工科物理教程

练习1物理世界

思考并回答下列问题，以检查自己的阅读效果

1.1(1)物理学有哪五门基础理论？并说明其各自的研究对象。

(2)试述物质的结构层次。构成物质的最小组元是哪些？

(3)试比较自然界中四种基本相互作用。

(4)三相点表示什么？水的三相点有什么特殊意义？

(5)场与实物有什么区别和联系？

(6)如何看待“纳米技术将引发认知革命”？

估算下列各题，会帮助你建立某些数量级的概念

1.2真空中的光速c=m/s=m/a(。为年)，利用这个事实估算光穿

过下列物体或空间所需时间的数量级。

(1)地球内部；(2)太阳到地球的空间；(3)宇宙已知部分。

［分析与解答］

c=3X108m/5=1.08X1012/77/〃=2.59XlOnm

Id-9.45X1015m/a

2RE2X6.37X106(1)Af===4.25x102

s(地球半径氏=6.37X106m)c3X10s

t/1.47X10n(2)A/===4.9xIO2S(日地距离d=1.47X

10iim)c3X10s

r2XIO26(3)Af===6.67x10i7S(宇宙哈勃半径下限：

r-1026m)c3X108

1.3地球半径约为原子半径的多少倍？是宇宙半径的几分之一？

［分析与解答］地球半径约为n=6.37X106加原子半径约

为及=0.53X10io机

r\八宇

宙半径约为n-1X10261.2X1017=6.37X1020r2r?

1.4Fe原子的直径约为1.26X10\om,若将其排列成1cm长的“原

子队伍”，需要多少个原子？如果以1s排一个原子的速度，需排多少

时间？

1X1。2［分析与解答］'=10=7.94X107个1.26

X10

△t=7.94x107s=2.2x104/2=9.18x102J=

2.5。

下面两题是关于物理方法的，认真做一做，想一想，会得到很有意义

的启发

1.5设想你有一位好友在外地,你的父母从未见过,那么,你怎样向父母

介绍他(包括性格、体型、爱好等等)？很有趣，你在介绍中采用的类比方

法,与卢瑟福在提出原子结构模型时采用方法很相似,因为他也从未见

过原子。

1.6我国硬币的正面是国徽,反面是面值。现有一个塑料袋装了1000个

硬币，突然袋底破裂,全部硬币撒落在地上，你能不能估计一下,正面朝

上和反面朝上的比例约为多少？如果你无从回答,不妨自己去试一下，

当然不一定是1000个,儿十个也可以，10000个更好些,如能从数目小试

到数目大那就更能说明问题,这就是一种统计规律,即大量事件所服从

的规律。(结论是：正面朝上和反面朝上的数目大致相同。数量越大，正

面和反面朝上的数目越接近。当然,也可用一个硬币作多次实验，把每次

的结果记下来，次数多了，也能得到同样的结论。)

关于单位制、量纲

1.7思考下列问题：

(1)何谓单位制？为什么要制定单位制？

(2)何谓基本量和导出量？

(3)SI的基本量是哪些？

2

(4)加速度单位为m/s，读作“米二次方秒”。那么，速度、体积的单

位应如何读法？

1.8什么是量纲(或量纲积)？试练习写出下列物理量的量纲式。

(1)力dimF;(2)动量dimP;(3)电场强度dimE;(4)加速度dima。

［分析与解答］(1)dimF-LMTi(F-ma)(2)dimp-

LMTi(p-mv)

Fma(3)dimE=

LMT311(E==)(4)dima-LTiqlt

1.9从量纲角度判断下列各方程是否正确，为什么？

1(1)运动方程x=〃+W2(v为速度，a

为加速度，t为时间)：2

(2)质能公式E=mc2(E为能量，m为质量，c为真空中的光

速)；

(3)电场力F=qE(F为电场力,q为电荷，E为电场强度)。

［分析与解答］

1⑴dim(a/+VO/2)=£T2T+LT\Ti=LT\+LT,

dimx-L2

1两边量

纲不同，故等式不成立。正确的应为x=VO/+at22

(2)dimE=L2MT2,dim(/nc2)=L2W2,两边量纲相同，故等式

成立。

2

(3)dimF=LMT2,dim(^£)=ITLWT3/1=IMT2,两边量纲相同，

等式成立。

学习方法提示

1.10注意养成阅读、研究教材和参考书的良好习惯，培养、提高自我

获取知识的能力，对在校学习和未来发展都是十分重要的。本章论及的

内容，涉及的面很广，且一般都是概论性的介绍，如你对某些内容特别

感兴趣的话，不妨找些参考读

物或相关期刊和网站去作深入了解。

练习3牛顿运动定律

关于力的概念与受力分析

3.1你是怎样理解力的？并讨论：

(1)说明弹性力及摩擦力的作用机理；

(2)讨论场力的作用机理；

(3)算一算你的体重是多少牛顿，以加深对力的单位的数量概念;

