工程力学教案 (详细讲稿)

理论力学教案1课题第1讲——第一章绪论学时2学时教学要求2.理解工程力学的研究对象(杆件)的几何特征，使学生对工程力学这门课程的任务、研究对象有一个全面的概念。3.了解工程的发展简史和学习本课程的方法。主要内容1、简单介绍四种基本变形重点难点变形固体及其基本假设教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习预习：第二章本次讲稿第一章绪论第一节工程力学的研究对象建筑物中承受荷载而起骨架作用的部分称为结构。结构是由若干构件按一定方式组合而成的。组成结构的各单独部分称为构件。例如：支承渡槽槽身的排架是由立柱和横梁组成的刚架结构，如图1—1a所示；单层厂房结构由屋顶、楼板和吊车梁、柱等构件组成，如图1—1b所示。结构受荷载作用时，如不考虑建筑材料的变形，其几何形状和位置不会发生改变。大型届面板大型届面板柱杯形基福素混凝土禁层结构按其几何特征分为三种类型：(1)杆系结构：由杆件组成的结构。杆件的几何特征是其长度远远大于横截面的宽度和高度。(2)薄壁结构：由薄板或薄壳组成。薄板或薄壳的几何特征是其厚度远远小于另两个方向的尺寸。(3)实体结构：由块体构成。其几何特征是三个方向的尺寸基本为同一数量级。工程力学的研究对象主要是杆系结构。第二节工程力学的研究内容和任务工程力学的任务是研究结构的几何组成规律，以及在荷载的作用下结构和构件的强度、刚度和稳定性问题。研究平面杆系结构的计算原理和方法，为结构设计合理的形式，其目的是保证结构按设计要求正常工作，并充分发挥材料的性能，使设计的结构既安全可靠又经济合理。进行结构设计时，要求在受力分析基础上，进行结构的几何组成分析，使各构第三节刚体、变形固体及其基本假设(2)均匀性假设。认为材料的力学性质是均(3)向同性假设。认为材料的力学性质是各向同性第四节荷载的分类体为研究对象时，作用在结构上的分布荷载可用其合力(集中荷载)代替；但以变理论力学教案2课题第2讲——第二章刚体静力学基础学时4学时+2学时习题课教学要求1、掌握力学的基本概念和公理。2、熟悉各种常见约束的性质，熟练地画出受力图。主要内容2、静力学基本公理。重点难点2、掌握物体的受力分析的方法3、正确地选取分离体，并画出受力图是求解静力学的关键，教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习问题：P12:1,2,3,4,5,6习题：P12:1,2,3预习：第三章第二章刚体静力学基础第一节静力学基本概念(1)力的大小是物体相互作用的强弱程度。在国际单位制中，力的单位用牛顿(N)或千牛顿(kN),1kN=103N。(2)力的方向包含力的方位和指向两方面的涵义。如重力的方向是“竖直向图2-1所示，线段AB长度按一定的比例尺表示力F的大小，线段的方位和箭头的指向表示力的方向。线段的起点A或终点B表示力的作用点。线段AB的延长线(图中虚线)表示力的作用线。图2-1单的等效力系(或一个力)代替一个复杂力系的过程称为力系的简化。力系的简化是第二节静力学公理公理一二力平衡公理公理二加减平衡力系公理效应。推论一力的可传性原理图2-2证明：设力F作用于刚体上的点A,如图2-2所示。在力F作用线上任选一点B,在点B上加一对平衡力F,和F₂,使由此可知，作用于刚体上的力是滑移矢量，因此作用于刚体上力的三要素为大小、方向和作用线。公理三力的平行四边形法则F推论二三力平衡汇交定理刚体受同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时，则此三力的作用线必汇交于一点。A/FFFF公理四作用与反作用公理两个物体间相互作用力，总是同时存在，它们的大小相等，指向相反，并沿同一物体间的作用力与反作用力总是同时出现，同时消失。可见，自然界中的力总是成对地存在，而且同时分别作用在相互作用的两个物体上。这个公理概括了任何两物应该注意，作用力与反作用力虽然等值、反向、共线，但它们不能平衡，因为二者分公理五刚化原理变形体在已知力系作用下平衡时，若将此变形体视为刚体(刚化),则其平衡状件，对于变形体的平衡来说，也必须满足。但是，满足了刚体的平衡条件，变形体不一定平衡。例如一段软绳，在两个大小相等，方向相反的拉力作用下处于平衡，若将软绳变成刚杆，平衡保持不变。把过来，一段刚杆在两个大小相等、方向相反的压力作用下处于平衡，而绳索在此压力下则不能平衡。可见，刚体的平衡条件对于变第三节约束与约束反力工程上所遇到的物体通常分两种：可以在空间作任意运动的物体称为自由体，如如悬挂的重物，因为受到绳索的限制，使其在某些方向不能运动而成为非自由体，这既然约束阻碍物体沿某些方向运动，那么当物体沿着约束所阻碍的运动方向运动或有运动趋势时，约束对其必然有力的作用，简称反力。约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反，它的作用点就在约束与被约束的物体的接触点，大小可以水压力等。通常主动力是已知的，约束反力是柔性约束方向沿柔索的中心线而背离物体，为拉力。如图2—5和图2—6所示。图2-7和图2—8所示。铰连接或中间铰，图2-9a所示。图2—9b为计算简图。铰链约束只能限制物体在垂直于销钉轴线的平面内相对移动，但不能限制物体绕销钉轴线相对转动。如图2-9c用在垂直于销钉轴线平面内，通过销钉中心，方向不定。为计算方便，铰链约束的约分力的指向可以假设。图2—10将结构物或构件用销钉与地面或机座连接就构成了固定铰支座，如图2—10a所示。固定铰支座的约束与铰链约束完全相同。简化记号和约束反力如图2-10b和图2—10c。图2—11在固定铰支座和支承面间装有辊轴，就构成了辊轴支座，又称活动铰支座，如图2—11a所示。这种约束只能限制物体沿支承面法线方向运动，而不能限制物体沿支承面移动和相对于销钉轴线转动。所以其约束反力垂直于支承面，过销钉中心指向可假设。如图2—11b和图2—11c所示。六、链杆约束图2—12着链杆，两端中心连线方向，指向或为拉力或为压力。如图2-12b和图2-12c所示。图2—13将构件的一端插入一固定物体(如墙)中，就构成了固定端约束。在连接处具有第四节物体的受力分析与受力图例2—1起吊架由杆件AB和CD组成，起吊重物的重量为Q。不计杆件自重，图2—14解：取杆件AB为分离体，画出其分离体图。杆件AB上没有荷载，只有约束反力。A端为固定铰支座。约束反力用两个垂直分例2—2水平梁AB用斜杆CD支撑，A、C、D三处均为光滑铰链连接，如图2-15所示。梁上放置一重为FG₁的电动机。已知梁重为FG₂,不计杆CD自重，试分别画出杆CD和梁AB的受力图。解：(1)取CD为研究对象。由于斜杆CD自重不计，只在杆的两端分别受有铰链的约束反力Fc和Fp的作用，由些判断CD杆为二力杆。根据公理一，Fc和Fp两力大小相等、沿铰链中心连线CD方向且指向相反。斜杆CD的受力图如图2-15b所示。例2-3简支梁两端分别为固定铰支座和可动铰支座，在C处作用一集中荷载例2-4三铰拱桥由左右两拱铰接而成，如图2—17a所示。