七年级数学下册讲义（北师大版）第一章第06讲 平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)（解析版）

第06讲平方差公式和完全平方公式(10类热点题型讲练)1.理解并掌握平方差公式和完全平方公式的推导和应用；2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)知识点02完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a+b)²=a²+2ab+b²完全平方差(a-b)²=a²-2ab+b²公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；④(a-b)²=(a+b)²-4ab⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab知识点03平方差和完全平方差区别平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍题型01判断是否可用平方差公式运算.【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：A、，可以使用平方差公式；B、，可以使用平方差公式；C、，可以使用平方差公式；D、，两项都不相同，可变形为完全平方公式，不能使用平方差公式．故选：D．【变式训练】1．下列能使用平方差公式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：A、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；B、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；C、不能使用平方差公式，故本选项不符合题意；D、能使用平方差公式，故本选项符合题意；故选：D2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：A、，能用平方差公式进行计算，不符合题意；B、，不能用平方差公式进行计算，符合题意；C、，能用平方差公式进行计算，不符合题意；D、，能用平方差公式进行计算，不符合题意；故选B．题型02运用平方差公式进行运算.【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，平方差公式：（1）利用多项式乘以多项式的法则即可求解；（2）利用平方差公式即可求解；（3）利用平方差公式即可求解；（4）利用平方差公式即可求解；（5）利用平方差公式即可求解．掌握多项式乘以多项式以及平方差公式的法则是解题的关键．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果；（2）原式利用平方差公式计算即可得到结果；（3）原式利用平方差公式计算即可得到结果；（4）原式利用平方差公式计算即可得到结果；．【详解】（1）；（2）（3）；（4）．【点睛】此题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（2023·上海·七年级假期作业）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）连续运用平方差公式求解即可；（2）连续运用平方差公式求解即可；【详解】（1）；（2）．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．题型03利用平方差公式进行简便运算.【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：(1)(2)【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据，利用平方差公式计算即可得；（2）根据，利用平方差公式计算即可得．【详解】（1）解：原式．（2）解：原式．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算，熟记平方差公式是解题关键．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方差公式计算即可；（2）根据平方差公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记平方差公式的特征是解题的关键．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)39996(3)2022【分析】（1）（2）（3）运用平方差公式即可求解．【详解】（1）解：原式（2）解：原式（3）解：原式【点睛】本题考查平方差公式的运用．熟记公式形式是解题关键．题型04平方差公式与几何图形.【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．(1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为．（用含有a、b的代数式表示）(2)由（1）可以得到等式：．(3)根据你得到的等式解决下列问题：①计算：．②若，求的值．【答案】(1)(2)(3)①3700；②5【分析】本题考查平方差公式与几何面积．（1）利用长方形的面积公式作答即可；（2）根据两个图形的面积相等，即可得出等式；（3）①利用（2）中的等式进行计算即可；②先用平方差公式进行化简，再代值计算即可．解题的关键是得到．【详解】（1）解：图2中图形的面积为；故答案为：；（2）由（1）可得：；故答案为：；（3）①；②∵，∴．【变式训练】1．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）【实践操作】（1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；

（2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______；【应用探究】（3）利用（）中验证的公式简便计算：；（4）计算：．【答案】（）；（）；（）；（）．【分析】（）利用长方形的面积等于长乘以宽即可；（）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积，分别计算即可得出；（）观察（）的的乘法公式的特点是两数之和乘以两数之差，故将拆成，将拆成即可；（）利用将各个因其进行因式分解后，再将各因式通分相加，发现每相邻两个的乘积为，故答案为第一个因式乘以最后一个因式；本题考查了“数形结合”中的平方差公式及其灵活运用，解题的关键是善于发现规律并总结规律．【详解】（），，，，故答案为：；（）图中大长方形的面积等于图的阴影部分面积，∴，故答案为：；（）原式，，；（）原式，，，．2．（2023上·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．A．

