第02讲 等式与不等式（原卷版）

第02讲等式与不等式（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布5年考情考题示例考点分析2019年天津卷，第10题,5分解不含参数的一元一次不等式2017年天津卷，第2题,5分必要条件的判定及性质解不含参数的一元一次不等式2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分【备考策略】1.理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小2.能掌握一元二次不等式的性质3.掌握一元二次不等式根与系数的关系4.会解一元二次不等式、能够解决一元二不等式的恒成立与存在成立等问题【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等。知识讲解知识点一.等式与不等式的性质:1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a-b>0⟺a>b，a-b=0⟺a=b,a-b<0⟺a<b.(2)作商法ababab2.等式的性质(1)对称性:若a=b，则b=a.(2)传递性:若a=b，b=c，则a=c.(3)可加性:若a=b，则a+c=b+c.(4)可乘性:若a=b，则ac=bc;若a=b，c=d，则ac=bd3.不等式的性质(1)对称性:a>b⟺b<a;(2)传递性:a>b，a>c⟺a>c;(3)可加性a>b⟺a+c>b+c;a>b,c>d⟺a+c>b+d(4)可乘性:a>b,c>0⟺ac>bc;a>b,c<0⟺ac<cb;a>b>0，c>d>0⟺ac>bd;(5)可乘方:a>b>0⟺an>bn(6)可开方a>b>0⟺na>nb(n知识点二.一元二次不等式1.一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅3.一元二次不等式的解法1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．2.求出相应的一元二次方程的根．3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。4.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅考点一、等式与不等式的性质1．（2024·辽宁·模拟预测）若a>b，则下列说法正确的是（

）A．a2>b2 B．lg(a−b)>0 2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（

）A．若a>b，则ac>bc B．若a>b，则aC．若ac2≥bc2，则a≥b1．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知a>b>0,c<0，则下列正确的是（

）A．ac>bc B．ac>bc C．2．（2024·安徽淮北·二模）已知a,b∈RA．若ab=1，则a+b≥2B．若1a<C．若a>b，则lnD．若a>b>0，则a+3.（2024·天津·一模）已知a,b∈R，则“b>a”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.（2023·山西临汾·模拟预测）若a，b∈R，则“a<b”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点二、比较大小1.（22-23高三上·天津河东·期中）若a=ln264，b=ln2ln3，A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>a>c2.（2024·四川成都·模拟预测）已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为（

）A．1a>1C．a3>b1．（22-23高三上·天津河西·期末）若a，b，c∈R，a>bA．1a<1b B．a2<2．（2023·天津·一模）设a>0，b>0，则“a>b”是“1aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“a>1”是“a+1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024·北京西城·一模）设a=t−1t,b=t+A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a考点三、最值与取值范围问题1.（2024高三·全国·专题练习）已知12<a<60,15<b<36，则a−b的取值范围是，ab的取值范围是2.（2024·全国·模拟预测）已知实数x，y满足−1<x<y<1，则x+y的取值范围是1.（2024高三·全国·专题练习）若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是．2.（2024·河北石家庄·二模）若实数x,y,z≥0，且x+y+z=4,2x−y+z=5，则M=4x+3y+5z的取值范围是.3.（23-24高三下·重庆渝北·阶段练习）已知三个实数a、b、c，其中c>0,b≤2a+3c且bc=a2，则a−2cb4.（2024·浙江·模拟预测）已知正数a，b，c满足a25.（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式1≤x≤y≤z≤t≤100，则xy+z考点四、一元二次不等式1.（2024·上海·高考真题）已知x∈R,则不等式x2−2x−3<0的解集为2.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式3x−22x+3A．x−23C．{x|x<−23或x>32}1.（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间0，5内随机取一个实数a，则关于x的不等式A．25 B．310 C．152.（2024高三·全国·专题练习）已知a , b∈R且ab≠0，若A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．3.（23-24高三下·上海·阶段练习）设a>0，若关于x的不等式x2−ax<0的解集是区间0,1的真子集，则a的取值范围是4.（2023·全国·模拟预测）定义：若集合A,B满足A∩B≠∅，存在a∈A且a∉B，且存在b∈B且b∉A，则称集合A,B为嵌套集合．已知集合A=x2x−x2≤0且x∈A．(2,3) B．(−∞,1) C．(1,3) 考点五、一元二次方程跟的分布1.（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于x的方程x2−2ax+a+2=0在区间−2,1上有两个不相等的实数解，则A．−65,−1C．−∞,−62.（21-22高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为m,4mA．－2 B．1 C．2 D．81.（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程ax2+a+2x+9a=0有两个不相等的实数根xA．−27<a<C．a<−27 2.（2023·北京海淀·模拟预测）已知关于x的不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是A．aB．aC．若关于x的不等式x2+ax−b<0的解集为（D．若关于x的不等式x2+ax+b<c的解集为（x13.（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）如果二次方程x2−px−q=0(p,q∈N考点六、一元二次不等式恒成立1.（2024高三·全国·专题练习）若不等式a−2x2+2A．−∞,2 C．−2,2 D．−2.（2024·陕西西安·模拟预测）当1≤x≤2时，不等式x2−ax+1≤0恒成立，则实数a的取值范围是1.（2024高三·全国·专题练习）已知b>0，若对任意的x∈0,+∞，不等式4ax3+82.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知对任意实数x>0,不等式2x2−ax−10lnx3.（2024·陕西榆林·三模）已知α∈0,2π，若当x∈0,1时，关于x的不等式sinA．π12,5π12 B．π64.（2024·湖北·二模）已知等差数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2+mA．−2 B．0 C．1 D．21．（2021·天津和平·一模）设a∈R，则“2<a<3”是“a+1a−6A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2024·河北唐山·一模）已知x∈R，p：“x2−x>0”，q：“x>1”，则pA．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（23-24高三上·天津北辰·期中）设x∈R，则“x2>1A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022·天津·二模）设x∈R，则“x≤3”是“x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（2024·天津·一模）设x∈R，则“x<0”是“x2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024高三下·全国·专题练习）已知2<a<3，−2<b<−1，则a+2b的取值范围为．7．（2024高三下·全国·专题练习）若关于x的不等式m−3x2−2mx−8>0的解集是一个开区间，且区间的长度L满足L∈1,2，求实数m的取值范围（注：开区间1．（2024·福建宁德·三模）函数f(x)=xlnx，若关于x的不等式[f(x)]2A．2ln2,C．3ln3,2．（2022·河南南阳·模拟预测）已知命题p：∀x∈R，x2+4x−m≥0恒成立；命题q：fx=−x2+m−1xA．−4,−3 B．−5,−4C．−∞,−5∪3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2A．−1,12 B．−12,14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值为0，若关于xA．9 B．8 C．6 D．45．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件q：“不等式a2−4x2+a+2x−1≥0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024·广东·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c>0的解集为xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2025高三·全国·专题练习）已知x2+x+5≤ax2+2ax+c≤2x21．（江西·高考真题）当a>0,b>0时，不等式−b<1A．x<−1b或x>1C．x<−1a或x>1b 2．（安徽·高考真题）函数fx

A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，3．（2023·全国