(4)当你乘坐在一枚巨型火箭中，竖直加速上升，其加速度为

98.Om/s2

(即a=10g),则坐椅对你的支承力(即推力)是你体重的多少倍？

［分析与解答］(4)由N-mg=ma可知，N=ma+mg=llmg

3.2判断下述说法的正误。

(1)物体的速度越大，表明其受力越大；

(2)物体的速率不变，合外力必为零；

(3)支承力必与支撑面垂直；

(4)物体受力不为零，速度必越来越大；

(5)绳子一端系一小球，绕绳子的另一端在水平面上作圆周运动,

不计一切摩擦。在绳子断了以后，小球在离心力作用下飞去。

［分析与解答］(1)错误。因为外力是产生加速度的原因,且力的

大小与加速度成正比,与速度无关。

(2)错误。因为速度不变只说明切向加速度为零，但反映速度方向

变化的法向加速度可能不为零,因而和外力不一定为零。

(3)正确。支承力沿法线方向，即与支承面垂直。

(4)错误。因为当受力与速度方向垂直，或与速度方向相反时，会

保持速率不变,或速率越来越小。

(5)错误。因为小球在作圆周运动时,是受绳子的张力作用，该力

指向圆心，提供小球作圆周运动的向心力。在绳子断了以后，小球不再受

力，小球因惯性沿原来圆周运动的切线方向(既速度方向)向外飞去。

3.3讨论、分析下列物体的受力情况，并画出隔离体图：

(1)质量为m的物体静止在某一坡度的斜面上时，受哪几个力？有

无“下滑力”？

(2)一卡车，在牵引力F作用下做匀速直线运动，其上载有质量

为m的木箱，两者相对静止。该木箱受哪几个力作用？

(3)歼击机驾驶员作翻转特技飞行表演，当他处于头向下的位置

时(相当于圆轨道的顶点)，受哪几个力作用？

1

(4)上题中，驾驶员受不受向心力作用？如有，是哪个物体为他提

供的向心力？

(5)讨论骑行中的自行车前后轮所受的摩擦力的方向。

(6)试总结一下分析摩擦力方向的方法。

牛顿运动定律

3.4力是物体运动状态变化的原因，其间符合怎样的规律？

(1)列出牛顿第二定律的表达式，并说明其意义。

(2)F-mtz在什么条件下成立？它与F=ma有什么区别？

(3)F=mdv/dt与F=mvi/R各表示什么意义？

(4)何谓惯性？为什么把牛顿第一定律称为惯性定律？

(5)2000年物理学界的第1件重大事件是，经过历时4年，耗资

数10万

美元的计算，得到了地球质量的最新数据为5.972X1024kg,比原先

公认的

5.976X1024kg要轻得多,“大大出乎物理学家们的预料”。这主要是对

影响每

个星球的引力常数，得出了迄今最精确的计算结果。你能就此事对未来

的影响做些预测吗？

牛顿运动定律的应用

3.5(1)一质量为m的人，站在升降机中的磅秤上(见图)，当升

降机①以速度v匀速上升；②以加速度a匀加速上升；③以加

速度a匀加速下降；④在高为h处，吊索断了，磅

秤上指示的读数各为多少？并讨论下列问题：

①磅秤指示的是什么？

②超重和失重是怎么回事？

③你在求解时所列出的方程，是对哪个参

考系而言的？

(2)飞船发射升空时有一个加速过程，其间宇航

员处于超重状态，在航天技术中，把宇航员在超重状题3.5图

态下对座椅的压力Ev与他在地球表面的重力p=/ng的比值称为耐受力

隹［左

拔事航员时要求4WkW12,杨利伟的k值约为8。试估算设计飞船发

射时加速度值的选取范围。

VV

V［分析与解答］(1)人受两个力，重力P=mg和磅秤的支承力FN'o

秤的指

vv示数就是N的反作用力N',即人对秤的

正压力。对地面参考系而言：

2

①升降机匀速上升时，有F,v=mg即FN'=-mg式中负号表示

方向向下。

②以a上升时，有FNmg=ma,FN=mg+ma（超重现象）

'则Ev=FN-（mg+ma）（方向向下）

③以a下降时，有mgFN=ma.FN-mgma

r则FN=FN=（mgma）（方向向下）

④以g自由下落时，有mgFN=mg,FN=0（失重现象）

'则尸N=0

（2）由上问②可知，FNmg-ma,FN-mg+ma-kmg,由题意可

知,发射