设各拱自重不计，在拱AC上作用荷载F。试分别画出拱AC和CB的受力图。图2—17拱AC的受力图如图2—17c所示。例2-5图2-18a所示系统中，物体F重FG,其它和构件不计自重。作(1)整体；(2)AB杆；(3)BE杆；(4)杆CD、轮C、绳及重物F所组成的系统的受力图2-18杆件AB的受力图如图2-18b所示。对杆件AB来说，铰B、D的反力是外力，杆件BE的受力图如图2-18c所示。BE上B点的反力Xp′和Yg′是AB上Xp分别是图2-18b和图2—18c上相应力的相反。如X是图2-18c上Xp的反作用力，力Xp的作用力必与之相反，不可再假设指向。(7)内力不必画出。思考题2-1说明下列式子的意义和区别。2-2力的可传性原理的适用条件是什么?如图2-19所示，能否根据力的可传性原理，将作用于杆AC上的力F沿其作用线移至杆BC上而成力F′?图2—19图2—202-3作用于刚体上大小相等、方向相同的两个力对刚体的作用是否等效?2-4物体受汇交于一点的三个力作用而处于平衡，此三力是否一定共面?为什么?2-5图2-20中力F作用在销钉C上，试问销钉C对AC的力与销钉C对BC的力是否等值、反向、共线?为什么?2-6图2-21中各物体受力图是否正确?若有错误试改正。理论力学教案3课题第3讲——第三章平面汇交力系课时4学时教学要求3、理解力在直角坐标系的投影，能熟练计算力在直角坐标轴上的投影。主要内容2、平面汇交力系合成与平衡的解析法重点难点平面汇交力系合成与平衡的解析法教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习问题：P21:1,2,3,4,5习题：P22:1,2,3,4,5,6,8预习：第四章\本次讲稿第三章平面汇交力系§3-1平面汇交力系合成与平衡的几何法合成三角形法则将各力依次合成，即从任意点a作矢量ab代表力矢F,在其末端b作矢量bc代表力矢F₂,则虚线ac表示力矢F,和F₂的合力矢FR₁;再从点C作矢量cd代表力矢F₃,则ad表示F和F₃的合力FR₂;最后从点d作de代表力矢F₄,则ae代表力矢FR₂与F₄的合力矢，亦即力F,、F₂、F₃、F₄的合力矢FR,其大小和方向如图3—1b,其作用线通过汇交点A。图3—1作图3—1b时，虚线ac和ad不必画出，只需把各力则第一个力矢F,的起点a向最后一个力矢F₄的终点e作ae,即得合力矢Fp。各分力交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线过力系的汇交点，合力等于原力系中所有各力的矢量和。可用矢量式表示为例3—1同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图3—2所示，已知三钢索的拉力分别为：F,=500N,F₂=1000N,F₃=2000N。试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。解先定力的比例尺如图。作力多边形先将各分力乘以比例尺得到各力的长度，二、平面汇交力系平衡的几何条件在图3—3a中，平面汇交力系合成为一合力，即与原力系等效。若在该力系中再加一个与等值、反向、共线的力，根据二力平衡公理知物体处于平衡状态，即为平衡力系。对该力系作力的多边形时，得出一个闭合的力的多边形，即最后一个力矢的末端与第一个力矢的始端相重合，亦即该力系的合力为零。因此，平面汇交力系的平衡的必要与充分的几何条件是：力的多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零。用矢量表示为例3-2图3—4a所求一支架，A、B为铰链支座，C为圆柱铰链。斜撑杆BC与水平杆AC的夹角为30°。在支架的C处用绳子吊着重G=20kN的重物。不计杆件的自重，试求各杆所受的力。解杆AC和BC均为二力杆，其受力如图3—4b所示。取销钉C为研究对象，作用在它上面的力有：绳子的拉力F₁(F₁=G),AC杆和BC杆对销钉C的作用力FcA点c,于是得力三角形abc,顺着abc的方向标出箭头，使其首尾相连，则矢量ca和bc就分别表示力FcA和Fcp的大小和方向。用同样的比例尺量得求解平面汇交力系问题的几何法，具有直观简捷的优点，但是作图时的误差难以避免。因此，工程中多用解析法来求解力系的合成和平衡问题。解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。一、在坐标轴上的投影如图3-5所示，设力F作用于刚体上的A点，在力作用的平面内建立坐标系oxy,由力F的起点和终点分别向x轴作垂线，得垂足a,和b,,则线段a,b,冠以相应的正负号称为力F在x轴上的投影，用X表示。即X=±a,b,;同理，力F在y轴上的投影用Y表示，即Y=±a₂b₂。力在坐标轴上的投影是代数量，正负号规定：力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。投影与力的大小及方向有关，即式中α、β轴正向所夹的锐角。图3—5反之，若已轴上的投影X、Y,则该力的大小及方向余弦为应当注意，力的量是两个不同的概念。投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。二、合力投影定理由图3—6可知即同理将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得图3—6即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。三、平面汇交力系合成的解析法用解析法求平面汇交力系的合成时，首先在其所在的平面内选定坐标系oxy。求出x.Y轴正向所夹的锐角。解建立如图3—7所示直角坐标系。根据合力投影定理，有轴的负向。由式(3—6)得合力的大小方向为四、平面汇交力系平衡的解析条件上式表明，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在力系所在平面内两个相交轴上投影的代数和同时为零。式(3—8)称为平面汇交力系的平衡方程。式(2-8)是由两个独立的平衡方程组成的，故用平面汇交力系的平衡方程只能求解两个未知量。和重物，放置在倾角为α的光滑斜面上(如图3—8),试求保图3—8受力图如图3-8b所示。取坐标系oxy,列平衡方程解得F=GsinaFN=Gcosa例3—5重G=20kN的物体被绞车匀速吊起，绞车的绳子绕过光滑的定滑轮A (图3—9a),滑轮由不计重量的杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链。试求AB、AC所受的力。图3—9解杆AB和AC都是二力杆，其受力如图3—9b所示。假设两杆都受拉。取滑轮连同销钉A为研究对象。重物G通过绳索直接加在滑轮的一边。在其匀速上升时，拉力F₁=G,而绳索又在滑轮的另一边施加同样大小的拉力，即F=F₂。受力图如图3-9c所示，取坐标系Axy。