B．

C．(2)请应用上面的公式完成下列各题：①已知，，则______；②计算：；③计算：【答案】(1)B(2)①4；②5050；③【分析】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键．（1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；（2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果．【详解】（1）解：图一中的阴影部分面积为：，图二中阴影部分面积为：，而这两者面积相等，所以有：．故选：B．（2）解：①，又，．②，，，原式．③．题型05运用完全平方公式进行运算【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟知是解题的关键．（1）根据完全平方公式进行求解即可；（2）先把看做一个整体利用平方差公式去中括号，再根据完全平方公式去小括号即可得到答案．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可；（3）根据完全平方公式计算即可；（4）先提出负号，再完全平方公式计算即可；【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握这一公式的特征是解题的关键．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案；（2）两次利用完全平方公式计算即可得答案；（3）将原式变形，利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可得答案．【详解】（1）解：．（2）解：．（3）.．【点睛】本题考查平方差公式及完全平方公式，平方差公式：；完全平方公式：；熟练掌握两公式并灵活运用是解题关键，运用整体思想，将多项式看成一项，可创造条件套用公式．题型06利用完全平方公式进行简便运算【例题】用简便方法计算：．【详解】解：原式．【变式训练】1．用简便算法计算(1)(2)【详解】（1）解：原式．（2）解：原式题型07通过对完全平方公式变形求值【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)5(2)1【分析】本题考查了完全平方公式的计算，变形计算．（1）根据公式变形计算即可．（2）根据公式计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，解得．（2）解：∵，，∴，∴．【变式训练】1．已知，，求下列代数式的值．(1)(2)【详解】（1）∵，∴，∴，∵，∴；（2），，，．2．已知，求下列式子的值：(1)；(2)．【详解】（1）∵，∴．（2）∵，∴．题型08求完全平方式中的字母系数【例题】已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是．【答案】、和【详解】解：①∵，∴，②若是多项式的平方，则；故答案为：、和．【变式训练】1．若是一个完全平方式，则．【答案】11或/或【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，∴，解得或，故答案为：11或．2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是．【答案】或或【详解】解：当为和的中间项时；当为和的中间项时；当为和的中间项时；故答案为：或或．题型09完全平方式在几何图形中的应用【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下：解：，，∴当时，的值最小，最小值是，∴，∴当时，的值最小，最小值是，∴的最小值是．请你根据上述方法，解答下列各题．(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；(2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；(3)知识拓展：若，求的最小值．【答案】(1)，(2)，大，(3)【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值；（2）将等式右边配方后即可确定当取何值时能取到最小值；（3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可．【详解】（1）解：∵，∴当时，有最小值；故答案为：，；（2）解：∵，∴当时有最大值；故答案为：，大，；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴当时，的最小值为．【点睛】本题考查完全平方公式及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．例：求代数式的最小值.解：，，，当时，代数式有最小值，仿照以上方法，完成下列问题：(1)求代数式的最小值；(2)求代数式的最大值.【详解】（1）解：，，，当时，代数式有最小值；（2），，，当时，代数式有最大值．2．我们已学完全平方公式：，观察下列式子：，，原式有最小值是；，，原式有最大值是；并完成下列问题：(1)代数式有最（填大或小）值，这个值=．(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．①用含的式子表示花圃的面积；②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？【详解】（1）解：，∵，∴，∴代数式有最小值，最小值为；故答案为小，；（2）解：①由图可得花圃的面积：平方米；②由①可知：，当时，，且，当时，花圃的最大面积为1250平方米．题型10完全平方公式在几何图形中的应用【例题】现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）；图1表示：；图2表示：；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(2)若，，则；；(3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．【详解】（1）解：图1中，由图可知，，由题意得，，即，故答案为：．图2中，由图可知，，，由题图可知，，即，故答案为：．（2）解：，，，，∴．故答案为：16；12．（3）解：由题意得，，，，，，，∴．即图中阴影部分的面积为．【变式训练】1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．解：因为，所以，即．又因为，所以．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若，，则；(2)若，，求的值；(3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为．【详解】（1）解：，，即，又，，，故答案为：12；（2）解：∵，，；（3）解：设正方形的边长为m、的边长为n，，，，即，，，，，，解得：m=5,n=3，．故答案为：5．2．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是；(2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值；(3)若将正方形的边、分别与图①中的、重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．【详解】（1）（2）设，，则，，由已知得：，∴，∴，

