1.4.2用空间向量研究距离夹角问题课件高二上学期数学人教A版选择性2

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面的距离和简单的夹角问题2.能用向量的方法解决相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的夹角的距离问题3.体会向量方法在研究几何问题中的作用学习重点学习难点理解并掌握用向量的方法解决距离、夹角问题的方法和步骤辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离和夹角在上一节我们已经学会了用空间向量解决直线、平面的位置关系，那么立体几何中还有一些距离、夹角问题，能否也用向量方法解决呢？这节课我们就来一起探究一下用向量方法解决空间中的距离、夹角问题.新课导入新课学习已知直线l的单位向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外的一点.如何利用已知条件求点P到直线l的距离PQlAu用向量方法求点到直线的距离的步骤两条平行直线的距离如图，两直线的方向向量为u，P、Q、A分别是直线

l1，l2上的点，则l1l2uAPQa点到平面的距离lPQαnA例题来了分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离.解：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行.点面距的求解步骤：方法一：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．方法二：(1)求出该平面的单位法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出单位法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值．点面距、线面距、面面距的求解方法解：步骤一：化向量问题步骤二：进行向量运算步骤三：回到图形问题异面直线所成的角对异面直线所成角的理解直线与平面所成的角A

BCnuθ对直线与平面所成的角的几点说明(1)直线与平面相交时，直线与平面所成的角的范围为（0o,90o].(2)直线与平面所成角的正弦值的求解思路是通过直线的方向向量及平面的法向量，转化为求两向量的夹角余弦值的绝对值．(3)用向量法求解直线与平面所成角时仍遵循“化为向量问题”——“进行向量运算”——“回归图形问题”三步．二面角αβαβn1n2对两平面夹角的说明(1）两平面夹角的范围为[0o,90o]，二面角的范围为［0o,180o]，注意区别.(2）两平面夹角的余弦值可通过两个平面的法向量，转化为两个法向量夹角余弦值的绝对值．分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量即可.解：步骤1：化向量问题步骤二：进行向量运算步骤三：回到图形问题求线面角的两种思路分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物的重力的大小.8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.解：分析:本题涉及的问题包括:直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题.解：用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系把运算结果“翻译”成相应的几何意义解决立体几何问题的方法解决立体几何中的问题，可用三种方法：（1）综合法：以逻辑推理作为工具解决问题；（2）向量法：利用向量的概念及其运算解决问题；