列平衡方程得解得FAB=41.6kN例3-6连杆机构由三个无重杆铰接组成(如图3—10a),在铰B处施加一已知图3—10作用于铰C上，铰C受平面汇交力系的作用，所以应该通过研究铰C的平衡来求解。解得出，在求解平衡问题时，要恰当地选取脱离体，恰当地选取坐标轴，以最简捷、合理的途径完成求解工作。尽量避免求解联立方程，以提高计算的工作效率。这些都是求解平衡问题所必须注意的。思考题3—1如图3-11所示的平面汇交力系的各力多边形中，各代表什么意义?FF3-2如图3-12所示，已知力F大小和其与x轴正向的夹角θ,试问能否求出此力在x轴上的投影?能否图3-123-3同一个力在两个互相平行的轴上的投影有何3-4平面汇交力系在任意两根轴上的投影的代数和分别等于零，则力系必平衡，对吗?为什么?轴是任意的(图3-13),若作用在理论力学教案4课题第4讲——第四章力矩与力偶学时6教学要求2、掌握合力距定理。3、掌握平面力偶系的合成和平衡条件。主要内容1、力对点之距。3、平面力偶系的合成和平衡条件。重点难点1、合力矩定理。2、平面力偶系的合成和平衡条件。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习问题：P31:1,2,3,4,5,6习题：P54:1,2,4,6,7预习：第五章第四章力矩与力偶第一节力对点之矩点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图4—1所示，设螺母能绕点0转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号m(F)表示，记为图4—1由图4—1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍(1)力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩(2)力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。图4—2证明：设刚体上的A点作用着一平面汇交力系。力系的合力。在力系所在平面内由图4—2可以看出根据合力投影定理两端乘以OA得将式(1)代入得即上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。例4—1试计算图4—3中力对A点之矩。图4—3解本题有两种解法。(1)由力矩的定义计算力F对A点之矩。先求力臂d。由图中几何关系有：d=ADsinα=(AB-DB)sina=(AB-BCctg)sina=(a-bctgα)sinα(2)根据合力矩定理计算力F对A点之矩。将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力(图4—4a);工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力(图4-4b);以及用两个手指拧动水龙头(图4-4c)所加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号(F,F′)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。图4—4实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或力偶臂愈大时，力偶使刚体转动效应就愈显著。因此，力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的转向以及力偶臂的大小。在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积冠以正负号，(作为力偶对物体转动效应的量度，称为力偶矩，用m或m(F,F′)表示，如图4—5所示，即图4—5通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。二、力偶的性质力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：(1)力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。CA=0,说明合力的作用点C不存在，所以力偶不能合成为一合力。即力偶不能用一个力代替，也不能与一个力平衡，力偶只能用力偶来平衡。(2)力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。图4—7则力偶(F,F′)对于点O的矩为点的矩总等于力偶矩。所以力偶对物体的转动效应总取决于偶矩(包括大小和转向)图4-8第三节平面力偶系的合成与平衡图4—9然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用于点A、B的两个共线力系(图4—9b)。将这两个共线力系分别合成，得d=(P,+P₂-P)d=P,·d+P₂·d-P₃·d=F,·d,+F₂·d₂-F₃d₃若作用在同一平面内有个力偶，则上式可以推广为由此可得到如下结论：平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代数和。二、平面力偶系的平衡条件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。即平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。例4—2如图4—10所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、B、C、D的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d=150mm,电动机轴传给联轴器的力偶矩m=2.5kN·m,试求每个螺栓所受的力为多少?图4—10解取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所示。设4个螺栓的受力均匀，即F,=F₂=F₃=F₄=F,则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。解得例4—3定铰支座A及CD的约束，如图4—11所示，在杆端B受一力偶作用，已知力偶矩m=100N·m,求A、C处的约束反力。图4—11解取AB杆为研究对象。作用于AB杆的是一个主动力偶，A、C两点的约束可得其中h=Acsin30=1×0.5=0.5m则节力的平移定理由力的可传性可知，力可以沿其作用线滑移到刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效应。但当力平行于原来的作用线移动到刚体上任意一点时，力对刚体的作用效应便会改变，为了进行力系的简化，将力等效地平行移动，给出如下定理：思考题4-1将图4-13所示A点的力F沿作用线移至B点，是否改变该力对O点之矩?