考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷1（共252题）

考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷1（共8套）（共252题）考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数u=u(x，y)满足u有二阶连续偏导数，则u11’’(x，2x)=()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得u1’+2u2’=1，两边再对x求导得u11’’+2u12’’+2u21’’+4u22’’=0，①等式u1’(x，2x)=x2两边对x求导得u11’’+2u12’’=2x，②将②式及u12’’=u21’’，u11’’=u22’’代入①式中得2、利用变量替换u=x，，可将方程化成新方程()A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：由复合函数微分法于是3、若函数其中f是可微函数，且则函数G(x，y)=()A、x+yB、x—yC、x2一y2D、(x+y)2标准答案：B知识点解析：设，则u=xyf(t)，于是即G(x，y)=x一y．4、已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[-3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则()A、a=2，b=一2B、a=3，b=2C、a=2，b=2D、a=一2，b=2标准答案：C知识点解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(37+2y)]dy可知，以上两式分别对y，x求偏导得3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(s+2y),故得a=2,b=2.5、设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的()A、最大值点和最小值点必定都在D的内部B、最大值点和最小值点必定都在D的边界上C、最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D、最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：令由于B2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．6、函数f(x，y)=exy在点(0，1)处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式是()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知B正确．7、函数f(x，y)=x4一3x3y2+x一2在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是()A、一3+(4x3一6xy2+1)x一6x2.y.y+[(12x2一6y2)x2一24xy.xy一6x2.y2]B、一3+(4x2—6xy2+1)(x一1)一6x2y(y一1)+[(12x2一6y2)(x—1)2一24xy(x一1).(y一1)一6x2(y一1)2]C、一3一(x一1)一6(y一1)+[6(x一1)2一24(x一1)(y一1)一6(y一1)2D、一3一x一6y+(6x2一24xy一6y2)标准答案：C知识点解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知C正确．8、若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是()．A、α1，α2，α3线性无关B、α1，α2，α3线性相关C、α1，α2，α4线性无关D、α1，α2，α4线性相关标准答案：B知识点解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)9、设则fz’(0，1)=___________．标准答案：1知识点解析：10、设f可微，则由方程f(cx一az，cy一bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azx’+bzy’=_________．标准答案：c知识点解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f1’.(cdx—adz)+f2’.(cdy—bdz)=0，即11、设f(z)，g(y)都是可微函数，则曲线在点(x0，y0，z0)处的法平面方程为_____．标准答案：f’(z0)g’(y0)(x-x0)+(y—y0)+g’(y0)(z—z0)=0知识点解析：曲线的参数方程为：x=f[g(y)]，y=y，z=g(y)．12、函数的定义域为_______．标准答案：知识点解析：由可得．13、设z=eminxy，则dz=___________．标准答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知识点解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycosxy.x；dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．14、设函数f(x，y)=exln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为，则其拉格朗日型余项R2=____________．标准答案：ξ在0，x之间，η在0，y之间知识点解析：15、设z=eminxy，则dz=___________．标准答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知识点解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycosxy.x；dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)16、设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且｜f(4)(x)｜≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有其中x’为x关于x0的对称点．