2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程专题二

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--高考解析几何复习专题二知识点一椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题,椭圆中的定值问题典例1、已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0）（1）求椭圆C的标准方程：（2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值随堂练习：已知椭圆的中心在原点，焦点，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上有一点P，另一焦点，求的面积的最大值．典例2、已知椭圆的左右焦点为，且，直线过且与椭圆相交于两点，当是线段的中点时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）当线段的中点不在轴上时，设线段的中垂线与轴交于点，与轴交于点为椭圆的中心，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求直线的方程．

随堂练习：已知椭圆：的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，（1）若的面积为，求椭圆的标准方程：（2）过点作斜率的直线交椭圆于不同两点，，点在椭圆的内部，在椭圆上存在点，使，记四边形的面积为，求的最大值.

典例3、已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当椭圆和圆：.过点作直线和，且两直线的斜率之积等于，与圆相切于点，与椭圆相交于不同的两点，．（i）求的取值范围；（ii）求面积的最大值．

随堂练习：已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，直线交椭圆C于P，Q两点，直线与x轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.（1）求证：直线恒过定点；（2）设和的面积分别为，求的最大值.知识点二根据椭圆过的点求标准方程,椭圆中的直线过定点问题典例4、已知，是椭圆E：上的两点．（1）求椭圆E的方程．（2）若直线l与椭圆E交于C，D两点（C，D均不与点A重合），且以线段CD为直径的圆过点A，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

随堂练习：已知椭圆过点B（0，1），A为其左顶点，且直线AB的斜率为.（1）求E的方程；（2）不经过B点的直线l与E相交于C，D两点，若两直线BC，BD的斜率之和为，求直线l所过的定点.典例5、已知椭圆经过点和点．（1）求椭圆的标准方程和离心率；（2）若、为椭圆上异于点的两点，且点在以为直径的圆上，求证：直线恒过定点．

随堂练习：已知椭圆过点，且离心率为．（1）求该椭圆的方程；（2）在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.典例6、已知椭圆过点，椭圆的左、右顶点分别为，点P坐标为，成等差数列．（1）求椭圆的标准方程；（2）若对斜率存在的任意直线l与椭圆恒有M，N两个交点，且．证明：直线l过定点．

随堂练习：已知椭圆：过点，且点A到椭圆的右顶点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知为坐标原点，直线：与交于M，N两点，记线段MN的中点为P，连接OP并延长交于点Q，直线交射线OP于点R，且，求证；直线过定点.人教A版数学--高考解析几何复习专题二典例1、答案：（1）（2）解:（1）∵∴，a=4，椭圆的标准方程为；（2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得，设P，Q，则∴三角形APQ面积为：，令∵函数y=x+在上单调递增∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值.随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）因为椭圆的焦点为且过，所以所以，，所以椭圆方程为：；（2）因为，因为，所以，此时P点位于短轴端点处典例2、答案：（1）（2）解：（1）由于，所以，则右焦点的坐标为，当时，代入椭圆方程为，故当是线段的中点时，此时轴，故，又，联立即可求解解得，，，椭圆的标准方程：；（2）由线段的中点不在轴上可知直线有斜率且不为0，设过椭圆的右焦点的直线的方程为，，设，，，，联立整理得：，由韦达定理得，．．为线段的中点，则可得点，．，又直线的斜率为，直线的方程为：．令得，，故令得，,故因此,,故令，故，记，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取最大值，故此时取最大值，此时，此时直线的方程为随堂练习：答案：（1）（2）解：（1），∴，，，又，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2），∴，椭圆，令，直线l的方程为：，联立方程组：，消去y得，由韦达定理得，，有，因为：，所以，，将点Q坐标代入椭圆方程化简得：，而此时：.，而，O点到直线l的距离，所以：，因为点P在椭圆内部，所以，得，又，所以，当，即时等号成立.所以的最大值是.典例3、答案：（1）（2）（i）；（ii）解：（1）由题意，，解得，，，所以椭圆的标准方程为.（2）（i）由题意，两直线、的斜率均存在，且两直线的斜率之积为1，设的斜率为，则的斜率为，则直线的方程为，即，直线的方程为，即，与圆相切于点，，化简得，由得，，，化简得，，由得，，代入上式化简得，，解得，又，则，得，所以的取值范围是.（ii）设，，由（1）可知，，，又，又原点到直线的距离，

面积，

设，则，由以及得，

所以当时，面积取最大值.所以面积的最大值是.随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）.解：（1）依题意，，设，直线方程为，由消去x并整理得：，，则，因在椭圆上，有，直线BP斜率，有，则，即，而，解得，此时，直线：恒过点，所以直线恒过定点.由（1）知，，令，，则，令，函数在上单调递增，则当时，取得最小值，所以当，即时，取得最大值.典例4、答案：（1）（2）定点，理由见解析.解：（1）将，代入椭圆方程可得，解得，所以椭圆方程为；（2）若直线的斜率不存在，设直线方程为，由题可得为等腰直角三角形，则可将代入椭圆，解得（舍去）或，即直线方程为；若直线的斜率存在，设方程为，设，联立方程，可得，则，可得，①，②，由题可得，则，即，代入①②，整理可得，解得或，若，直线为，经过点,不符合，若，直线为，经过定点，综上所述，直线l过定点.随堂练习：答案：（1）；（2）.解：（1）由题意，直线AB为，即，故当时，所以，椭圆过，则，所以椭圆E为.（2）设直线BC与直线BD的斜率分别为，.若直线l与x轴垂直，设直线，且，可得C，D分别为，，则，得，不符合题设.从而可设直线.将代入得：.由题意.设，，则，.而.所以，即，解得或（舍去）.当且仅当时，于是直线，即，所以直线l过定点.典例5、答案：（1）椭圆的标准方程为，离心率为（2）证明见解析解：（1）将点、的坐标代入椭圆的方程可得，解得，则，所以，椭圆的标准方程为，离心率为.（2）分以下两种情况讨论：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，联立可得，可得，由韦达定理可得，，，同理可得，由已知，则，所以，，即，解得或.当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意；②当直线轴，则点、关于轴对称，所以，，，即点，由已知可得，，，由已知，则，所以，，因为，解得，此时直线的方程为，则直线过点.综上所述，直线过定点.随堂练习：答案：（1）（2）存在，解：（1），，椭圆，将代入可得，故，椭圆方程为：；（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，联立方程可得：，，，为常数，代入韦达定理可知，即为常数，，故且，直线l过定点当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.典例6、答案：（1）（2）证明见解析解：（1）由题意知：，，成等差数列．可得：解得：又，，解得：故椭圆标准方程为：（2）设直线方程为联立，化简得：可得：，，则有：可得：解得：或故直线方程为：或所以直线恒过点或