加速度a的取值范围为3gWaWllg

3.6如图所示，Wl=mi=m,用轻绳相连，现作用一水平恒力F,

试求绳

子的张力国和系统的加速度。

［分析与解答］在不计摩擦力的情况下,两物体水平方向受力如图

所示。

对掰1有：FT-m\a

'对m2有：FFT-mia

F

解得a=

题3.6图？？

2m

F

则FT-ma=

2

3.7质量为m=3kg的物体置于*30°的斜面上（见图），静摩

擦因数

3

|Jo=o可知，当F=10N和F=25N时，物体所受摩擦力

3

的方向指向如何?

［分析与解答］物体受力情况如图所示。当外力F大小

不同时,摩擦力的方向可能不同。

题3.7图？？

按题设条件，重力沿斜面方向的分量为mgsin6=3x9.8xsin30。

=14.7N

3

3斜面提供的最大静摩擦力为fr=fomgcosl-3x9.8x=14.7N32

3

当推力F=10N(＜加gsinB)时，物体有下滑趋势，摩擦力方向应为

沿斜面向

上,此时静摩擦力大小为f\=14.710=4.7N

当推力b=25N(＞掰gsinB)时,物体有向上运动趋势，摩擦力方向

应为沿斜

面向下，此时静摩擦力大小为/2=2514.7=10.3N

3.8试述处理滑轮问题的一般方法。见图(a),m2＞m1,不

计绳子和滑轮质量以及一切摩擦，试求：

(1)绳子的张力后'和系统的加速度

(2)欲把该装置移到以加速度/上升的电梯中，则乃和a为多

少？

(3)欲将图⑸改为图(b)所示的情况，其他条件不变，再求尸7

和＜7。

(4)三种情况下的弹簧伸长量。

［分析与解答］设想，山开始运动时，弹簧有一定伸长，使得滑轮中

心保持静止不动,处于平衡状态。

(1)分别取加，侬为隔离体,分析它们的受力情况(如图c)。并

分别列出牛顿运动方程

FTm\g-m\a①

m2gFT-rma②

mm\2加必2解得a-2g,FT-g@m\+m2ml+m2

题3.8图

(2)将图(a)装置移到电梯中，式①②变为

FTm\g=m\(a+a')

migFT-rm(aa')

mm\2aM2解得a=2(g+a'),Fr=(g+a')

(4)mi+m2ml+m2

(3)在图(b)装置中，FT-F=mig,对掰1有FTm\g-m\a

4

m心1得。=2gmi

（4）取滑轮为隔离体，如图（d）所示，可知kyo=2FT

则（1）中情况下的弹簧伸长为

2F4m\ni2gyo-r-k（m\+

m2）k

在（2）中情况下

2F4mim2（g+a'）/=T

-k（m\+tm）k

在（3）中情况下

IF2m2gyo-r-kk

3.9假使地球自转速度加快到能使赤道上的物体处于失重状态,-

昼夜的时间有多长？

3.10在一只半径为R的半球形碗内，有一粒质量为m的小钢球，

沿碗的

内壁作匀速圆周运动。试求：当小钢球的角速度为G时，它距碗底的高

度h为多少？

［分析与解答］取小球为隔离体,受重力P和支承力网（如

图？？）。其中，

网沿X轴方向的分力提供小球作圆周运动的向心力。有

FNsin0=man=mrS2=mRs2sin0①

FNcosG=mg

②

RR且cosB二③及

g解得h=R2

0）

可见,h随3的增大而增大。

3.11星体自转的最大转速发生在其赤道上的物体所受向心力正好

全部由

引力提供之时。

（1）行星密度一般约为3.0X103妲/m3,求其可能的最小自转

周期T。

（2）有一中子星的自转周期为1.6ms,若它的半径为10km,则该

中子星的质量至少有多大？若太阳质量ms=1.99X1030kg,则中子

星的质量是太阳质量

5

的多少倍？

［分析与解答］(1)行星赤道上的物质所受的向心力全部由引力提

供时,行

2n星自转转速最大，由7=可知，此时周期T

为最小。

3

4设行星的半径为R,质量

为M,且M=7?3pO其赤道上有一物体，质量3

为m。由引力定律和牛顿第二定律可得

Mm2nG2=)2

RRT

式中G为引力常数，等于6.67X1011m3/(kgs2)

