2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程专题七

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--高考解析几何复习专题七知识点一求抛物线的切线方程,由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数,根据焦点或准线写出抛物线的标准方程典例1、已知抛物线的焦点为，为坐标原点．（1）过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；（2）抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．随堂练习：已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线上的投影，当为等边三角形时，其面积为.（1）求抛物线的方程；（2）设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.典例2、已知P为抛物线E：上任意一点，过点P作轴，垂足为O，点在抛物线上方（如图所示），且的最小值为9．（1）求E的方程；（2）若直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N，且为等边三角形，求m的值．随堂练习：已知抛物线C：上的点到其焦点F的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）已知点D在直线l：上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|最小时，求的值．典例3、如图，设为轴的正半轴上的任意一点，为坐标原点.过点作抛物线的两条弦和，､在轴的同侧.（1）若为抛物线的焦点，，直线的斜率为，且直线和的倾斜角互补，求的值；（2）若直线､､､分别与轴相交于点､､､，求证：.随堂练习：已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，为在动直线上的投影.当为等边三角形时，其面积为.（1）求抛物线的方程；（2）过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点A，B和C，D，点H，K分别为，的中点，求面积的最小值.知识点二抛物线中的三角形或四边形面积问题,直线与抛物线交点相关问题典例4、已知曲线M上的任意一点到点的距离比它到直线的距离小1．（1）求曲线M的方程；（2）设点．若过点的直线与曲线M交于B，C两点，求的面积的最小值．随堂练习：如图，已知直线与抛物线交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB，交AB于点D，点D的坐标为(4,2).（1）求p的值；（2）求△AOB的面积.典例5、已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点.（1）记和的面积分别为，若，求直线的方程；（2）判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由.随堂练习：已知抛物线的焦点为，准线为.（1）设与轴的交点为，点在上，且在轴上方，若，求直线的方程；（2）过焦点的直线与相交于、两点，点在上，且，，求的面积.典例6、如图，已知抛物线，直线l过点与抛物线交于A、B两点，且在A、B处的切线交于点P，过点P且垂直于x轴的直线分别交抛物线C、直线l于M、N两点．直线l与曲线交于C、D两点．（1）求证：点N是中点；（2）设的面积分别为，求的取值范围．随堂练习：如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上.1、若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；2、设中点为，求证：直线轴；3、若是曲线上的动点，求面积的最大值.【正确答案】1、；2、证明见解析；3、人教A版数学--高考解析几何复习专题七答案典例1、答案：（1）（2）解：（1）由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，，解得：，抛物线的标准方程为：.（2）为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，设，则，解得：，，，，解得：，，即的边长为.随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）由题意得：，由抛物线定义可知：此时，过点F作FD⊥PQ于点D，由三线合一得：D为PQ中点，且，可得：所以抛物线方程为（2）由题意得：当M为AB中点时，满足题意，设，由得：直线斜率为，则可设直线：，整理得：，联立得：，设，则，则，由得直线OQ：，联立直线OQ与直线l得：，从而，可得：，解得：.典例2、答案：（1）1、（2）2、解：（1）抛物线E：的焦点，准线方程为，所以，故，又因为的最小值为9，所的最小值为，当且仅当点C，P，F三点共线时，取得最小值，此时，解得，故抛物线E的方程为；（2）联立，消去x得，直线与抛物线E相交于不同的两点A，B，，得，设，，则有，，所以，设线段AB的中点，则，，即，直线MN的斜率，直线MN的方程为：，令，得，即，所以，，又因为为等边三角形，所以，所以，解得，且满足，故所求m的值为．随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）因为点，在抛物线C：上，所以，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得：，解得，即抛物线C的方程为；（2）由题意可设，，，因为，所以，即，故，整理得，设点，同理可得，则直线AB方程为：，令得，即点，因为直线NF与直线AB垂直，所以直线NF方程为：，令得，即点，∴，当且仅当时，时上式等号成立，联立，得，∴，，，，∴．典例3、答案：（1）（2）证明见解析.解：（1）根据题意，为抛物线的焦点，则，由于直线的斜率为，故直线的方程为，所以联立方程得，设，则，因为直线和的倾斜角互补，所以，因为，所以，所以，解得.所以.（2）设，直线的方程为，直线的方程为设，直线与抛物线联立得，所以，，同理，直线与抛物线联立得，所以，，对于直线，由于，所以，所以直线方程为，故令得，即同理得，，，所以，，所以随堂练习：答案：（1）；（2）16.解：（1）抛物线的焦点，准线，为等边三角形，则有，而为在动直线上的投影，则，由，解得，设，则点，于是由得：，解得，所以抛物线的方程为：.（2）显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB方程为：，则直线CD方程为：，由消去x并整理得：，设，则，于是得弦AB中点，，同理得，因此，直角面积，当且仅当，即时取“=”，所以面积的最小值为16.典例4、答案：（1）（2）解：（1）由已知得，曲线M上的任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线M的方程为（2）设，显然，过点的直线斜率不为0，设其方程为联立，整理得其中，由韦达定理得：，，所以的面积当时，所以的面积的最小值为随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）∵OD⊥AB，∴，又，∴，则直线AB的方程为，联立方程消y可得①设A(x1,x2)，B(x2,y2)，∴，，由，又，将代入可得，且当时方程①有解．∴.（2）由，∵，∴.典例5、答案：（1）；（2）不存在，理由见详解.解：（1）设直线方程为，联立，消去得，得①，②，又因为，则③由①②③解得，即直线的方程为，即（2）假设存在点，使得四边形为矩形，则互相平分所以线段的中点在上，则轴，此时则不成立.故在轴上不存在点，使得四边形为矩形随堂练习：答案：（1）（2）32解：（1）由可得的准线为直线，所以点过点作的准线的垂线，垂足为，如图所示，则，因为，所以，设直线的倾斜角为，则，即，得直线的斜率为1，所以直线的方程为（2），设，，，若轴，由，得，、为、，此时不满足，所以不满足题意.设直线方程为，直线的方程为，如图所示：将代入抛物线方程得，所以，，将代入抛物线方程得，所以①，直线的斜率为，同理的斜率为，因为，所以，所以，即②，由①②解得，，所以或者，当时，直线方程为，，，因为，满足，所以，所以，所以的面积为32，同理可得当直线方程为时的面积也为32.所以的面积为32.典例6、答案：（1）证明见解析.（2）解：（1）因为点的直线l过与抛物线交于A、B两点，所以直线的斜率存在，可设.设，则，消去y可得：，所以.对抛物线可化为，求导得：，所以以为切点的切线方程为，整理得：.同理可求：以为切点的切线方程为.两条切线方程联立解得：，，所以.过点P且垂直于x轴的直线为：，所以.所以，即点N是中点.设.因为点D到MN的距离为，所以.因为点B到MN的距离为，所以.所以.（2）由（1）可知：点N是中点.同理可证：点N是中点.所以.设，则，消去y可得：，所以.所以.由（1）可知：，，所以.同理可求：，.所以因为，所以，所以，所以，所以，所以.即的取值范围为.随堂练习：答案：（1）；（2）