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求f(x，y)=x+xy—x2一y2在闭区域D={(x，y)10≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．标准答案：这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=x+xy—x2一y2在闭区域D内部的极值：解方程组得区域D内部唯一的驻点为由g(x，y)=(fxy’’)2一fxx’’fyy’’=一3，得f(x，y)=x+xy—x2一y2在闭区域D内部的极大值再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件．在z轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为F(x，y，λ)=x+xy—x2一y2+λy，解方程组在下面边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以，下面边界的最大值为，最小值为0．同理可求出：在上面边界上的最大值为一2，最小值为一4；在左面边界上的最大值为0，最小值为一4；在右面边界上的最大值为，最小值为一2．比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D上的最大值为，最小值为一4．知识点解析：暂无解析18、设f(x，y)=kx2+2kxy+y2在点(0，0)处取得极小值，求k的取值范围．标准答案：由f(x，y)=kx2+2kxy+y2，可得fx’(x，y)一2kx+2ky，fyy’’(x，y)=2k，fy’(x，y)=2kx+2y，fyy’’(x，y)=2，fxy’’(x，y)=2k，于是，①若△=B2一AC=4k2一4k＜0且A一2k＞0，故0＜k＜1；②若△=B2一AC=4k2一4k=0，则k=0或k=1，当k=0时，f(x，y)=y2，由于f(x，0)≡0，于是点(0，0)非极小值点．当k=1时，f(x，y)=(x+y)2，由于f(x，一x)≡0，于是点(0，0)也非极小值点．综上所述，k的取值范围为(0，1)．知识点解析：暂无解析19、求函数z=x2+y2+2x+y在区域D：x2+y2≤1上的最大值与最小值．标准答案：由于x2+y2≤1是有界闭区域，z=x2+y2+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值．(1)(2)函数在区域内部无偏导数不存在的点．(3)再求函数在边界上的最大值点与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y在满足约束条件x2+y2=1的条件极值点．此时，z=p+2x+y．用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2a+y+λ(x2+y2一1)，所有三类最值怀疑点仅有两个，由于，所以最小值，最大值．知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、在第一象限的椭圆，使过该点的法线与原点的距离最大．标准答案：设椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为原点到该法线的距离为，构造拉格朗日乘子函数h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根据条件极值的求解方法，先求根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为知识点解析：暂无解析22、设函数f(x，y)及它的二阶偏导数在全平面连续，且｜x—y｜．求证：｜f(5，4)｜≤1．标准答案：因与路径无关．设O(0，0)，A(4，4)，B(5，4)，由条件．在直线OA：y=x上，，所以知识点解析：暂无解析23、标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：知识点解析：暂无解析26、设A是m×5阶矩阵，B是s×n阶矩阵，且r(B)＝r(AB)．证明：方程BX＝0与ABX＝0是同解方程组．标准答案：首先，方程组BX＝0的解一定是方程组ABX＝0的解．令r(B)＝r且ξ1，ξ2，…，ξn－r是方程组BX＝0的基础解系，现设方程组ABX＝0有一个解η0不是方程组BX＝0的解，即Bη0≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn－r，k0，使得k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn－rξn－r＋k0η0＝0，若k0＝0，则k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn－rξn－r＝0，因为ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，所以k1＝k2＝…＝kn－r＝0，从而ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn－r，线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη0＝0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn－r，η0线性无关，且为方程组ABX＝0的解，从而n一r(AB)≥n一r＋1，r(AB)≤r一1，这与r(B)＝r(AB)矛盾，故方程组BX＝0与ABX＝0同解．知识点解析：暂无解析27、设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA＋DB)＝n．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求证：f(x，y)=Ax2+2Bocy+Cy2在约束条件下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．