4将〃=R3P代入式①,得可能的最小周期为3

3n3n7===6.9x103s

@Gpi16.67x10x3.0x103

3n(2)由式②可知p=GT2

则中子星的质量为

44n2R34n2x(104)3〃“

=nA3p==23GT6.67x1011x(1.6x103)2

=2.31xl(Wg=0.12Ms

变力问题和两类问题

3.12质量为m的质点沿％轴运动，其运动方程为x=xocosCD?,

试证明质

点受到的合力为Fx=~\2mx

［分析与解答］由x=xocos31可得

dxv—Irosin3.tdt

dva==32x0cosS.tdt

贝ljF=ma=MD2x0cosCD./=mb)2X

得证。

3.13质量为m的物体在黏性介质中由静止开始下落，介质阻力与

速度成正

比，即F尸阿邛为常量。试

(1)写出物体的牛顿运动方程。

6

(2)求速度随时间的变化关系。

(3)其最大下落速度为多少？

(4)分析物体全程的运动情况。

［分析与解答］(1)物体受向下的重力mg和向上的阻力F,则牛顿运

动方程

为mg®,v=ma

dv0(2)由a==gvdtm

vdv，分离变量并积分J=fdf

P

00

gvm

gvmm=/得_In^g

P

mg/整理后得v=(lem)

P

(3)当f-8时，有最大下落速度

mg

Vmax=

@

3

dxmg,(4)由v~(le

P

mg

xttm

有jdx-f(1e)dt

ooP

pmgtnf得(1em)P0

利以勿体由静止开始向下作加速运动，并逐渐趋近于最大速度为Vmax=,

此

后趋于做匀速运动，物体在任意时刻开起点的距离由上式表示。

3.14如图所示,质量为m=4kg的重物，由一根轻的绳索系住竖直向上

提升,开始时重物是静止的，绳的拉力"。=90N;在重物被提升的过程

中，绳的拉力将随重物升高而减小,每上升1m减小14.8No试求重物被提

升2m时所具有的速度。［分析与解答］取。孙坐标如图，且原点位于重物

静止时的位置。重物在被提

升的过程中，受重力尸和绳子拉力凡（变力）作用。由牛顿第二定

律有

7

dvdvdydvFrmg=m=m=mv®dtdydtdy

按题设条件知

FT-FTO14.8y②

将式②代入式①，分离变量并积分（初始条件：vo=0,次=0）有

2v

f（Fmg14.8刃力=fmvdv

r»oo

得重物被提升2m时的速度为

12(FnymgyX14.8y2)v=2=6mls

y=2

m

题3.14图题3.15图题3.16图

3.15质量为m的小球从点A由静止出发,沿半径为r的光滑圆轨道运动

到点C（见图）,求此时小球的角速度3c和小球对圆轨道的作用力FNC。

［分析与解答］取小球为隔离体，受力情况如图。取自然坐标系，由

牛顿运动定律分别列出切向和法向运动方程为

dv-mgsina=tn①）dt

VZFNmgcosa=m②R

dvdvdadvv出由于==］=，代入式①并分离变量后

积分出面dtdaRda

va

fvdv=/RgsinQdQ

090o

8

得v=2Rgcos□③

v2geosa则小球在c点的角

速度（De为3c==RR

V2将式③代入式②，得FN=m+mgcosa

=3mgcosaT?

其反作用力即为小球对轨道的作用力FNC。

3.16如图所示，在密度为p.的液体上方有一悬挂的长为1,密度为

P2的均匀直棒,棒的下方恰与液面接触。今剪断挂线,棒在重力P和浮力

F作用下竖直下沉，若P2>pt,求棒下落过程中的最大速度。

［分析与解答］按题设条件,剪断细线后,杆在下沉过程只受重力

和浮力的作用（不计液体的黏滞阻力），随着杆往下沉，浮力逐渐增大，

当重力和浮力相等时,杆下沉的加速度a=o,此时速度最大。

取x坐标如图,根据牛顿第二定律,有

dvmgF-加①山

式中，m=p2义,浮力F=pfxg,故式①可写成

dvdvdxdv

piSLgpi5xg=p2szz=p2sL=piSLv②

dtdxdtdx

对式②分离变量并积分,有

xp

Xvl

f1Lpgdx=fvdv

002

pg11得gx1（x2）=v2③pzL22

设杆的速度最大时,杆进入液体的长度为x=l,则式③中的V即为最

大速度。此时用g=R即

P2SLg=piSIg

P

得/=力④

P'

9

p

将式④代入式③，得杆的最大速度为Umax=2Lg

P'