图4—13图4—144-2一矩形钢板放在水平地面上，其边长a=3m,b=2m(如图4-14所示)。按图示方向加力，转动钢板需要P=P′=250N。试问如何加力才能使转动钢板所用的力最小，并求这个最小力的大小。绝对值相等(图4—15),试问两力偶是否等效?为什么?4-4图3—16中四个力作用在某物体同一平面上A、B、C、D四点上(ABCD为一矩形),若四个力的力矢恰好首尾相接，这时物体平衡吗?为什么?4-5水渠的闸门有三种设计方案，如图4-17所示。试问哪种方案开关闸门时最省力。4—6力偶不能与一力平衡，那么如何解释图4—18所示的平衡现象?理论力学教案5课题第5讲——第五章平面任意力系学时12学时+6学时习题课教学要求1、掌握平面任意力系的简化方法和简化结果，能计算平面力系的主失和主2、能熟练应用平面任意力系的平衡方程，求解单个物体的平衡问题。3、了解静定和静不定问题的概念以及物体系统的平衡问主要内容1、平面任意力系的简化2、简化结果分析及合力距定理。4、静定和静不定问题的概念以及物体系统的平5、考虑摩擦时物体系统的平衡。重点难点1、力系简化以及力系简化结果对于平面情况要详细讨论。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习问题：P47:1,2,3,4,5,6,7习题：P54:1,4,5,6,7,8,12,13,14预习：第六章本次讲稿第五章平面任意力系各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为平面任意力系。在工程实际中经常遇到平面任意力系的问题。例如图5-1所示的简支梁受到外荷载及支座反力的作用，这个力系是平面任意力系。有些结构所受的力系本不是平面任意力系，但可以简化为平面任意力系来处理。如图5-2所示的屋架，可以忽略它与其它屋架之间的联系，单独分离出来，视为平面结构来考虑。屋架上的荷载及支座反力作用在屋架自身平面内，组成一平面任意力对于水坝(图5-3)这样纵向尺寸较大的结构，在分析时常截取单位长度(如1)的坝段来考虑，将坝段所受的力简化为作用于中央平面内的平面任意力系。事实上工程中的多数问题都简化为平面任意力系问题来解决。所以，本章的内容在工程实践中有着重要的意义。第一节平面任意力系向作用面内任意一点简化平面内任取一点O,称O点为简化中心。应用力的平移定理，将力系中的和力依次分图5—4平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F,'=F,,F,'=F₂,…,F,'=FR′称为该力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位置无关。主矢R′的大小与方向可用解析法求得。按图5—4b所选定的坐标系Oxy,有其中α为主锐角。各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O之矩，即原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对简化中心的主矩。由式(5-3)可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶的力偶臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简化中心的位置有关。由上述分析我们得到如下结论：平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一力和一个力偶(图5-4c)。这个力的作用线过简化中心，其力矢等于原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。第二节简化结果分析及合力矩定理平面任意力系向O点简化，一般得一个力和一个力偶。可能出现的情况有四种：其力偶矩等于原力系的主矩。此时原力系的主矩与简化中心的位置无关。如图5-5所示。将力偶矩为M。的力偶用两个力R与R"表示，并使R′=R=R",R"作用在点O,R作用在点O,如图5一5b所示。R′与R"组成一对平衡力，将其去掉后得到作用于O′点的力R,与原力系等效。因此这个力R就是原力系的合力。显然R′=R,而合力作用线到简化中心的距离为图5—5由上分析，我们可以导出合力矩定理。由图4—5c可见，合力对点之矩为因为O点是任选的，上式有普遍意义。于是：得到合力矩定理：平面任意力系的合力对其作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。例5—1重力坝断面如图5-6a所示，坝上游有泥沙淤积，已知水深H=46m,泥沙厚度h=6m,水的容重γ=98kN/m₃,泥沙的容重γ′=8kN/m₃,已知1m长坝段所受重力W=4500kN,W=14000kN。受力图如图5-6b所示。试将此坝段所受的力向点0简化，并求简化的最后结果。解已知水中任一点的相对压强与距水面的距离成正比，即在坐标为y处的水压游坝面所受的分布荷载如图5—6b所示。为了方便计算，先将分布力合成为合力。将水压力与泥沙压力分开计算。水压力如图P过三角形形心，即与坝底四个力向0点简化。先求主矢。四个力向0点简化。先求主矢。再求对0的主矩当平面任意力系的主矢和主矩都等于零时，作用在简化中心的汇交力系是平衡力系，附加的力偶系也是平衡力系，所以该平面任意力系一定是平衡力系。于是得到平面任意力系的充分与必要条件是：力系的主矢和主矩同时为零。即用解析式表示可得二矩式平式：合力的可能性。由此断定，当式(5-7)的三个方程同时满足，并附加条件矩心A、对于三矩式附加上条件后，式(5-8)是平面任意力系平衡的必要与充分条件。读者可参照对式(5-7)的解释自行证明。平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情况。当力系中各力的作用线在同一平面内且相互平行，这样的力系称为平面平行力系。其平衡方程可由平面任意力系的平(5—6)式得由(5-7)的连线不能与各力作用线平行。的连线不能与各力作用线平行。平面平行力系有两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。图5—7例5—2图5—8a所示为一悬臂式起重机，A、B、C都是铰链连接。梁AB自重F=1kN,作用在梁的中点，提升重量Fp=8kN,杆BC自重不计，求支座A的反力和杆BC所受的力。图5—8解(1)取梁AB为研究对象，受力图如图5—8b所示。A处为固定铰支座，其反力用两分力表示，杆BC为二力杆，它的约束反力沿BC轴线，并假设为拉力。(2)取投影轴和矩心。为使每个方程中未知量尽可能少，以A点为矩，选取直角坐标系Axy。(3)列平衡方程并求解。梁AB所受各力构成平面任意力系，用三矩式求解：得中可见计算无误。例5-3一端固定的悬臂梁如图5-9a所示。梁上作用均布荷载，荷载集度为q,在梁的自由端还受一集中力P和一力偶矩为m的力偶的作用。试求固定端A处的约束反力。图5—9解取梁AB为研究对象。