新高考数学二轮复习强化练习专题23 概率、随机变量及其分布（练）（解析版）

第一篇热点、难点突破篇专题23概率、随机变量及其分布（练）【对点演练】一、单选题1．（2022春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）若事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由相互独立事件的概率计算公式，我们易得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入即可得到答案.【详解】因为事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相互独立，由相互独立事件的概率计算公式，可得：SKIPIF1<0.故答案选：B.2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.【详解】由题意，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是互斥事件知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A．3．（2023·江苏南通·统考一模）已知随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，有下列四个命题：甲：SKIPIF1<0；乙：SKIPIF1<0；丙：SKIPIF1<0；丁：SKIPIF1<0如果只有一个假命题，则该命题为（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即得答案.【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，所以乙､丙一定都正确，则SKIPIF1<0，故甲正确，根据正态曲线的对称性可得SKIPIF1<0，故丁错.故选：D.4．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）在如图所示的正方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部分（曲线SKIPIF1<0为正态分布SKIPIF1<0的密度曲线）的点的个数的估计值为（

）A．4772 B．6826 C．3413 D．9544【答案】B【分析】根据正态分布曲线的性质，求得SKIPIF1<0，进而求得落入阴影部分点的个数的估计值.【详解】由题意，曲线SKIPIF1<0为正态分布SKIPIF1<0的密度曲线，可得SKIPIF1<0，所以落入阴影部分点的个数的估计值为SKIPIF1<0.故选：B.5．（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据概率乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】两人在相同站点下的概率为：SKIPIF1<0，所以甲、乙二人在不同站点下车的概率为SKIPIF1<0，故选：C二、多选题6．（2023·江苏南通·统考一模）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为互斥事件C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0相互独立【答案】AC【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.【详解】SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，SKIPIF1<0不互斥，SKIPIF1<0错误；在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为SKIPIF1<0正确；SKIPIF1<0不独立，D错误；故选：AC.7．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）下列说法正确的是（

）A．若事件SKIPIF1<0互斥，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若事件SKIPIF1<0相互独立，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】根据互斥事件的概率加法公式判断A；根据独立事件的乘法公式判断B；根据条件概率以及全概率公式可判断SKIPIF1<0.【详解】对于A：SKIPIF1<0，正确；对于B：SKIPIF1<0，正确；对于C：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0正确；对于D：由C得SKIPIF1<0，D错误，故选：ABC.三、填空题8．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知随机变量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.【详解】解：因为随机变量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．（2023·全国·模拟预测）在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事件SKIPIF1<0表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正确的是______（填标号）.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.【答案】①②③【分析】计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得到①正确；SKIPIF1<0，②正确；SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，计算概率再计算数学期望得到③正确，得到答案.【详解】对选项①：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，①正确；对选项②：SKIPIF1<0，②正确；对选项③：SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③正确.故答案为：①②③四、解答题10．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式､认知模式与思维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考.某地对本地群众（中老年人与年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：年轻人中老年人合计经常电子阅读503585经常纸质阅读xy115合计MN200设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为SKIPIF1<0；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0.(1)求列联表中x，y，M，N的值，并判断是否有SKIPIF1<0的把握认为阅读习惯与年龄有关；(2)从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出6人，再从抽出的6人中用简单随机抽样的方法抽取4人，若其中经常电子阅读的人数为X，求SKIPIF1<0.参考公式及参考数据：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<00.100.050.0100.005SKIPIF1<02.7063.8416.6357.879【答案】(1)SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0的把握认为阅读习惯与年龄有关(2)SKIPIF1<0【分析】(1)根据题意，分析表格中的数据求出x、y、M、N的值，结合卡方公式计算和独立性检验的思想即可下结论；(2)利用列举法写出所有的基本事件，结合古典概型的概率计算公式计算即可求解.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0的把握认为阅读习惯与年龄有关.（2）由题意可知，抽出的6人中，经常电子阅读的有3人，分别记为A，B，C，经常纸质阅读的有3人，分别记为a，b，c，从中抽取4人，则基本事件有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，共15种，其中SKIPIF1<0的基本事件有SKIPIF1<0，共9种所以SKIPIF1<0.【冲刺提升】一、单选题1．（2023春·河南·高三洛阳市第三中学校联考开学考试）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（SKIPIF1<0），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且SKIPIF1<0，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8【答案】A【分析】100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求导判断单调性，根据正态曲线的对称性可求解.