2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程专题六

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--高考解析几何复习专题六知识点一根据焦点或准线写出抛物线的标准方程,抛物线中的三角形或四边形面积问题典例1、已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且．（1）求抛物线C的方程；（2）直线FM与抛物线C交于A点，O为坐标原点，求面积．随堂练习：已知抛物线的焦点为，O为坐标原点．（1）求抛物线方程；（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求的面积．

典例2、已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标.

随堂练习：已知动点M到点的距离等于它到直线的距离，记动点M的轨迹为曲线C.（1）求动点M的轨迹方程C；（2）已知，过点的直线l斜率存在且不为0，若l与曲线C有且只有一个公共点P，求的面积.典例3、已知抛物线，过其焦点F的直线与C相交于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，相交于点P．（1）求点P的轨迹方程；（2）若PA，PB与x轴分别交于Q，R两点，令的面积为，四边形PRFQ面积为，求的最小值．

随堂练习：已知抛物线的焦点为F，且F与圆上点的距离的最大值为5.（1）求抛物线C的方程；（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求面积的最大值.知识点二求双曲线中三角形（四边形）的面积问题,根据韦达定理求参数典例4、已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．（1）求双曲线的方程；（2）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

随堂练习：在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.（1）求证：为定值，并求出点的轨迹方程；（2）曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.典例5、已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.（1）求双曲线的方程；（2）求证：面积为定值，并求出该定值.

典例6、已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点,(1)求k的取值范围;(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S．

人教A版数学--高考解析几何复习专题六典例1、答案:（1）（2）解：（1），又点在抛物线C上，根据抛物线的定义，，所以，所以，所以，代入得，，所以，所以抛物线C：.（2）根据题意，F坐标为，，所以直线.联立和，所以，所以所以，所以随堂练习：答案：（1）（1）解：（1），则由抛物线性质得，∴，∴，即抛物线的标准方程是.（2）由题意得，抛物线的焦点为，∴斜率为1的直线的方程为，，，，所以，，∴原点到直线的距离为，所以的面积典例2、答案：（1）（2）或解：依题意动点到定点的距离等于动点到直线的距离，由抛物线的定义可知，动点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）联立方程，整理得,设，则有,于是,设到直线的距离为，因为，由点到直线的距离公式得,又，所以，于是，解得或.故点的坐标为或.随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）根据抛物线定义得动点M的轨迹为曲线..（2）设过点的直线l为，将其与抛物线方程联立，得，消去得：①，因l与C有且只有一个公共点，则.将代入①得，解得，代入直线l可得则直线AP方程为：，则其与y轴交点为，则由图可得：典例3、答案：（1）（2）2解：（1）抛物线的焦点.由得，∴.设，，，由导数的几何意义可得：，，∴，即，同理．又P在PA，PB上，则，所以．∵直线AB过焦点F，∴．所以点P的轨迹方程是．（2）由（1）知，，代入得，则，则，P到AB的距离，所以，∵，当时，得，∴，∴，同理，．由得，∴四边形PRFQ为矩形，∵，∴，∴，当且仅当时取等号．∴的最小值为2．随堂练习：答案：（1）（2）32解：（1）由题意知，，设圆上的点，则.所以.从而有.因为，所以当时，.又，解之得，因此.抛物线C的方程为：.（2）切点弦方程韦达定义判别式求弦长求面积法抛物线C的方程为，即，对该函数求导得，设点、、，直线的方程为，即，即同理可知，直线PB的方程为，由于点P为这两条直线的公共点，则，所以，点A、B的坐标满足方程，所以，直线的方程为，联立，可得，由韦达定理可得，所以，点P到直线AB的距离为，所以，，∵，由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.典例4、答案：（1）；（2）.解:（1）由已知，，，，∵，则，∴，∴，解得，，∴双曲线的方程为．（2）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，由，得，则，解得①，∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，，解得②，由①、②得实数k的范围是.由已知，∵B在A、Q之间，则，且，∴，则，∴，则，∵，∴，解得，又，∴．故λ的取值范围是．随堂练习：答案：（1）证明见解析，（2）解：（1）证明：如图，由点与关于对称，则，，故为定值.由，由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，设双曲线方程为，，所以双曲线方程为；（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线设，由，设.，由于P点在双曲线上又同理，设的倾斜角为，则.由函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当时，；.典例5、答案：（1）；（2）证明见解析，面积为.解:（1）设双曲线的焦距为，由题意可得：，则双曲线的方程为；（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，设直线的方程为，则消得，，①设与轴交于一点，，，双曲线两条渐近线方程为：，联立，联立，则（定值）.典例6、答案：（1）；（2），面积为.解：（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，得，故曲线的方程为；设，