3.17在医学诊断中，为了确定病人的炎症程度需进行一项血液检

查叫做“血沉设血液是由红血球和血浆组成的悬浮液，将它放进竖直

放置的血沉管内，红血球在重力、阻力和浮力作用下向下运动，最后匀

速下沉，把这个下沉速率叫做“血沉视红血球是半径为R的小球，若

某人的血沉值为v=10mm/s,红血球所受的黏滞阻力F.-6兀〃7?%其

中黏滞系数/1.8x103Pa-s,血浆密度

P）=1.0x1Oskg/m3,红血球的密度p2=1.3x103kg/m3。试估

算红血球的半

径大小。

［分析与解答］提示:红血球受三个力作用，即重力、黏滞阻力

和

血浆对它的浮力。其运动方程为

dv

mgF,F浮-m

dt

44dv即p2HR36nr|7?v

pinR3=m33dt

分离变量后积分，求出v的表达式，当最大速度为v=10X\^m/s

时，

即可估算红血球半径R22.7X106mo

应用研究

3.18根据你已掌握的知识，设计一个测定两种材料间（工程上称

为摩擦副）的静摩擦因数|J。或动摩擦因数|J的装置（包括原理、测

量公式、实验方案及示意图等）。

3.19查阅有关资料或搜索相关网站，分析杨利伟乘坐的神舟5号

回收舱从进入大气层到在内蒙古基地落地这段时间内的运动情况，估

算极限速度，说明落地前所需采取的措施。

10

练习4守恒定律

关于动量定理

4.1写出动量定理的一般表达式，讨论该式及式中各物理量的意

义，并判断下列表述的正误。

⑴“神舟”5号返回舱落地时的速度约为2m/s,杨利伟说:“当时

头朝下,感觉身体很重，胸背感觉有压力。''这是由于座椅对他产生了I=

130N•s的冲量的缘故。(杨的质量m=65kg)

(2)质点在t/到t2时间内，受变力FX=3+//2作用，B、A为常

量，则其

n

所受冲量为/=f(B+At2)dt

(3)上述冲量越去，则质点的动量越大。

(4)冲量是矢量，其方向与动量方向一致。

(5)系统的总动量发生变化，与系统的内力无关。

(6)质点在作匀速率圆周运动的过程中，动量保持不变。

［分析与解答］略

4.2应用动量定理处理问题的一般思路和方法如何(包括恒力或

变力作用的情况)？然后请根据自己的思路解题4.3〜4.6。

4.3尺=30+4W的力作用在质量m=10kg的物体上，试求：

(1)在开始2s内此力的冲量I。

(2)若冲量I=300N-s,此力作用的时间为多少？

(3)若物体的初速度vi=10速s,方向与3相同,在t=6.86s时,

此物体的速度V2为多少？

2

［分析与解答］(1)开始2s内的冲量为/=f(30+4/)Jz=(301+

2t)］o=68Ns

22

0

(2)从开始到任意时刻的冲量为7=(30+4t)dt=30/+2t

o

将I=300N-s代入，得30/+2t=300解得t=6.68s

(3)由题设条件,在0-6.86s内外力的冲量I=300N-s。按动量定理

/300

I-mvimv\得：丫2=+vi=+10=40加/s

m10

4.4高空作业时系安全带是非常必要的，假如一质量

为50.1kg的人,在操作时不慎从高空竖直跌落下来，由于安全带的保

护，最终使他被悬挂起来。知此时人离原处的距离为2.0m,安全带弹性

缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。

4.5质量为m的小球，在力F=-Ax作用下运动，已知x=/CQS3/,

(k,co,

A均为常量)，求在t=0到t=兀/2/时间内小球动量的增量。

［分析与解答］由x=Jcos(D/可求得速度为v=0)^sin

3t

以t=。和/=n/2o)代入，得vo=0,必=3/=3A

则动量增量为，Amv=nwtmvo=mSA=kA/3

本题也可以/=fkxdx-®mv来计算。

4.6某物体受一变力作用，在0s〜0.1s内，F由0均匀增加到20N;

在以后的0.2s内，F保持不变；再经0.Is,F由20N均匀减小到0。

试求：

(1)画出F-t图，并说明图中曲线与x轴间所包围的面积表示什

么？

(2)在这段时间内，力的冲量及力的平均值。

(3)如果物体m=3kg,开始时速度为lm/s，与F方向一致，问力

最后变为0时，物体的速度为多少？

［分析与解答］(1)F-1图线如图所示。

冲量/=fb由，在F-t曲线中就等于曲线下的面积。

(2)冲量I即为图中的梯形面积

/=(02+0.4)X20X1/2=6Ns

I6平均冲力F===15MV0.4

(3)由动量定理/二mvimvwi=(/+mvi)/m-IIm+v\

-3m/s

动量守恒定律

4.7试讨论分析：

(1)系统动量守恒的条件是什么？

(2)若，Fdt二0,系统的动量不一定守恒，这是为什么？

(3)有人说:“会统始末状态的动量大小、方向均相同，称为动量守

恒”，你认为如何？

(4)以A,B两小球在光滑平面上发生正碰为例，说明为什么在分

析动量守恒时，必须强调“系统”？

v［分析与解答］(1)系统动量守恒意味着在力/2过程中，mv为恒矢

量，所

受的合外力始终为零。

12

(2),Fdt=0不一定能保证守恒条件(3)不正确

4.8判断正误;