标准答案：因为f(x，y)在全平面连续为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值．设(x1，y1)，(x2，y2)分别为最大值点和最小值点，令则(x1，y1)，(x2，y2)应满足方程记相应乘子为λ1，λ2，则(x1，y1，λ1)满足解得λ1=Ax12+2Bx1y1+C1y2同理λ2=2Ax22+2Bx2y2+Cy22，即λ1，λ2是f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值．又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即化简得λ一(Aa2+Cb2)λ+(AC—B2)a2b2=0，所以λ1，λ2是上述方程(即题目所给方程)的根．知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x，y)=，则f(0，1)()A、等于1．B、等于0．C、不存在．D、等于一1．标准答案：A知识点解析：fx(0，1)==1，故选A．2、设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，△z是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处()A、△z=dz．B、△z=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y．C、△z=fx(x0，y0)dx+fy(x0，y0)dy．D、△z=dz+o(ρ)．标准答案：D知识点解析：由于z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则△z=fx(x0，y0)Ax+fy(x0，y0)△y+o(ρ)=dz+o(ρ)，故选D．3、设=0，则f(x，y)在点(0，0)处()A、不连续．B、连续但两个偏导数不存在．C、两个偏导数存在但不可微．D、可微．标准答案：D知识点解析：由=0知f(x，y)一f(0，0)+2x—y=o(ρ)(当(x，y)→(0，0)时)，即有f(x，y)一f(0，0)=一2x+y+o(ρ)，由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D．4、已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则()A、a=2，b=一2．B、a=3，b=2．C、a=2，b=2．D、a=一2，b=2．标准答案：C知识点解析：由du(x，y)=(axy3+cos(x+2y))dx+(3x2y2+σcos(x+2y))dy知即3axy2一2sin(x+2y)≡6xy2一bsin(x+2y)，则a=2，b=2，故选C．5、已知f(x，y)=sin，则()A、fx(0，0)，fy(0，0)都存在．B、fx(0，0)存在，但fy(0，0)不存在．C、fx(0，0)不存在，fy(0，0)存在．D、fx(0，0)，fy(0，0)都不存在．标准答案：C知识点解析：6、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是()A、f(x0，y)在y=y0处的导数大于零．B、f(x0，y)在y=y0处的导数等于零．C、f(x0，y)在y=y0处的导数小于零．D、f(x0，y)在y=y0处的导数不存在．标准答案：B知识点解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有f’x(x0，y0)=0，f’y(x0，y0)=0．又由f’x(x0，y0)=，可知B正确．7、曲线在点(1，一1，0)处的切线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：曲面x2+y2+z2=2在点(1，一1，0)处的法线向量为n1=(2，一2，0)，平面x+y+z=0在点(1，一1，0)处的法线向量为n2=(1，1，1)．则曲线，在点(1，一1，0)处的切向量为t=n1×n2=(一2，一2，4)，则所求切线方程为，故选D．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)8、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数z=f(x，xy)，则=_________．标准答案：xf"12+f’2+xyf"22知识点解析：由题干可知，=xf"12+f’2+xyf"22．9、二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极小值为_________．标准答案：-知识点解析：由题干可知，f’x=2x(2+y2)，f’y=2x2y+lny+1，10、函数f(x，y)=x2y(4一x—y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值是_________．标准答案：一64知识点解析：根据题意可知，得区域。内驻点(2，1)．则有f"xx=8y一6xy一2y2；f"xy=8x一3x2一4xy；f"yy=一2x2则A=一6，B=一4，C=一8，有AC—B2=32＞0，且A＜0．所以，点(2，1)是z=f(x，y)的极大值点，且f(2，1)=4．当y=0(0≤x≤6)时，z=0；当x=0(0≤y≤6)时，z=0；当x+y=6(0≤y≤6)时，则z=2x3一12x2(0≤x≤6)，且=6x2一24x．令=0，解得x=4．则y=2，f(4，2)=一64．且f(2，1)=4，f(0，0)=0．则z=f(x，y)在D上的最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．11、曲面z=x2+y2与平面2x+4y—z=0平行的切平面的方程是_________。标准答案：2x+4y一z=5知识点解析：令F(x，y，z)=z一x2一y2，则F’x=一2x，F’y=一2y，F’z=1．设切点坐标为(x0，y0，z0)，则切平面的法向量为{一2x0，一2y0，1}，其与已知平面2x+4y一z=0平行．因此有可解得x0=1，y0=2．相应地有z0=x02+y02=5．