10+m2v20=（町+m?）v

mjVI0+m2v20

mx+m2

碰撞过程中损失的机械能为

222

AE=—m}v10+—m2v20——(m]+m2)v

（3）一般非弹性碰撞，恢复系数

一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度匕"功，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能

要小。物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。恢复系数e定义为

e=匕-匕

'of

①弹性碰撞，

②完全非弹性碰撞丫2=%,e=0。

③一般非弹性碰撞OVeVl。

说明：

1.碰撞生热的本质是因为物体接近时分子间作用力导致分子平均距离先压缩后恢复，有些材料分子相对位置稳

定，所以几乎能完全恢复。碰撞过程中分子热运动动能不会增加，即不成热。有些则分子相对位置很容变动形成新的

平衡点，碰撞时就不能完全恢复了，分子的热运动动能就增加了，体现在宏观上就是生热了。

2.以上推导全是讨论的一维的情况，对于速度与受力不共线的情况（即斜碰），只要分解后分别在法向与切向处

理即可。

如图所示，设两物间的恢复系数为e,设碰撞前机…加2速度为％。、%o,

其法向、切向分量分别为％0"、匕。"、"。「、％0r,碰后分离速度匕、V2,法向、

度分量匕"、%、乙、%,则有

若两物接触处光滑，则应有“4、机2切向速度分量不变

若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。

五.伯努利方程

图表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的6处和“2处用横截面

截出一段流体，即4处和由处之间的流体，作为研究对象。

%处的横截面积为Si,流速为％,高度为4,4处左边的流体对研究对

象的压强为小，方向垂直于5向右。

外处的横截面积为S2,流速为眩，高度为为，4处左边的流体对研究对

象的压强为必，方向垂直于$2向左。

经过很短的时间间隔加，这段流体的左端Si由q移到仇。右端s?由移到打。两端移动的距离分别为和

△4。左端流入的流体体积为△匕右端流出的流体体积为△匕=S2A应理想流体是不可压缩的，流入和

流出的体积相等，△%=△%,记为AV。

现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。作用在液体左端的力片=凸’,所做的功

叫=片&1=P5&I=PAV。

作用在右端的力F?=P2s2,所做的功

W,-—/?,SA/=—/?,AV

-F2^l2=22

外力所做的总功

卬=叱+吗=(P]-P2)AV

外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是6到“2这段流体的机械能£1,末状态的机械能是4到

么这段流体的机械能五2。由白到W这一段，经过时间△，，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定

常流动，流体的密度。和各点的流速u没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样

机械能的改变七一片就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。

—

由于机=侬丫，所以流入的那部分流体的动能为21

重力势能为mgl]=pglgV

~厘；八卜

流出流体的动能为

重力势能为mgli=

2

E2-EI=gaE-V,)AV+pg(h-hgv

机械能的改变为

理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两