(1)质点作匀速圆周运动，其动量守恒；

(2)不计空气阻力，抛体在x方向上动量守恒，在y方向上动量

不守恒；

(3)几个质点组成的孤立系统，所受的合外力为零，但由于质点

之间有相互作用，因此，系统的动量不守恒；

(4)系统的动量守恒，则动能当然守恒；

(5)系统受外力的冲量为-5N-s作用，其动量一定减小。

［分析与解答］(1)错误。匀速圆周运动时速度方向在变化,动量不

守恒。(2)正确，质点作抛体运动时只受向下的重力作用，水平方向不

受力，因此在水平方向动量守恒,而竖直方向动量不守恒。

(3)错误。内力不影响系统的总动量。

(4)错误。动量守恒只说明系统所受合外力为零，但外力做功和内

力做功都可导致系统动能改变,如两小球的完全非弹性碰撞,动量守恒

而动能不守恒。(5)错误。冲量为负值仅说明动量的改变量(增量)

为负值,并不能说明动量在减小,如负方向的动量增大过程就是受到负

值冲量的结果。

4.9一静止的原子核，在一次衰变过程中，放射出一个电子和一

个中微子,放射出来的电子和中微子的速度相互垂直，电子的动量为

XX23

Pi=1.21022A：gmsi,中微子的动量为色=6.410左gms

1O试求衰变后原

子核反冲动量的大小和方向。

［分析与解答］静止的原子在对蜕变过程中应满足动量守恒定律。

以P,Pi,VVVP2分别表示蜕变后原子核、电子和中微子的动量,则有P+

Pl+P2=0

VVV由图可知，P\，。2,故P的大小为

方向为

P=(012+022)=(1.28X1022)2+(6.4X1023)2

=0.64X10225=1.43X1022版msi

P

方向为0=90+arctan=15326

o1o,

Pl

4.10如图所示，一根细绳跨过一质量可忽略且轴为光滑的定滑轮，

两端分别拴有质量为m和M的物体A,B,且M稍大于m。物体B静止在地

面上，当物体A自由下落h距离后，绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时，

两物体的速度及B能上

升的最大高度。质点的动量矩定理、动量矩守恒定律

［分析与解答］把整个过程分成三个阶段来处理。

第一阶段物体A自由下落。物体A自由下落h距离时，正好拉紧绳子,

此时物体A的速度为/=2g6,方向向下。

第二阶段,绳子被拉紧,物体A和物体B同时受

到绳子的冲力作用。经过极短时间At后，以共同

的速度V运动，此时，物体的受力情况如图(B)所

示。如取竖直方向为正方向，则物体Ad的速度由-v

增为-V,物体B的速度由0增为V。根据动量原理得：

{FnMg)Lt=MVO①

(Fnmg)At=(mV)(mv)②

题

4.10图

由于作用时间极短,绳子冲力的冲量远大于重力的冲量,故式①,式

②可简化为7772A/=MV

FnZ=mV+mv

mvm2gh

因FT\-FTZ,解得：/二=

MM+m

第三阶段,绳子拉紧后,物体A向下运动,B向上运动,但由于M>m,A和

B都

M机作减速运动，故有

Mg-T=Ma,T-mg=ma求得a-gM+m

物体B以速度V上升,其加速度与速度方向相反。设最后B上升的高度

为H,则

Vimi(2gh)根2〃有0V-2(a)H

故H===2a2(A/2m2)gM2m2

2

质点的动量矩定理、动量矩守恒定律

4.11质量为m的质点，以r为半径绕点0在水平面内做逆时针圆周

运动，则(1)动量矩L=?,并说明其大小和方向。

(2)力矩的表达式g_____?,并说明其大小和方向。

(3)动量矩定理的表底式是？，并说明其意义及式中各量的

意义。

(4)动量矩守恒的条件是___?

