2024年广东省广州市天河区初三一模数学试题含答案解析

试题PAGE1试题试题PAGE2试题2024年广东省广州市天河区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】通过识图可得点A所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．【详解】解：由图可得，点A所表示的数为3，∴数轴上点A所表示的数的相反数为-3，故选：A．【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键．2．据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，即可得到答案．【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，∴，故答案选：A．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．3．下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．【详解】解：A、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；B、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；C、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；D、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；故选：D．4．下列运算正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．【详解】解：A.，原运算错误，本选项不合题意；B.，原运算错误，本选项不合题意；C.，符合运算法则，本选项符合题意；D.，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键．5．一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（

）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【答案】D【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．【详解】解：由题意得：原中位数为4，原众数为4，原平均数为，原方差为；去掉一个数据4后的中位数为，众数为4，平均数为，方差为；∴统计量发生变化的是方差；故选D．【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键．6．某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，则．故选B【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．7．下列四个函数图象中，当x<0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【详解】A、根据函数的图象可知y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；B、根据函数的图象可知在第二象限内y随x的增大而减增大，故本选项不符合题意；C、根据函数的图象可知，当x＜0时，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D、根据函数的图象可知，当x＜0时，y随x的增大而减小；故本选项符合题意．故选D．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.8．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】过作交于，得到DE，在中，，求出AE，从而求出AB【详解】过作交于，在中，故选C【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键9．如图，是的外接圆，且，，在上取点D（不与点A，B重合），连接，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，根据题意，得，结合，，得到，计算即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】连接，根据题意，得，∵，，∴，∴,故选C．．10．如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于点、两点，设，，，关于的方程的根的情况是（

）

A．一定有两个相等的实数根 B．一定有两个不相等的实数根C．有两个实数根，但无法确定是否相等 D．没有实数根【答案】B【分析】是三条角平分线的交点，过作，则得出，即可得出，再求出，，即可得出：，即可求解．【详解】平分，，，，，，，是的内角平分线的交点，∴，同理可得出：，∴，，，即：，，关于的方程的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．二、填空题11．方程的解为．【答案】【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．【详解】，，解得，故答案为：．12．因式分解：x2﹣3x=．【答案】x（x﹣3）【详解】试题分析：提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．考点：因式分解.13．现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为.【答案】15【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．故答案为15.14．已知，两点都在抛物线上，那么．【答案】3【分析】根据题意可得点P和点Q关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：，∵，，∴，∴．故答案为：3．【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P、Q两点关于对称轴对称求解．15．如图，平面直角坐标系中，与x轴相切于点B，作直径，函数的图象经过点C，D为y轴上任意一点，则的面积为．【答案】5【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k的几何意义可得，由切线的性质可得轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．【详解】解：∵点C在函数的图象上，∴，∵与轴相切于点，∴轴，∴轴，∴，故答案为：5．16．如图，在矩形中，，，点E，F分别是边，上的动点，且．（1）当时，；（2）当最大时，的长为．【答案】/【分析】（1）证明，利用计算即可；（2）当与相切时，的值最大，此时，也最大，利用三角形相似计算即可．【详解】（1）∵矩形中，，，∴∵，∴，∴，故答案为：．（2）如图，取的中点O，连接．∵矩形中，，，∴，∵，∴A、D、E、F四点共圆，∴，∴当与相切时，的值最大，此时，也最大，∴，∵矩形中，，，∴，∴，∴，∴，∵，∵矩形中，，，∴∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．三、解答题17．解不等式：．【答案】【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】，移项，得合并同类项，得，系数化为1，得．18．如图，四边形中，，，E，F是对角线上两点，且．求证：．【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据得，证明即可．【详解】∵，∴，在和中∴．19．为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题：(1)填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；(2)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【答案】(1)50(2)【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．（2）利用画树状图计算即可．【详解】（1）∵(人)，故答案为：50．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，相同的概率为：．20．已知关于x的函数图象经过点．(1)用含m的代数式表示n；(2)当时，若反比例函数的图象也经过点A，求k的值．【答案】(1)(2)4【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；（2）当时，点，代入解析式，计算即可．本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，得．（2）解：当时，此时点，故．21．如图，在中，，，．

(1)尺规作图：在上找一点P，作与，都相切，与的切点为Q；（保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图中，连接，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）结合切线的判定与性质，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆即可．（2）由题意可得，则，可得为等边三角形，即，则，进而可得答案．【详解】（1）解：如图，作的平分线，交于点，以点为圆心，的长为半径画圆，交于点，则即为所求．

（2）解：由（1）可得，，，，，，，，为等边三角形，，，．【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．22．如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时至5时的图象满足一次函数关系式，5时至8时的图象满足函数关系式．请根据图中信息，解答下列问题：

(1)填空：次日0时到8时的最低气温是______；(2)求一次函数的解析式；(3)某种植物在气温以下持续时间超过4小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否需要采取防霜措施，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)需要采取防霜措施，见解析【分析】（1）根据题意，当时，函数最小值，代入解析式计算即可．（2）把分别代入中，计算即可；（3）令，，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可．本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．【详解】（1）根据题意，当时，函数有最小值，代入解析式得，，故答案为：．（2）把分别代入中，得，解得，∴．（3）令，解得；令，解得（舍去），故，∵∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．23．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．(1)若焦距，物距．小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度；(2)设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．【答案】(1)2米(2)，说明见解析【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；（1）先证明，利用相似三角形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，可得米；（2）由（1）得，，则，据此可得，当，即时，，据此可得结论．【详解】（1）解：由题意得，，∴，∴，即，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴米，∴蜡烛的像的长度为2米；（2）解：由（1）得，∴，即，∴，当，即时，，∴，即，∴物高大于像高，即呈缩小的像．24．矩形中，，．(1)如图1，矩形的对角线，相交于点O．①求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；②在的劣弧上取一点E，使得，连接，求的面积．(2)如图2，点P是该矩形的边上一动点，若四边形与四边形关于直线对称，连接，，求面积的最小值．【答案】(1)①见解析；②(2)8【分析】（1）①根据矩形的性质，得到，得到点A，B，C在以O为圆心，为半径的圆上，根据矩形的性质，得，判定点D在以O为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆；②过点E作在于点D，根据，得到，结合，，得到，设，则，利用勾股定理计算x，利用面积公式解答即可．（2）根据折叠的性质，得到，根据，得到，当点C，D，H三点共线时，最小，此时面积的为，最小．【详解】（1）①∵矩形，∴，，∴点A，B，C在以O为圆心，为半径的圆上，∵，∴点D在以O为圆心的同一个圆上，故A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上；②如图，过