【详解】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最大值.所以SKIPIF1<0.故选：A二、多选题2．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，则下列说法中正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的方差为2【答案】AB【分析】根据题意得出SKIPIF1<0，结合正态分布图象的对称性，对各选项逐项判定，即可求出结果．【详解】因为随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即此正态分布的图象关于SKIPIF1<0对称，由对称性可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称，而SKIPIF1<0和SKIPIF1<0不关于SKIPIF1<0对称，由对称性可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确，C错误；SKIPIF1<0的方差为4，故D错误．故选：AB．三、填空题3．（2023秋·江苏·高三统考期末）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量SKIPIF1<0的取值集合均为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的散度SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的概率分布如下表所示，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是__________.SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】根据已知公式得出SKIPIF1<0，根据二次函数最值与不等式性质得出SKIPIF1<0，即可根据对数函数性质得出SKIPIF1<0，即可得出答案.【详解】根据已知公式SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，开口向下，对称轴为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0四、解答题4．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【分析】(1)根据独立事件同时发生的概率计算公式求解；(2)利用条件概率公式求解.【详解】（1）设SKIPIF1<0表示“取到的产品是次品”，SKIPIF1<0表示“产品由甲工厂生产”，SKIPIF1<0表示“产品由乙工厂生产”，SKIPIF1<0表示“产品由丙工厂生产”，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两互斥，根据题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据全概率公式可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故取到次品的概率为SKIPIF1<0.（2）“如果取到的产品是次品，计算分别出自三个工厂的概率”，就是计算在SKIPIF1<0发生的条件下，事件SKIPIF1<0发生的概率.SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以如果取到的产品是次品，此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.5．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）某短视频平台的一位博主，其视频以展示乡村生活为主，赶集、出城、抓鱼、养鸡等新时代农村生活吸引了许多观众，该博主为家乡的某农产品进行直播带货，通过5次试销得到了销量SKIPIF1<0（单位：百万盒）与单价SKIPIF1<0（单位：元/盒）的如下数据：SKIPIF1<066.26.46.66.8SKIPIF1<05045454035(1)根据以上数据，求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程；(2)在所有顾客中随机抽取部分顾客（人数很多）进行体验调查问卷，其中“体验非常好”的占一半，“体验良好”“体验不满意”的各占25%，然后在所有顾客中随机抽取8人作为幸运顾客赠送礼品，记抽取的8人中“体验非常好”的人数为随机变量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和均值参考公式：回归方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【分析】（1）先求出SKIPIF1<0，结合附录的数据和公式即可计算出回归直线方程；（2）由题可知，SKIPIF1<0近似服从二项分布，根据步骤写出每个取值对应的概率，然后根据二项分布的期望公式计算即可.【详解】（1）根据表格数据可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据附注公式：SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，故经验回归方程为：SKIPIF1<0（2）依题意，SKIPIF1<0可能的取值为SKIPIF1<0，由于顾客人数很多，可近似认为SKIPIF1<0服从二项分布，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.分布列为：SKIPIF1<0012345678SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0根据二项分布的期望公式，SKIPIF1<06．（2023春·山东济南·高三统考开学考试）甲、乙两人进行抛掷骰子游戏，两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子．规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束．(1)记两人抛掷骰子的总次数为X，若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布列和期望；(2)已知甲先掷，求甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率．【答案】(1)分布列见解析，期望为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）求出抛掷骰子一次获胜的概率，再求出X的可能值并求出对应的概率，列出分布列，求出期望作答.（2）利用独立事件的概率公式，求出甲抛掷第n次骰子且不获胜的概率的递推公式，再借助数列求解作答.【详解】（1）依题意，抛掷骰子一次获胜的概率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的可能值为1，2，3，4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为；SKIPIF1<01234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0期望SKIPIF1<0.（2）设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率SKIPIF1<0，显然当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，所以甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率为SKIPIF1<0.7．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用于投资，现有两个项目供选择．项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？（参考数据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）【答案】(1)建议该投资公司选择项目一进行投资，理由见解析(2)大约在2023年年底总资产可以翻一番【分析】（1）分别计算两种投资项目获利的期望和方差，比较大小，可得出结论；（2）依题意列出等式，对数运算即可求解SKIPIF1<0.