VVVV

［分析与解答］⑴如图(a)所示，动量矩为L=rXmv-rmv

sin6j

VVV由于r_LV,故方向+j

方向。

VVV

V(2)如图(b)所示,力对点0的力矩为XF=//sin人力矩的大

小vv为M=rFsin，方向为垂直于r>F构成的平面(即xoz面)。

按右手螺旋法则

指向y轴正方向。

vvv

(3)质点动量矩定理为Mdt=L2L\①

VvV式中，f

Mdt为力矩的时间积累,称为冲量矩；乙分别表示始末状态

12

n

的动量矩，此式表明,外力矩的冲量距等于质点动量矩的增量。

V(4)动量矩守恒条件为M=0,由式①

可知，在〃七全过程中，当M=0时,vVL=£2(实际上各时刻的£都相同)。

所以动量矩守恒。

4.12判断正误：

(1)作匀速圆周运动的质点，对圆心的动量矩大小为初次；

(2)作变速圆周运动的质点没有动量矩；

(3)动量矩是对作圆周运动的质点而言的，作直线运动的质点无

动量矩而言；

VVVVVV⑷由

于动量矩L=rXP,只要，P不为零，L就不会为零；

vvvvv(5)由于M-rXF,只要

r,尸不为零，动量矩就不可能守恒。

［分析与解答］略

4.13按照玻尔氢原子理论，氢原子中电子绕核运动的动量矩只可

能是

h/2n的整数倍，式中h=6.63XIO34Js称为普朗克常量，已知电子

圆形轨道的

半径(亦称玻尔半径)0.53X10io加，求此轨道上电子的运动速度V!

和频率V।。［分析与解答］电子绕原子核在特定的量子化轨道上作圆周

运动，由核对电子的库仑引力提供向心力。由牛顿第二定律有

162V2=man-加①4n£or2厂

式中小,e分别为电子的质量与电荷量，£。为真空电容率（介电常

数）

由动量矩量子化特征，有：

hmvr=n(n=l,2...)②2n

式中“为量子数,〃为普朗克常数。

求解式①,式②，可得容许的电子轨道半径和相应的速度为

E0〃2〃2ei

r=,v=F1me22Eonh

当r=ri时，n=l,则

e2(1.60X1019)2cvi===0.02X

10smls-mls,2Eoh2x8.85x10x6.63x101234137

(c为真空中光速)

vi0.02X108yi--=6.0x

10\sHz2nn2Flx0.53x10io

4.14我国第1颗人造卫星-东方红1号沿椭圆轨道绕地球飞行，近

地点

439km,远地点2384km,已知在近地点的速度vi=8.1km/s,试求卫

星在远地点的速度V2和卫星的运动周期T。

[分析与解答](1)求V2:如图所示,地球的中心点0位于椭圆轨道

的一个焦点上。设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该引力总指向。

点,故卫星在运动的全过程中对0点的动量矩守恒。即：

Vv£l=乙2①

由于两者的方向一致，式①可直接用大小来表示，

有mv\(7?+/i)=mvi(7?+b):

R+h6378+439V得二20=8.1X=630kmi

sR+46378+2384

ds(2)求T:卫星径矢r在单位时间内扫过的面积为面积速度。卫星运

行成

的周期T即为椭圆面积S与ds/dt的比值。由于椭圆面积为

n

S=[(R+7i)+(R+/2)](R+1】)(R+72)2

ds

根据开第二普勒定律，有：L=2m=不变量

dt

对近地点而言：L-L\-mvi(7?+/i)

ds1

则面积速度为：=vi(7?+/i)

dtl

sn[(R+/1)+(R+/2)](R+71)(R+/2)「故

===8.26X1035=2.29hds/dtv\(R+7i)

功和动能定理

4.15讨论功的物理意义，并回答：

(1)恒力做功的表达式A=o

(2)变力做功的表达式A=o

(3)试述正功和负功的意义。

(4)用F=10N的拉力，将m=1kg的物体沿(2=30°的粗糙斜面

向上拉1m,已知〃=0.1,贝IJ:拉力的功〃=;摩擦力的功4二；重力的功

ZP=；斜面支承力的功力N=；

合外力的功为A=o

(5)一个人用吊桶从井中提水，桶与水共重15kg,井深10m。试

求：

①匀速向上提时，人做功出=;