受力图及坐标系的选取如图5—9b所示。列平衡方程解得YA=ql+P例5-4塔式起得机如图5—10所示。机身重G=220kN,作用线过塔架的中心。已知最大起吊重量P=50kN,起重悬臂长12m,轨道A、B的间距为4m,平衡锤重Q至机身中心线的距离为6m。试求：(1)确保起重机不至翻倒的平衡锤重Q的大小；(2)当Q=30kN,而起重机满载时，轨道对A、B的约束反力。图5-10解取起重机整体为研究对象。其正常工作时受力如图所示。(1)求确保起重机不至翻倒的平衡锤重Q的大小。起重机满载时有顺时针转向翻倒的可能，要保证机身满载时而不翻倒，则必须满解得Q≥(5P—G)/4=7.5kN起重机空载时有逆时针转向翻倒的可能，要保证机身空载时平衡而不翻倒，则必须满足下列条件解得Q≤G/2=110kN因此平衡锤重Q的大小应满足从前面的讨论已经知道，对每一种力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定的。对于一个平衡物体，若独立平衡方程数目与未知数的数目恰好相等，则全部未知数可由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。我们前面所讨论的都属于这类问题。但工程上有时为了增加结构的刚度或坚固性，常设置出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。图5-11是超静定平面问题的例子。图a是平面平行力系，平衡方程是2个，而未知力是3个，属于超静定问题；图b是平面任意力系，平衡方程是3个，而未知力有4个，因而也是超静定问题。对于超静FFFCF₂F₂图5—11例5—5图5—13所示的人字形折梯放在光滑地面上。重P=800N的人站在梯子AC边的中点H,C是铰链，已知AC=BC=2m;AD=EB=0.5m,梯子的自重图5-13解先取梯子整体为研究对象。受力图及坐标系如图5—13b所示。解得解得为求绳子的拉力，取其所作用的杆BC为研究对象。受力图如图5-13c所示。例5—6组合梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支承与荷载情况如图如图5-14a所示。已知P=20kN,q=5kN/m,α=45°;求支座A、C的约束反力及铰B处的压力。图5—14图5—15解得由,,解得XA=XB(再取左半刚架为研究对象。受力图如图5-15c所示。解得解得第一节考虑摩擦时物体的平衡前面讨论物体平衡问题时，物体间的接触面都假设是绝对光滑的。事实上这种情况是不存在的，两物体之间一般都要有摩擦存在。只是有些问题中，摩擦不是主要因素，可以忽略不计。但在另外一些问题中，如重力坝与挡土墙的滑动称定问题中，带轮与摩擦轮的转动等等，摩擦是是重要的甚至是决定性的因素，必须加以考虑。按照接触物体之间的相对运动形式，摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩擦。本节只讨论滑动摩擦，当物体之间仅出现相对滑动趋势而尚未发生运动时的摩擦称为静滑动摩擦，简称静摩擦；对已发生相对滑动的物体间的摩擦称为动滑动摩擦，简称动摩擦。一、滑动摩擦与滑动摩擦定律当两物体接触面间有相对滑动或有相对滑动趋势时，沿接触点的公切面彼此作用着阻碍相对滑动的力，称为滑动摩擦力，简称摩擦力。用F表示。图5—16如图5-16所示一重为G的物体放在粗糙水平面上，受水平力P的作用，当拉力P由零逐渐增大，只要不超过某一定值，物体仍处于平衡状态。这说明在接触面处除了有法向约束反力N外，必定还有一个阻碍重物沿水平方向滑动的摩擦力F,这时的摩擦力称为静摩擦力。静摩擦力可由平衡方程确定。ΣX=0,P一F=0。解得F=P。可见，静摩擦力F随主动力P的变化而变化。但是静摩擦力F并不是随主动力的增大而无限制地增大，当水平力达到一定限度时，如果再继续增大，物体的平衡状态将被破坏而产生滑动。我们将物体即将滑动而未滑动的平衡状态称为临界平衡状态。在临界平衡状态下，静摩擦力达到最大值，称值。即最大静摩擦力与许多因素有关。大量实验表明最大静摩擦力的大小可用如下近似关系：最大静摩擦力的大小与接触面之间的正压力(法向反力)成正比，即这就是库伦摩擦定律。式中f是无量纲的比例系数，称为静摩擦系数。其大小与接触体的材料以及接触面状况(如粗糙度、湿度、温度等)有关。一般可在一些工程手册中查到。式(5—10)表示的关系只是近似的，对于一般的工程问题来说能够满足要求，但对于一些重要的工程，如采用上式必须通过现场测量与试验精确地测定静摩擦系数的值作为设计计算的依据。物体间在相对滑动的摩擦力称为动摩擦力，用F′表示。实验表明，动摩擦力的方向与接触物体间的相对运动方向相反，大小与两物体间的法向反力成正比。即相对速度有关，但由于它们关系复杂，通常在一定速度范围内，可以不考虑这些变化，而认为只与接触的材料以及接触面状况有关外。二、摩擦角与自锁现象如图5—17所示，当物体有相对运动趋势时，支承面对物体法向反力N和摩擦力F,这两个力的合力R,称为全约束反力。全约束反力R与接触面公法线的夹角为φ,如图5-17a。显然，它随摩擦力的变化而变化。当静摩擦力达到最大值F时，夹角φ也达到最大值φm,则称φ,0为摩擦角。如图5-17b所示，可见若过接触点在不同方向作出在临界平衡状态下的全约束反力的作用线，则这些直线将形成一个锥面，称摩擦锥。如图5—17c所示。图5—1718)。由此得到法线间的夹角α不大于摩擦角0,物体必保持静止。这种现象称为自锁现象。擦系数为f=0.20。有一大小为Q=588N的力沿斜面推物体如图5-19a所示，问物体在斜面上处于静止还是处于滑动状态?若静止，此时摩擦力多大?解得解得N=Gcosα=848.7N根据静定摩擦定律，可能产生的最大静摩擦力为，假设方向相反，故物体沿斜面有上滑的趋势。例5-9重Q面上静止时的水平推力P的大小。图5—20若力P的数值必在某一范围内。态，其受力图及坐标系如图5—20b所示。此时物体处于上滑的临界平衡状态，其受力图及坐标如图5—20c所示。ZY=0,N₂-Psa-Qos,,理论力学教案6课题第6讲——第六章空间力系学时8学时+4学时教学要求1、掌握空间力在轴和平面上的投影的关系，力对轴的矩和力对点的矩矢间的2、掌握空间力系的平衡方程，会应用求解简单的空间平衡问题。4、掌握重心和形心坐标公式，能计算简单形状物体的重心，能计算组合形状5、理解物体的重心的概念。主要内容1、力的投影与分解。2、力对轴之距。3、空间力系的平衡。重点难点1、力在空间直角坐标轴上的投影。2、力对轴之距。3、物体的重心。教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习问题：P62:1,2,3,4,5,6习题：P62:1,3,5,6,9,10,13总结：理论力学本次讲稿第六章空间力系作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。按各力的作用在空间的位置关系，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。