【详解】（1）若投资项目一，设获利为SKIPIF1<0万元，则SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<030-15PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若投资项目二，设获利为SKIPIF1<0万元，则SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0500-30PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资．（2）假设n年后总资产可以翻一番，依题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两边取对数，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0大约在2023年年底总资产可以翻一番．8．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．月份1月份2月份3月份4月份报名人员数SKIPIF1<0/千人SKIPIF1<05SKIPIF1<07录用人才数SKIPIF1<0/千人SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)求出y关于x的经验回归方程；(2)假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求SKIPIF1<0的取值范围．附：经验回归方程SKIPIF1<0中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)（i）1060万元；（ii）SKIPIF1<0【分析】（1）根据所给数据求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出b，SKIPIF1<0，从而求出回归直线方程；（2）（i）将SKIPIF1<0代入（1）中回归直线方程，求出SKIPIF1<0，即可估计需要发放的生活津贴的总金额；（ii）设小王和小李两人中被录用的人数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出所对应的概率，即可求出数学期望，即可得到SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】（1）由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的经验回归方程为SKIPIF1<0．（2）（ⅰ）将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（万元），故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元．（ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．9．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为SKIPIF1<0，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为SKIPIF1<0”，一次游戏中甲小朋友的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分，SKIPIF1<0表示“甲小朋友的当前累计得分为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（i）证明：SKIPIF1<0为等比数列；（ii）根据SKIPIF1<0的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．【答案】(1)分布列见解析(2)（i）证明见解析（ii）这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设【分析】（1）由题意知SKIPIF1<0所有可能的取值为SKIPIF1<0，分别求出相应的概率，由此能求出SKIPIF1<0的分布列；（2）（i）由SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，推导出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此能证明SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列；（ii）推导出SKIPIF1<0从而SKIPIF1<0，累加求和得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，由此能求出SKIPIF1<0.由此得到这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．【详解】（1）由题意知SKIPIF1<0所有可能的取值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所有分布列为：SKIPIF1<0SKIPIF1<001SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）（i）证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列；（ii）由（i）知SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，累加求和得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0表示甲小朋友当前累计得分为SKIPIF1<0分时，本轮游戏最终甲获胜的概率，由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5，乙小朋友完成一次游戏中的指令动作的概率为0.6，本轮游戏中甲小朋友获胜的概率SKIPIF1<0，这种情况发生的概率比较小，能够说明这种游戏方案能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．10．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）从某学校获取了容量为200的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：数学成绩语文成绩合计不优秀优秀不优秀8040120优秀404080合计12080200(1)依据SKIPIF1<0的独立性检验能否认为数学成绩与语文成绩有关联？(2)从200个样本中任取3个，记这3人中语文数学成绩至少一门优秀的人数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列与期望.附：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0参考公式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.【答案】(1)认为数学成绩与语文成绩有关联.(2)分布列见解析，SKIPIF1<0【分析】（1）计算出SKIPIF1<0，比较临界值可得；（2）确定SKIPIF1<0的取值可能为SKIPIF1<0，求出语文数学成绩至少一门优秀的概率SKIPIF1<0，然后由独立重复试验的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算期望．【详解】（1）根据表格计算可得：SKIPIF1<0所以依据SKIPIF1<0的独立性检验，即认为数学成绩与语文成绩有关联；（2）语文数学成绩至少一门优秀的概率为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0的取值可能为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是，SKIPIF1<0．11．（2023秋·浙江宁波·高三期末）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得SKIPIF1<0分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；(2)求X的分布列；(3)求Y的均值.【答案】(1)0.432(2)分布列见解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用独立重复试验求概率公式进行求解；（2）写出X的可能取值及相应的概率，得到分布列；（3）在第二问的基础上，写出Y的可能取值及相应的概率，得到分布列，得到均值.【详解】（1）设甲恰有两次赢的概率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）X的可能取值为SKIPIF1<0，0，1.根据记分规则，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列为XSKIPIF1<001P0.20.50.3（3）两轮比赛甲的得分Y的可能取值为SKIPIF1<0.由于两轮比赛的结果是独立的，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以Y的分布列为YSKIPIF1<0