②若以。=0.1租/92匀加速向上提，做功为4=；

③比较小与4,并说明原因。

[分析与解答](1)、(2)、(3)略

(4)设拉力F为沿斜面向上方向。

拉力所做的功：4F=Fl=10J

摩擦力所做的功：Ar=[mglcosa=0.493J

重力所做的功：AP=mglsina=4.9J

支撑力所做的功：AN=0

物体一共受到4个力的作用:重力,拉力，支撑力，摩擦力。则合外力

所做的功：A=AP+AF+AN+Ar=Flmgl(pcosa+sina)=14.05J

(5)匀速上提时，拉力只需克服重力做功：4，=mgh=15X9.8

X10=1470J

匀加速上提时,拉力除克服重力外,还要提供加速度或

Aa=m(g+a)h=15X(9.8+0.1)X10=1485J

显然，Aa>4，,这是因为匀加速上提时,不仅要克服重力做功，而且

还要

使物体的动能增加,需要额外多做一部分功。

学会计算变力的功

4.16如何计算变力的功？整理一下你处理此类问题的思路和方法,

然后练习下列各题。

4.17物体在沿x轴运动过程中，受力F=-6x3N作用，则从x=lm

到x=2m,F做功为多少？物体的动能变化了多少？

［分析与解答］取位移元曲，外力在dx上作的元功为

vvdA=Fdx=Fdx=6x?,dx

23该变力F所做的功

为A=/dA—J(6x3=x412=22.5/2

由动能定理可知:动能的变化等于外力所做的功。所以，动能改变量

LEk=A=22.5J,即动能变小了。

4.18一倔强系数为k的轻弹簧,竖直放置,下端悬一

质量为M的小球。先使弹簧为原长,而小球恰好与地接触。

再将弹簧上端缓慢地提起,直到小球刚能脱离地面为止。

求在此过程中外力所作的功。

题4.18图

4.19质量为m=6kg的物体，当t=0时，从x=0处自静止开始

沿x轴运动，在力3+4xN作用下运动了3m,若不计摩擦，则

(1)力用做功/=______;

(2)此时物体的速度丫=;

(3)此时物体的加速度a=____;

(4)功率____。

3

［分析与解答］(1)F所做的功A=f(3+4x)dx=(3x+2x)

o=27J23

0

1212

(2)由动能定理4二mvmvo

22

2A2

X27

并考虑初始条件vo=O,得丫===3m/s

m6

F3+4x

152

(3)物体在X=3m处的加速度a====2.5m/s

mm

m

(4)功率P=Fv=(3+4X3)X3=45"

4.20求解下列各题：

(1)质量为m的物体自静止出发沿x轴运动，设所受外力为

b为常量，求在时间T(s)内此力所做的功。

(2)物体在外力八=5+10x(SI)作用下，由％=0沿x轴方向运

动到x=3m处，求外力所做的功。

(3)一物体在介质中的运动方程为加，c为常量。设介质对物

体的阻力正比于速度的二次方，即Fr=kV2o试求物体由xo=0运动到

%=/时，阻力所做的功。

Fbtdv

［分析与解答］(1)由加速度==

mmdt

b

得：fdv-Jbtdtv=Ti

vT

m2m

00

11由动能定理A-mv2AWVO222

12Z)2由于vo=O，得/=mv-T428m

(2)有变力做功的计算方法，有

3

4=fd4=『(5+10x)以二601

0

(3)按题意，阻力/=kvi=/(v),欲求功，必须把它变换为f(x)。为

此，

24

dxX4有X=Ct得t=

3,又由丫==3ct2,v-9C(3)=9C3X322cHe

3X

24

故：f-kv=9kcx

233

2427

27

/

f7

则阻力做功为A-fdA=ffdx=-9kc3X3dx=

kc3l

0

保守力的功与势能

4.21讨论下列问题，检查自己的阅读效果。

(1)何谓保守力和保守场？

(2)保守力做功具有什么特性？

(3)保守力的功A与势能增量的关系Z=。

(4)一维情况下，保守力与势能的关系式凡=o

(5)回顾一下你已接触到的力中，哪些是保守力？

［分析与解答］略

4.22试分析：

(1)势能是属于系统的，通常又说：“某物体的势能为加g〃”，应如

何理解？(2)教室里有一盏灯，设m=1kg,离地面3m,离天花板2m,

甲、乙、丙3位同学计算该盏灯的势能分别为30J,0J,-20J(他

们均取g=10植2),他们的答案正确吗？为什么？

(3)再请你引用甲、乙、丙的答案，计算一下灯与地面的势能差,

从中能得到什么样的结论？

［分析与解答］略

4.23弹性势能的表达式及=o因此，一般取为零势能点。图示

(参教材pl56)一弹簧振子为10,挂一质量为m的物体后伸长xo,并

在0'点平衡，此时的弹性势能及=。

1［分析与解答］弹性势

能的表达式为Ep=kx22

一般取X=0,(即弹簧原长处)为零势能点。

如图，系统平衡时，有：kxo=mg或xo=mg