故所求的切平面方程为2(x一1)+4(y一2)一(z—5)=0，即2x+4y一z=5．12、曲面z一(xy)2+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为_________．标准答案：4x+2y+(1一ln2)z=8知识点解析：根据题意，令F(x，y，z)=z一(xy)z+2xy一3，那么有F’x(1，2，0)=2y一zxz—1yz｜(1,2,0)=4，F’y(1，2，0)=2x一zxzyz—1｜(1,2,0)=2，F’z(1，2，0)=1一(xy)zln(xy)｜(1,2,0)=1一ln2．则所求切平面的方程为4(x一1)+2(y一2)+(1一ln2)z=0．即4x+2y+(1一ln2)z=8．13、函数u=ln(x+)在点A(1，0，1)处沿点／4指向点B(3，一2，2)方向的方向导数为_________．标准答案：知识点解析：因为14、函数f(x，y，z)=x3+y4+z2在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积为_________．标准答案：一25知识点解析：函数f(x，y，z)在(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值分别为f(x，y，z)在该点处梯度向量的模和梯度向量模的负值．gradf｜(1,1,0)=(3，4，0)，‖g‖==5．则函数f(x，y，z)=x3+t4+z2在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值之积为‖g‖(一‖g‖)=一‖g‖2=一25．15、曲面z2+2y2+3z2=21在点(1，一2，2)的法线方程为_________．标准答案：知识点解析：令F(x，y，z)=x2+2y2+3z2一21，那么有F’x(1，一2，2)=2x｜(1,—2,2)=2，F’y(1，一2，2)=4y｜(1,—2,2)=8，F’z(1，一2，2)=6z｜(1,—2,2)=12．因此，所求法线方程为16、曲线sin(xy)+ln(y一x)=x在点(0，1)处的切线方程为_________．标准答案：y=x+1知识点解析：设F(x，y)=sin(xy)+ln(y一x)一x，则故所求切线方程为y=x+1．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)17、证明可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y．标准答案：设z=f(x0，y0)在点(x0，y0)处可微，则等式成立．令△y=0，于是知识点解析：暂无解析18、设z=f(x，y)，x=g(y，z)+．标准答案：由z=f(x，y)，有dz=f’1dx+f’2dy．知识点解析：暂无解析19、已知=x+2y+3，u(0，0)=1，求u(x，y)及u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由．标准答案：由=2x+y+1，有u(x，y)=x2+zy+z+φ(y)，再结合=x+2y+3，有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C．于是u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C．又由u(0，0)=1得C=1，因此u(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1．知识点解析：暂无解析20、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值．标准答案：先求在D内的驻点，即令再求f(x，y)在D边界上的最值，(1)在x轴上y=0，所以f(x，0)=0．(2)在y轴上x=0，所以f(0，y)=0．(3)在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，则由f’x=6x2一24x=0，得x=0(舍)，x=4，y=6一x=2．于是得驻点，相应的函数值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4,2)=一64．综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64．知识点解析：暂无解析21、设=x2+y2的解，求u。标准答案：其中C，C是任意常数．知识点解析：暂无解析22、设z=z(x，y)有二阶连续偏导数，且满足=0，若有z(x，2x)=x，z’(x，2x)=z’(x，y)｜y=2x=x2，求z"11(x，2x)与z"12(x，2x)．标准答案：z(x，2x)是z(x，y)与y=2x的复合函数，先将z(x，2x)=x两边对x求导，由复合函数求导法则z’1(x，2x)+2z’2(x，2x)=1，已知z’1(x，2x)=x2，于是x2+2z’2(x，2x)=1，再将它对x求导并由复合函数求导法则2x+2z"21(x，2x)+4z"22(x，2x)=0．由z"21=z"12以及z"11=z"22，可得z"11(x，2x)与z"12(x，2x)满足关系式2z"11(x，2x)+z"12(x，2x)=一x．将已知等式z’1(x，2x)=x2对x求导得z"11(x，2x)+2z"12(x，2x)=2x．由上面两个关系式得知识点解析：暂无解析23、设函数u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式=0．确定a，b的值，使等式在变换ξ=x+ay，η=x+by下简化为=0．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设z=。标准答案：知识点解析：暂无解析25、求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0，x≥0}上的最大值和最小值．标准答案：先求D内的驻点及相应的函数值，由再求f(x，y)在D的边界的最大值与最小值，D的边界由三部分组成：一是直线段上f(x，y)=x2(0≤x≤2)，最小值为0，最大值为4．二是线段上f(x，y)=2y2(0≤y≤2)，最小值为0，最大值为8．于是f(x，y)在D的边界上的最大值为8，最小值为0．