第一节力的投影与分解一、力在空间直角坐标轴上的投影已知力F与x轴如图6—1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N,与x轴交于a、b,则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即F=±ab符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号，反之取负号。已知力F与平面Q,如图6-1(b)所示。过力的两端点A、B分别作平面Q的垂直线AA′、BB′,则矢量A'B'称为力F在平面Q上的投影。应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。图6—1图6—2现在讨论力F在空间直角坐标系Oxy中的情况。如图6-2(a)所示，过力F的端点A、B分别作x、y、z三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA、OB、OC就是力F在x、y、z轴上的投影。设力F与x、y、z所夹的角分别是a、β、y,则力F在空间直角坐标:(6—1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F与z轴夹角为γ,可先将力投影到坐标平面Oxy上，然后再投影到坐标轴x、y上，如图6-2(b)所示。设力F在Oxy平面轴间的夹角为0,则标轴上投影的绝对值。=第二节力对轴之矩6-4所示的一扇门可绕固定轴z转动。我们将力F分解为平行于z轴的分力F,和垂直于轴的分力F(即为力F在平面Oxy上的投影)。由经验可知，分力F₂不能使门m(F)表示力F对z轴的矩，点O为平面Oxy与z轴的交点，h为0点到力F作用线例6—2求图6-6所示力F对x、y、z轴的矩。已知F=20N。F=—Fcos60°cos45°=-7.07N)空间力系的平衡如图6—7b所示，设物体受一空间平行力系的作用。令轴与这些力平行，则各力对于轴的矩恒等于零；又由于轴和轴都与这些力垂直，所以各力在这两个轴上的投影因此空间平行力系的平衡方程为空间汇交力系和空间平行力系分别只有三个独立的平衡方程，因此只能求解三个未知数。例6—3用三角架ABCD和绞车提升一重物如图6—8所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水平面成60°的角。已知重物F=30kN,各杆均为二力杆，滑轮大小不计。试求重物匀速吊起时各杆所受的力。FoDNaoI=FoNaD解取铰D为脱离体，画受力图如图6—8b所示，各力形成空间汇交力系。N所示。求静止时地面对轮子的反力。图6—9联立以上万程得=40kN,h=6m。试求基础的约束反力。—10所示，解柱子基础为固定端，其约束反力如图6该约束反力与柱子上各荷载形成空间任意力系。—10所示，例6—6图6—11a所示为水平放置的直角直杆，A处为球铰，B处用绳BC拉住，D处为普通轴承约束，E悬挂重物F₅=1kN,各尺寸如图所示。试求A、束反力及绳BC的拉力。图6—11abz三个方向分解：FTBx=FTpcosaFTBy=FTscosβFTBz=FrBCosy列出力矩方程时分别选择AB、BD、AD及Z轴为矩轴。=物体的重力是地球对物体的引力，如果把物体看成是由许多微小部分组成的，则每个微小的部分都受到地球的引力，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地看成是空间平行力系，该力系的合力即为物体的重量。由实践可知，无论物体如何放置，重力合力的作用线总是过一个确定点，这个点就是物体的重心。重心的位置对于物体的平衡和运动，都有很大关系。在工程上，设计挡土墙、重力坝等建筑我时，重心位置直接关系到建筑我的抗倾稳定性及其内部受力的分布。机械的转动部分如偏心轮应使其重心离转动轴有一定距离，以便利用其偏心产生的效果；而一般的高速转动物体又必须使其重心尽可能不偏离转动轴，以免产生不良影响。所以如何确定物体的重心位置，在实践中有着重要的意义。一、重心坐标公式根据物体重心的性质，固连在一起绕x轴转过90°,各力△P及P分别绕其作用点也转过90°,如图中虚线所示，再应用合力矩定理，有由上述三式可得物体的重心坐标公式为——状和尺寸。这个由物体的几何形状和尺寸决定的物体的几何中心，称为物体的形心。它是几何概念。只有均质物体的重心和形心才重合于同一点。若物体是均质薄壳(或曲面),其重心(或形心)坐标公式为若物体是或均质细杆(或曲线),其重心(或形心)坐标公式为重重图6—13abc(二)组合法例6—7图6—14为一倒T形截面，求该截面不图6—14解因图形有一对称轴，故取该轴为轴，如图所示。则图形形心必在轴上，即则例6—8图6—15所示为振动器中偏心块，已知R=100mm,r=17mm,d=13mm。求偏心块形心。图6—15思考题m(F)=0;(c)F≠0,m(F)≠0;(d)F=0,m(6-3空间任意力系的平衡方程除了包括三个投影方程和三个力矩方程外，是否还有其它形式?课题第1讲——第七章杆件的内力分析课时8学时+2学时习题课+2学时实验教学要求能正确分析直杆在常见载荷作用下的变形形式，并能较熟练的分析杆件的内主要内容2、内力的概念，求内力的基本方法----截面法。3、轴力和轴力图4、扭矩和扭矩图5、剪力、弯矩和剪力图、弯矩图重点难点内力图的绘制直接绘制剪力图、弯矩图教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习问题：P80:1,2,3,4,5习题：P54:1,2,5,6预习：§3-1,§3-2,§3-3次讲稿第七章杆件的内力分析在进行结构设计时，为保证结构安全正常工作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截面的内力。内力计算是结构设计的基础。本章研究杆件的内力计算问题。第一节杆件的外力与变形特点进行结构的受力分析时，只考虑力的运动效应，可以将结构看做是刚体；但进行结构的内力分析时，要考虑力的变形效应，必须把结构作为变形固体处理。所研究杆件受到的其他构件的作用，统称为杆件的外力。外力包括载荷(主动力)以及载荷引起的约束反力(被动力)。广义地讲，对构件产生作用的外界因素除载荷以及载荷引起的约束反力之外，还有温度改变、支座移动、制造误差等。杆件在外力的作用下的变形可分为四种基本变形及其组合变形。受力特点：杆件受到与杆件轴线重合的外力的作用。变形特点：杆沿轴线方向的伸长或缩短。产生轴向拉伸与压缩变形的杆件称为拉压杆。图：7-1所示屋架中的弦杆、牵引桥的拉索和桥塔、阀门启闭机的螺杆等均为拉压杆。图7-1受力特点：杆件受到垂直杆件轴线方向的一组等值、反向、作用线相距极近的平行力的作用。变形特点：二力之间的横截面产生相对的错动。产生剪切变形的杆件通常为拉压杆的连接件。如图7-2所示螺栓、销轴连接中的螺栓和销钉，均产生剪切变形。