∴（3）设正方形的边长为x，则，，∵∴∵∴一、单选题1．（2023上·河南驻马店·八年级统考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式特征，逐项判断，即可求解．【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；故选：B2．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下列式子：①；②；③，其中正确的是（

）A．①②③ B．只有①② C．只有② D．只有①【答案】A【分析】本题考查平方差公式：、完全平方公式：，根据公式一一判断即可．【详解】解：，故①符合题意；，，故②符合题意；，故③符合题意；故选：A．3．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若，，则的值是（

）A．27 B．28 C．29 D．30【答案】C【分析】本题考查运用完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．【详解】解：，故选C．4．（2023上·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查零指数幂，平方差公式，积的乘方，先分别计算a，b，c的值，再比较即可．【详解】解：，，，因为，所以，故选：B．5．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（

）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】本题考查了多项式乘以单项式与图形的等面积，根据多项式乘以多项式与图形的面积得出等式，即可求解．【详解】解：由图2可得∵，∴，又∵∴故选为：B．二、填空题6．（2023上·上海杨浦·七年级统考期末）计算：.【答案】【分析】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握公式的运算法则．【详解】解：，故答案为：．7．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）若是一个完全平方式，那么．【答案】3或【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键．由题意知，，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，∴，解得，或，故答案为：3或．8．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式．【答案】【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答．【详解】解：由作图可得：阴影部分的面积为；由右图可得：阴影部分的面积为：；所以．故答案为9．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）设是实数，定义一种新运算；．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确推断的序号是．【答案】①③/③①【分析】本题考查了完全平方公式，解题的关键是新运算规则，对选项逐个进行判断．【详解】解：，，故①正确；，，故②错误；，，故③正确；，，故④错误；即正确的为①③，故答案为：①③．10．（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：．根据这一规定，计算．【答案】【分析】按照规定的运算方法把化为，利用平方差公式计算整理即可．【详解】解：根据题意得：，．故答案为：．【点睛】本题考查了整式的混合运算，立意较新颖，读懂规定运算的运算方法并列出算式是解题的关键．三、解答题11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查的是整式的混合运算．（1）利用完全平方公式计算即可求解；（2）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可求解；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算即可求解；（4）先乘方，再计算乘法．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）利用平方差公式求解即可；（2）利用完全平方公式求解即可；（3）利用完全平方公式求解即可；（4）利用平方差公式和完全平方公式求解即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．13．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）（1）已知，求代数式的值．（2）若，求【答案】（1）；（2）【分析】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的变形求值，（1）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，再由得到，最后利用整体代入法求解即可；（2）根据，把等式两边同时平方得到，则．【详解】解：（1），∵，∴，∴原式；（2）∵，∴，∴，∴，∴．14．（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法规为．(1)计算：_______；(2)化简二阶行列式的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，整式的混合运算，平方差公式的应用，熟记各自的运算法则是解本题的关键；（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义列式为，再利用平方差公式，单项式乘以多项式先计算乘法运算，再合并同类项即可．【详解】（1）解：；（2）根据题中的新定义．可得：．15．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）下面是小明同学化简求值的过程，请你认真阅读并完成相应的任务．先化简，再求值：，其中．解：原式……第一步……第二步……第三步当时，原式．……第四步(1)小明同学第________步开始出现错误．(2)写出正确的化简求值过程．【答案】(1)二(2)，，过程见解析【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．（1）根据去括号，合并同类项法则判断即可；（2）去括号，合并同类项，代入计算即可．【详解】（1）解：第二步错误，去括号没有变号．故答案为：第二步；（2）原式．当时，原式．16．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则______，______（请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）．(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______(3)运用