11.2.1 三角形的内角课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.2.1三角形的内角复习回顾小学时，我们曾经用实验的方法得到了三角形的内角和为180°，现在思考并和同学交流一下，实验是怎样验证三角形的内角和是180°的？拼接法折叠法度量法由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用这些方法一一验证所有三角形.于是，我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法.能用这些方法验证所有的三角形吗？提出问题问题1：通过以前的学习，你能发现证明三角形内角和定理的思路吗？

根据自己的思路，并给出证明的示意图.已知：△ABC.

求证：∠A+∠B+∠C=180°.

从要证明的等式的左边来看，是三个角的和，这就意味着要将三个角拼到一起，从要证明的等式的右边来看，要证明三个内角的和为180°，怎样才会出现180°呢？180°是平角的度数.另外，平行线下的同旁内角互补，也会出现180°.

我们可以想办法将三个内角集中在一起，构成一个平角或平行线下的同旁内角.要改变角的位置，又不改变角的大小，可以借助平行线下的同位角、内错角来实现.方法一：延长BC，过点C作CE∥AB证明：延长BC，过点C作CE∥AB，则∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）方法二：过点A作ED∥BC方法三：在BC边上任取一点D，作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F方法四：过A点任作直线，过B点作直线∥，过C点作直线∥.方法二、三、四，同学们自己动手完成证明！问题2：如果这个三角形是直角三角形，根据三角形内角和定理，

还能得到怎样的结论？直角三角形的两个锐角的数量关系：

直角三角形的两个锐角互余.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°问题3反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.问题4你能按角给三角形进行分类吗？典例分析例1（目标3）已知一个三角形的三个内角的度数比为3：5：7，求这三个内角的度数.【分析】已知三个内角的比，又由三角形内角和为180°列方程即可解决这个问题.唯一值得注意的是未知量的设法，如果设某个内角计算比较麻烦，这里可以利用这种比例关系的标准设法，以比例系数作为未知数.解：设三个内角的比例系数为3：5：7，则三个内角可分別设为3k°，5k°与7k°.根据三角形内角和定理可得方程3k°+5k°+7k°=180°，解之得：k=12.

所以这三个内角分别为36°，60°与84°.例2（目标3）如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高.求∠DBC的度数.【分析】∠DBC

在△BDC中，∠BDC=90°，为求∠DBC，应先求出∠C.∠C还在△ABC中，△ABC中三个内角的关系已经给出，利用任意三角形内角和都是180°这个等量关系，列方程可求出∠C的度数.解：设∠A为x°，则∠C=∠ABC=2x°.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x°+2x°+2x°=180°（三角形内角和定理）.

解得x=36.∴∠C=72°.在△BDC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）.

∴∠DBC=18°.例3（目标3）如图，AD，BE，CF为△ABC的三条角平分线，AD，BE，CF

交于I.求∠1+∠2+∠3的度数.【分析】根据题目条件，我们不可能求出每个角的度数.利用整体思想找到∠1+∠2+∠3与三角形内角和的关系，就可以解决问题.解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条角平分线，∴∠1=∠ABC.∠2=∠ACB.∠3=∠BAC（角平分线的定义）.又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°（三角形内角和定理），∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC=（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=90°.例4（目标2）如图，AB∥CD，AE

交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37°.求∠D的度数.【分析】图形中不仅有三角形，还有平行线、垂直关系，这些都为我们求角的度数提供了线索和依据.直角三角形的两锐角互余，平行线会得到内错角（同位角）相等、同旁内角互补，我们只需将∠D与这些角放入同一三角形中，或者将∠D转化为这些角的相等角（或互补的角）进行求解即可.解：∵AB∥CD，∴∠ECD=∠A.又∵∠A=37°，∴∠ECD=37°.∵DE⊥AE，∴∠DEC=90°.在△DEC中，∠DCE+∠D=90°

(直角三角形的两个锐角互余）.∴∠D=90°-∠ECD=90°-37°

=53°例5（目标3）已知：AB∥CD，EF分别交AB，CD

于G，H，GM，HM

分别平分∠BGH，∠DHG.求证：GM⊥HM.解：∵AB∥CD∴∠BGH+∠DHG=180°.∵GM，HM分别平分∠BGH，∠DHG，∴∠HGM=∠BGH，∠MHG=∠DHG.∴∠HGM+∠MHG=∠BGH+∠DHG=90°.∵∠HGM+∠MHG+∠GMH=180°，∴∠GMH=90°.∴GM⊥HM.例6（目标2）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是多少度？【分析】北偏东50°，北偏东80°等指的是图中的哪个角？要想求∠ACB，①直观的想法是求出∠CAB和∠CBA各是多少，即可解决.②我们注意到这个图有些像在证明三角形内角和定理时的一种辅助线添加后的形状，如果过点

C作CF∥AD，进行处理.解：过点C作CF∥AD，∴∠1=∠DAC=50°（两直线平行，内错角相等）.∵CF∥AD，又AD∥BE，∴CF∥BE（平行于同一直线的两直线互相平行）.∴∠2=∠CBE=40°（两直线平行，内错角相等）.