图7-2图7-3图7-4单跨静定梁有三种基本形式：悬臂梁、简支梁和外伸梁。如图7-5所示。图7-5第二节内力及其截面法一、内力的概念构件的材料是有许多质点组成的。构件不受外力作用时，材料内部质点之间保持一定的相互作用力，使构件具有固体形状。当构件受外力作用产生变形时，其内部质点之间相互位置改变，原有内力也发生变化。这种由外力作用而引起的受力构件内部质点之间相互作用力的改变量成为附加内力，简称内力。工程力学所研究的内力是由外力引起的，内力随外力的变化而变化，外力增大，内力也增大，外力撤销后，内力也随着消失。显然，构件中的内力是与构件的变形相联系的，内力总是与变形同时产生。构件中的内力随着变形的增加而增加大，但对于确定的材料，内力的增加有一定的限度，超过这一限度，构件将发生破坏。因此，内力与构件的强度和刚度都有密切的联系。在研究构件的强度、刚度等问题时，必须知道构件在外力作用下某截面上的内力值。确定构件任意截面上内力值的基本方法是截面法。图7-6(a)所示为任意受平衡力系作用的构件.为了显示并计算某一截面上的内力，可在该截面处用一假想截面将构件一分为二并弃去其中一部分.将弃去部分对保留部分的作用以力的形式表示，此即该截面上的内力.根据变形固体均匀、连续的基本假设，截面上的内力是连续分布的。通常将截面上的分布内力用位于该截面形心处的合力(简化为主矢和主矩)来代替。尽管内力的合力是未知的，但总可以用其六个内力分量(空间任意力系)N、Q、Q和M、M、M来表示，如图7-6(b)所示.因为构件在外力作用下处于平衡状态，所以截开后的保留部分也应保持平衡.由此，根据空间力系的六个平衡方程：M、M等各内力分量.用截面法研究保留部分的平衡时，各内力分量相当于平衡体上的外力.图7-6截面上的内力并不一定都同时存在上述六个内力分量，一般可能仅存在其中的一个或几个.随着外力与变形形式的不同，截面上存在的内力分量也不同，如拉压杆截面截面法求内力的步骤可归纳为：(2)代替：弃去任一部分，并将弃去部分对保留部分的作用以相应内力代替(即显示内力)。在本章以后各节中，将分别详细讨论几种基本变形杆件横截面上的内力计算。第三节杆件的内力计算一、轴向拉(压)杆件横截面上的内力如图7-7(a)所示为一受拉杆，用截面法求m-m截面上的内力，取左段(图7-7b)图7-7由ZX=0N-P=0解得N=P同样以右段(图7-7c)为研究对象：解得N=P由上可见N与N大小相等，方向相反，符合作用与反作用定律。由于内力的作用线与轴线重合，故称轴力。其实际是横截面上分布内力的合力。为了无论取哪段，均使求得的同一截面上的轴力N有相同的符号，则规定：轴力N方向与截面外法线方向相同为正，即为拉力；相反为负，即为压力。例7-1一等直杆受4个轴向力作用(图7-8a),试求指定截面的轴力。图7-8解假设各截面轴力均为正。如图7-8b所示。如图7-8c所示，由解得N=P+P=35KN如图7-8d所示，由数值等于对应截面一侧所有外力的代数和，且当外力的方向使截面受拉时为正，受压时为负。即：二、受扭杆件横截面上的内力如图7-9a为一受扭杆，用截面法来求n—n截面上的内力，取左段：(图7-9b),作用于其上的外力仅有一力偶m,因其平衡，则作用于n—n截面上的内力必合成为一力偶。图7-9解得杆件受到外力偶矩作用而发生扭转变形时，在杆的横截面上产生的内力称扭矩(T)符号规定：按右手螺旋法则将T表示为矢量，当矢量方向与截面外法线方向相同为正(图7-9c);反之为负(图7-9d)。例7-2图7-10(a)所示的传动轴的转速n=300r/min,主动轮A的功率N=400kW,如图7-10(b)。图7-10解得如图7-10(c)。解得如图7-10(d)。解得的代数和，且外力偶矩应用右手螺旋定则背离该截面时为正，反之为负。即例7-3图7-11所示的传动轴有4个轮子，作用轮上的外力偶矩分别m,,,试求指定截面的扭矩。m图7-11取右段取左段取右段T,=m+m=4kN·m取左段一分为二，取如图7-12(b)所示的左半部分为研究对象。因为作用于其上的各力在垂直于梁轴方向的投影之和一般不为零，为使左段梁在垂直方向平衡，则在横截面上必然存在一个切于该横截面的合力Q,称为剪力。它是与横截面相切的分布内力系的合力；同时左段梁上各力对截面形心0之矩的代数和一般不为零，为使该段梁不发生转动，在横截面上一定存在一个位于荷载平面内的内力偶，其力偶矩用M表示，称为弯矩。它是与横截面垂直的分布内力偶系的合力偶的力偶矩。由此可知，梁弯曲时横截面上一般存在两种内力。如图7-12(b)。图7-12解得剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负。如图7-13a所示。弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负。如图7-13b所示。例7-4试求图7-14(a)所示外伸梁指定截面的剪力和弯矩。解如图7-14(b)。图7-14求梁的支座反力。解得Rc-R-P=0解得解得如解得解得由上述剪力及弯矩计算过程推得：任一截面上的剪力的数值等于对应截面一侧所有外力在垂直于梁轴线方向上的投影的代数和，且当外力对截面形心之矩为顺时针转向时外力的投影取正，反之取负；任一截面上弯矩的数值等于对应截面一侧所有外力对该截面形心的矩的代数和，若取左侧，则当外力对截面形心之矩为顺时针转向时取正，反之取负；若取右侧，则当外力对截面形心之矩为逆时针转向时取正，反之取负；即例7-5如图7-15所示简支梁，在点C处作用一集中力P=10kN,求截面n-n上的剪力和弯矩。图7-15解求梁的支座反力。解得解得R=6.25kN取右段RA+R-P=0描述内力沿杆长度方向变化规律的坐标x的函数，称为内力方程。为了形象直观的反映内力沿杆长度方向的变化规律，以平行于杆轴线的坐标x表示横截面的位置，以垂直于杆轴线的坐标表示内力的大小，选取适当的比例尺，便可作出对应的内力图。一、利用内力方程作内力图内力方程所提供的函数图形，即为内力图。例7-6一受力如图7-16(a)所示的阶梯形杆件，q为沿轴线均匀分布的载荷，试作轴力图。图7-16解如图7-16(b)。由于作用在杆件上的外力不是连续变化的，故应分段列出内力方程。(0<x<1)p-2P+--N()=PNp=P根据N+、N-、N、N-的对应值便可作出图7-16(c)所示的轴力图。N+及n-分别对应横截面右侧及左侧相邻横截面的轴力。由例子可见，杆的不同截面上有不同的轴力，而对杆进行强度计算时，要以杆内最大的轴力为计算依据，所以必须知道各个截面上的轴力，以便确定出最大的轴力值。这就需要画轴力图来解决。例7-7试作出例7-2中传动轴的扭矩图。图7-17由例子可见，轴的不同截面上有不同的扭矩，而对轴进行强度计算时，要以轴内最大的扭矩为计算依据，所以必须知道各个截面上的扭矩，以便确定出最大的扭矩值。这就需要画扭矩图来解决。例7-8试作出图7-18(a)所示梁的剪力图和弯矩图。图7-18解如图7-18(b)。求梁的支座反力。解得解得由上述内力图可见，集中力作用处的横截面，轴力图及剪力图均发生突变，突变的值等于集中力的数值；集中力偶作用的横截面，剪力图无变化，扭矩图与弯矩图均发生突变，突变的值等于集中力偶的力偶矩数值。