最后通过比较知f(x，y)在D上的最大值为8，最小值为0．知识点解析：暂无解析26、设函数f(u)具有二阶连续导数，函数z=f(exsiny)满足方程=(z+1)e2x，若f(0)=0，f’(0)=0，求函数f(u)的表达式．标准答案：此方程对应的齐次方程f"(u)—f(u)=0的通解为f(u)=C1eu+C2e—u，方程f"(u)一f(u)=1的一个特解为f(u)=一1．所以方f"(u)—f(u)=1的通解为f(u)=C1eu+C2e—u一1，其中C1，C2为任意常数．由f(0)=0，f’(0)=0得C1=C2=(eu+e—u)一1．知识点解析：暂无解析27、过椭圆3x2+2xy+3y2=1上任一点作椭圆的切线，试求该切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值．标准答案：设(x，y)为所给椭圆上任一点，则可求得在(x，y)处的切线方程为(3x+y)(X一x)+(x+3y)(Y一y)=0，则只需求(3x+y)(x+3y)在条件3x2+2xy+3y2=1下的极值即可．设F(x，y，λ)=(3x+y)(x+3y)+λ(3x2+2xy+3y2一1)，知识点解析：暂无解析28、设z=。标准答案：先求，并且f(x)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变量；φ(xy)是一元函数φ(v)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量．由于方便，由复合函数求导法则得知识点解析：暂无解析29、设。标准答案：本题确定两个因变量，三个自变量．由第一个方程来看，u是因变量，x，y，t是自变量，由第二个方程来看，z是因变量．因此确定x，y，t为自变量，u，z为因变量．于是将方程组对x求偏导数得知识点解析：暂无解析30、设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数，且z==16(x2+y2)z，求f(u)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，偏导数存在．B、连续，偏导数不存在．C、不连续，偏导数存在．D、不连续，偏导数不存在．标准答案：C知识点解析：这是讨论f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导．先讨论f(x，y)在点(0，0)出是否可偏导．由于f(x，0)=0(x∈(－∞，+∞))，则=0．因此(B)，(D)被排除．再考察f(x，y)在点(0，0)处的连续性．令y=x3，则≠f(0，0)，因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故应选(C)．2、在曲线的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线A、只有一条．B、只有两条．C、至少有三条．D、不存在．标准答案：B知识点解析：t0∈(－∞，+∞)，该曲线在点M0(x(t0)，y(t0)，z(t0))=(t0，)的切线方程为该切线与平面x+2y+z=4平行的充要条件是，切线的方向向量(1，－2t0，)与平面的法向量(1，2，1)垂直，即(1，－2t0，或t0=1，且M0不在该平面上．因此选(B)．3、设f′(u)≠0，上点P0(x0，y0，z0)(x0=f())处的法线与z轴的关系是A、平行．B、异面直线．C、垂直相交．D、不垂直相交．标准答案：D知识点解析：曲面在点P0处的法向量为其中r0=因f′(r0)≠0，x0与y0不同时为零n与k不平行(即n与z轴不平行)．又法线与z轴相交．又k.n≠0法线与z轴不垂直．因此选(D)．4、下列函数在点(0，0)处不连续的是A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：注意≤1．在(A)，(B)中分别有f(x，y)在点(0，0)处连续．因此选(C)．5、设z=f(x，y)=，则f(x，y)在点(0，0)处A、可微．B、偏导数存在，但不可微．C、连续，但偏导数不存在．D、偏导数存在，但不连续．标准答案：B知识点解析：设△z=f(x，y)一f(0，0)，则可知△z=△z=0．这表明f(x，y)=在点(0，0)处连续．因f(x，0)=0(f(x，0)｜x=0=0，同理．f′y(0，0)=0．令α=△z一f′x(0，0)△x—f′y(0，0)△y=，当(△x，△y)沿y=x趋于点(0，0)时即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选(B)．6、设z=f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处A、偏导数存在且连续．B、偏导数不存在，但连续．C、偏导数存在，可微．D、偏导数存在，但不可微．标准答案：C知识点解析：由偏导数定义可知这说明f′x(0，0)存在且为0，同理f′y(0，0)存在且为0．又所以f(x，y)在点(0，0)处可微分．故选(C)．二、解答题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)7、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由x4+y2≥2x2｜y｜而=0．因此原极限为0．知识点解析：暂无解析8、证明极限不存在．标准答案：(x，y)沿不同的直线y=kx趋于(0，0)，有再令(x，y)沿抛物线y2=x趋于(0，0)，有由二者不相等可知极限不存在．知识点解析：先考察(x，y)沿不同的直线趋于(0，0)时f(x，y)的极限．若不同，则得证；若相同，再考察点(x，y)沿其他特殊的路径——曲线趋于(0，0)时f(x，y)的极限．9、(Ⅰ)设f(x，y)=x2+(y－1)arcsin(Ⅱ)设f(x，y)=标准答案：(Ⅰ)因f(x，1)=x2，故=4．又因f(2，y)=4+(y－1)arcsin，故(Ⅱ)按定义类似可求=0(或由x，y的对称性得)．