4.2.2等差数列的前n项和公式（第2课时等差数列前n项和的性质及应用）课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列

等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质及应用人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.2.掌握等差数列前n项和的最值的求法.3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法.基础落实·必备知识一遍过关知识点1等差数列前n项和的函数特征等差数列的前n项和公式转移到二次函数的过程当d≠0时,Sn是关于n的二次函数Sn=na1+,整理得Sn=,所以Sn可以看成y=

当x=n(n∈N*)时的函数值等差数列的前n项和公式与二次函数的关系令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn.①当A=0,B=0(即d=0,a1=0)时,Sn=0是关于n的常函数,{an}是各项为0的常数列.②当A=0,B≠0(即d=0,a1≠0)时,Sn=Bn是关于n的正比例函数,{an}为各项非零的常数列.③当A≠0(即d≠0)时,Sn=An2+Bn是关于n的二次函数(常数项为0)名师点睛(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值.(3)特别地,若an>0,d>0,则S1是{Sn}的最小项;若an<0,d<0,则S1是{Sn}的最大项.思考辨析已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2-11n,当n取何值时Sn取得最小值?提示

Sn可看作关于n的二次函数,函数图象的对称轴方程为n=,又因为n∈N*,所以当n=3时,Sn取得最小值.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数.(

)(2)等差数列的前n项和Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.(

)(3)若等差数列{an}的公差d>0,则{an}的前n项和一定有最小值.(

)(4)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sp=Sq(p,q∈N*),则Sn在

处取得最大值或最小值.(

)×√√×2.[人教B版教材习题]等差数列14,11,8,…前多少项的和最大?为什么?提示因为前5项均是正数,从第6项开始为负数,所以前5项的和最大.也可以用求二次函数的最值的方法解决.知识点2等差数列前n项和的性质2.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.3.设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则思考辨析已知等差数列{an}的前n项和为Sn,那么S2m-Sm是哪些项的和,共有多少项?提示

S2m-Sm=am+1+am+2+…+a2m-1+a2m,共有m项.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列{an}的前n项和

.(

)(2)若等差数列的项数为偶数,则偶数项的和等于奇数项的和.(

)(3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则√××2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(

)A.5 B.4

C.3

D.2C解析

设等差数列的公差为d,由题意,得S偶-S奇=30-15=5d,解得d=3.3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6=

.

15解析

∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升探究点一等差数列前n项和的性质及其应用【例1】

(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为

.

210解析

(方法1)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.-18规律方法

利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列相关问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.A解析

在等差数列{an}中,S7,S14-S7,S21-S14成等差数列,即2(S14-S7)=S7+(S21-S14),设S7=m(m≠0),则由题意得S14=7m,于是12m=m+(S21-7m),解得S21=18m,(2)在等差数列{an}中,a1=-2024,其前n项和为Sn,若

=2,则S2024=(

)A.2023 B.-2023 C.-2024 D.2024C(3)[2024北京高二月考]等差数列{an}中,a5-a3=a7-10,则{an}的前9项和为

.

90解析

因为a5-a3=a7-10,所以a5+10=a7+a3,又因为在等差数列{an}中,a7+a3=2a5,所以a5+10=2a5,即a5=10,所以(4)一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,则前110项之和为

.

-110解析

(方法1)设Sn=an2+bn.∵S10=100,S100=10,探究点二等差数列前n项和的最值问题【例2】

在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.∴S13最大.规律方法

一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值,具体求解方法如下:(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a1>0,d<0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.变式训练2[2024甘肃金昌高二期中]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=-2,S10=25.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值.解

(1)设等差数列{an}的公差为d,由a4=-2,S10=25,得a1+3d=-2,10a1+d=25,解得a1=-11,d=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-14.(2)(方法1)由d=3知{an}是递增数列,当n≤4时,an<0;当n≥5时,an>0.所以S1>S2>S3>S4<S5<…,又n∈N*,所以当n=4时,Sn最小,最小值为-26.探究点三

求数列{|an|}的前n项和问题

【例3】

已知数列{an}的前n项和,求数列{|an|}的前n项和Tn.分析先求出通项an,再确定数列中项的正负,去掉绝对值号,利用Sn求解.变式探究(变条件)在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和Tn.规律方法

已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤(1)确定通项公式an;(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列前n项和性质的应用.(2)等差数列前n项和的最值问题.(3)等差数列中的绝对值求和问题.2.方法归纳:公式法、构造法、函数法、整体代换法.3.常见误区:(1)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列;(2)易混淆项数为奇数与奇数项等概念.重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标1234561.[2024黑龙江牡丹江高二期末]在等差数列{an}中,已知S6=10,S12=30,则S18=(

)A.90 B.40

C.50

D.60D解析

因为{an}为等差数列,所以S6,S12-S6,S18-S12成等差数列,因为S6=10,S12-S6=20,故S18-S12=2(S12-S6)-S6=30,所以S18=30+30=60.故选D.1234562.已知数列{an}满足an=26-2n,则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(

)A.11或12 B.12C.13 D.12或13D1234561234564.已知数列{