二、利用分布荷载与剪力、弯矩间的微分关系作梁的内力图在的某些规律，在不列内力方程的情况下，能够快速准确的画出内力图。上为正，反之为负，并以A为原点，取x轴向右为正。用坐标分别为x和x+dx的两个横截面从梁上截出长为dx的微段，其受力图如图7-19(b)所示。yyB(图7-19解得由分别是剪力图和弯矩图的斜率。根据上述各关系式及其几何意义，可得出画内力图的一些规律如下：(1)q=0:剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。(2)q=常数：剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。(3)集中力P作用处：剪力图在P作用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一折P作用处有转折。(4)集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图在力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。掌握上述载荷与内力图之间的规律，将有助于绘制和校核梁的剪力图和弯矩图。将这些规律列于表7-1。梁上荷载情况无分布荷载M图为料直线M图为料直线M上斜直线2均布荷载向上作用均布荷载向下作用M编中力作用FCC藏面有次交C我而有转折5集中力偶作用C截面无变化C截面有突究6Q=0戴面利用上述规律，首先根据作用于梁上的已知载荷，应用有关平衡方程求出支座反力，然后将梁分段，并由各段内载荷的情况初步确定剪力图和弯矩图的形状，最后由式(7-3)求出特殊截面上的内力值，便可画出全梁的剪力图和弯矩图。这种绘图方法称为简捷法。下面举例说明。例7-9外伸梁如图7-20(a)所示，试画出该梁的内力图。(1)求梁的支座反力解得由Ro)e图7-20(2)画内力图：CA段：q=0kN,剪力图为水平直线；弯矩图为斜值线。m00在小变形情况下，梁在载荷作用下，其长度的改变可忽略不计，则当梁上同时作用有几个载荷时，其每一个载荷所引起梁的支座反力、剪力及弯矩将不受其它载荷的等于各载荷单独作用时弯矩的代数和。利用叠加法作弯矩图时，只有熟悉一些基本载荷的弯矩图，才能快速省时。为此将常见梁的弯矩图列表7-2中，以便查用。表7-2常见梁的弯矩图例7-10用叠加法作图7-21(a)所示梁的弯矩图。图7-21解查表7-2,可得P、p单独作用时产生的弯矩图分别为图7-21(b、c)然后将此二弯矩图对应的纵坐标代数相加，便可做出由p、p共同作用时梁的弯矩图。如图7-21(d)所示。例7-11用叠加法作图7-22(a)所示梁的弯矩图。相抵消，使得图7-22(d)所示的阴影部分，即为梁的弯矩图。图7-227-1.设两根材料不同，截面面积也不同的拉杆，承受相同的轴向拉力，其内力是否相同?7-2.外力偶矩与扭矩的区别与联系是什么?7-4.集中力及集中力偶作用的构件横截面上的轴力、扭矩、剪力、弯矩如何变化?材料力学教案2课题第2讲——第八章杆件的强度计算学时24学时教学要求1、掌握正应力的概念；熟练地计算出各种变形时横截面上应力。4.理解面积矩和形心，轴惯性矩，极惯性矩和惯性积，惯性矩和惯性积的平行移轴定理。5、了解惯性矩和惯性积的转轴公式，惯性矩的近似计算方6、掌握各种基本变形和组合变形的强度计算。7、掌握剪切和挤压的实用计算8、理解剪切的概念和实例。主要内容2、拉压杆和梁的正应力。3、杆件横截面上的切应力。5、截面的几何性质。6、杆件的强度计算。重点难点3、偏心压缩4、剪切面和挤压面的确定教学方法和手段以讲授为主，使用电子教案课后作业练习问题：P115:1,2,3,4,5,8,10,11习题：P115:2,3,4,5,8,11,12,13,14,17,22,26,27,预习：第九章本次讲稿第八章杆件的强度计算内力是构件横截面上分布内力系的合力，只求出内力，还不能解决构件的强度问题。例如，两根材料相同、粗细不同的直杆，在相同的拉力作用下，随着拉力的增加，细杆首先被拉断，这说明杆件的强度不仅与内力有关，而且与截面的尺寸有关。为了研究构件的强度问题，必须研究内力在截面上的分布的规律。为此引入应力的概念。内力在截面上的某点处分布集度，称为该点的应力。设在某一受力构件的m-m截面上，围绕K点取为面积△A(图8-1a),△A上的内△A上内力的平均集度定图8-1一般情况下，m-m截面上的内力并不是均匀分布的，因此平均应力随所取△A的大小而不同，当△A→0时，上式的极限值解成垂直于截面的分量。和相切与截面的分量t。由图中的关系可知。称为正应力，t称为剪应力。在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，以P表示，1Pa=1N/m2。由于帕斯卡这一单位甚小，工程常用kPa(千帕)、MPa(兆帕)GPa(吉帕)。1kPa=10₃Pa,1Mpa=10₆Pa,1Gpa=10₉Pa。第二节轴向拉(压)杆及梁弯曲的正应力一、杆件拉(压)时的正应力1.横截面上的正应力为观察杆的拉伸变形现象，在杆表面上作出图8-2(a)所示的纵、横线。当杆端加上一对轴向拉力后，由图8-2(a)可见：杆上所有纵向线伸长相等，横线与纵线保持垂直且仍为直线。由此作出变形的平面假设：杆件的横截面，变形后仍为垂直于杆轴的平面。于是杆件任意两个横截面间的所有纤维，变形后的伸长相等。又因材料为连续均匀的，所以杆件横截面上内力均布，且其方向垂直于横截面(图8-2b),即横截面上只有正应力。。于是横截面上的正应力为式中为横截面面积，σ的符号规定与轴力的符号一致，即拉应力。为正，压应力。为注意：由于加力点附近区域的应力分布比较复杂，式(8-2)不在适用，其影响的长度不大于杆的横向尺寸。图8-22.斜截面上的正应力图8-3其中角α及剪应力t符号规定：自轴x转向斜截面外法线n为逆时针方向时α角为正，反之为负。剪应力t对所取杆段上任一点的矩顺时针转向时，剪应力为正，反之为规在一般情况下，梁的横截面上即有弯矩，又有剪力，如图8-4(a)所示梁的AC及DB段。此二段梁不仅有弯曲变形，而且还有剪切变形，这种平面弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。为使问题简化，先研究梁内仅有弯矩而无剪力的情况。如图8-4(a)所示梁的CD段，这种弯曲。图8-4图8-5称为纯弯曲1.纯弯曲变形现象与假设为观察纯弯曲梁变形现象，在梁表面上作出图8-5(a)所示的纵、横线，当梁端上加一力偶M后，由图8-5(b)可见：横向线转过了一个角度但仍为直线；位于凸边的纵向线伸长了，位于凹边的纵向线缩短了；纵向线变弯后仍与横向线垂直。由此作出纯弯曲变形的平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤维之间无挤压。即所有与轴线平行的纵向纤维均是轴向拉、压。如图8-5(c)所示，梁的下部