∴∠ACB=∠1+∠2=50°+40°=90°.例7（目标2、3）已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点.（1）根据上述定义，判断对错：①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点；②任意的三角形都存在等角点.（2）探究：图1中∠BPC，∠ABC，∠ACP之间的数量关系，并说明理由.（3）如图2，在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的平分线的交点P是该三角形的等角点.求该三角形的三个内角的度数.例7（目标2、3）已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点.（1）根据上述定义，判断对错：

①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点；

②任意的三角形都存在等角点.【分析】（1）根据等角点的定义，可知内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点，而等边三角形不存在等角点，据此判断即可；解：（1）①内角分别为30°，60°，90°的三角形存在等角点是真命题.②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点.例7（目标2、3）已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点.（2）探究：图1中∠BPC，∠ABC，∠ACP之间的数量关系，并说明理由.【分析】（2）根据△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC进行推导，即可得出∠BPC，∠ABC，∠ACP之间的数量关系；解：（2）如图1∵在△ABC中，∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP，∠BAC=∠PBC.∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP=∠ABC+∠ACP.例7（目标2、3）已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA，PB，PC，在△PAB，△PBC和△PAC中，如果存在一个角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点.（3）如图2，在△ABC中,∠A＜∠B＜∠C，若△ABC的三个内角的平分线的交点P是该三角形的等角点.求该三角形的三个内角的度数.【分析】（3）先连接PB，PC，再根据△ABC的三个内角的平分线的交点P是该三角形的等角点，以及三角形内角和为180°，得出关于∠A的方程，求得∠A的度数即可得出三角形的三个内角的度数.解：（3）如图2，连接PB，PC.∵P为△ABC的角平分线的交点，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB∵P为△ABC的等角点，∴∠PBC=∠BAC，∠BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠BAC，∠ACB=∠BPC=4∠A.又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°.∴∠A=.∴该三角形的三个内角的度数分别为，，.1.（目标2）如图，求出下列三角形中未知角α的度数.2.（目标2）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高.那么图中与∠A相等的角是_______.90°；30°∠BCD练习巩固3.（目标2）如图，在△ABC中，∠ABC=∠C，BD⊥AC于点D.（1）若∠ABD=40°，求∠C的度数；（2）若∠DBC=α，求∠A的度数.（用含α的式子表示）4.（目标2）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=10°，∠B=50°.求∠C的度数.（1）65°（2）2α解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=10°，∴∠AED=80°.∵∠B=50°，∴∠BAE=∠AED-∠B=30°.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAE=60°∴∠C=180°-∠B-∠BAC=70°.5.（目标2）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.如三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“智慧三角形”.如图，∠MON=60°，在射线OM上找点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交射线OB于点C.（1）∠ABO为_____°，△AOB________（填“是”或“不是”）智慧三角形.（2）若∠OAC=20°，求证：△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，求∠OAC的度数.解：（1）30，是；（2）∵∠AOC=60，∠OAC=20°，∴∠AOC=3∠OAC.∴△AOC为“智慧三角形”；（3）当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52.5°或30°或97.5°或112.5°或0°.归纳总结1.本节课学习了哪些主要内容？2.为什么要用推理的方法证明三角形内角和等于180°？3.你是怎样找到三角形内角和定理的证明思路的？4.运用三角形内角和是180°，你又得到哪些结论？方法提升1.在证明三角形内角和时，你用到了什么思想方法？2.在解决有关三角形角度的计算时，我们还经常用到什

么思想方法？3.当解决问题时发现图形中的条件不足，该如何解决？达标检测1.（目标2、3）已知，在△ABC中，（1）如果∠A=90°，∠C=55°，则∠B________.（2）如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠A=________，∠B=_________，∠C=____，此三角形为__________三角形.（3）如果∠A=60°，∠B-∠C=24°，则∠B=______，∠C=________.（4）如果∠C=4∠A，∠A+∠B=100°，则∠A=_______，∠B=______，∠C=________.（5）∠B=40°，∠C=60°，AD是∠A的平分线，则∠DAC的度数为________.30°35°60°90°直角72°48°20°80°80°40°4.（目标2）如图，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E，∠AFD=160°.求∠EDF的度数.3.（目标2、3）如图，在△ABC中，∠A=

∠C=

∠ABC，BD是角平分线.求∠A及∠BDC的度数.36°；72°70

°5.（目标3）如图，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=50°，求∠EDF的度数.65

°能力提升1.（目标2）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”.（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；（2）是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.