知识点解析：暂无解析10、求下列函数在指定点处的二阶偏导数：标准答案：(Ⅰ)按定义故(Ⅱ)将上式对y求导，得把x=2，y=代入上式，得=e－2(－π2cos2π+2π3sin2π+2π2cos2π)==－π2[e－x(1－x)cosπx－xe－xπsinπx]｜x=2=知识点解析：暂无解析11、设z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函数，求复合函数z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏导数标准答案：由复合函数求导法可得知识点解析：暂无解析12、设z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一阶与二阶偏导数．标准答案：已求得第一步，先对的表达式用求导的四则运算法则得(*)第二步，再求．这里f(u，v)对中间变量u，v的导数仍然是u，v的函数，而u，v还是x，y的函数，它们的复合仍是x，y的函数，因而还要用复合函数求导法求，．即第三步，将它们代入(*)式得(**)用类似方法可求得知识点解析：暂无解析13、设u=f(x，y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组①确定z，t为y的函数，求标准答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是②因此，我们还要求将方程组①两边对y求导得记系数行列式为W=(y－t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则代入②得知识点解析：暂无解析14、设u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换x=rcosθ，r=rsinθ下有标准答案：利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得于是【注】在极坐标变换x=rcosθ，γ=rsinθ下，拉普拉斯方程知识点解析：暂无解析15、设函数z=(1+ey)cosx－yey，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．标准答案：(Ⅰ)先计算(Ⅱ)求出所有的驻点．由解得(x，y)=(2nπ，0)或(x，y)=((2n+1)π，－2)，其中，n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点．在(2nπ，0)处，由于=(－2)×(－1)－0=2＞0，=－2＜0．则(2nπ，0)是极大值点．在((2n+1)π，－2)处，由于=(1+e－2)(－e－2)=＜0．则((2n+1)π，－2)不是极值点．因此函数z有无穷多极大值点(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而无极小值点．知识点解析：暂无解析16、求函数z=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．标准答案：区域D如图8．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到．为求D内驻点，先求=2xy(4－x－y)－x2y=xy(8－3x－2y)，=x2(4－x－y)－x2y=x2(4－x－2y)．再解方程组得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6－x代入得z(x，y)=x2(6－x)(－2)=2(x3－6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3－6x2)，则h′(x)=6(x2－4x)，h′(4)=0，h(0)=0，h(4)=－64，h(6)=0，即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为－64．因此，z(x，y)=－64．知识点解析：暂无解析17、已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC－B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．标准答案：椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2－1=0．令F(x，y，λ)=x2+y2－λ(Ax2+2Bxy+Cy2－1)，解方程组将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得[(1－Aλ)x2－Bλxy]+[－Bλxy+(1－Cλ)γ2]=0，即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，于是可得d=．从直观知道，函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F′x=0，F′y=0有非零解，其系数行列式应为零，即该方程一定有两个根λ1，λ2，它们分别对应d2的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为知识点解析：只需求椭圆的半长轴a与半短轴b，它们分别是椭圆上的点到中心(原点)的距离的最大值与最小值．因此，归结为求解条件极值问题．18、求函数u=ln(x+)在点A(1，0，1)沿点A指向B(3，－2，2)方向的方向导数．标准答案：先求=(3－1，－2－0，2－1)=(2，－2，1)，l=(2，－2，1)．再求于是知识点解析：暂无解析19、设有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0．(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程；(Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．标准答案：(Ⅰ)先写出曲面S上任意点(x0，y0，z0)处的切平面方程．记S的方程为F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=－1，则S上点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为F′x(M0)(x－x0)+F′y(M0)(y－y0)+F′z(M0)(z－z0)=0，其中F′x(M0)=x0，F′y(M0)=2y0，F′z(M0)=z0．该切平面与平面∏平行它们的法向量共线即成比例=λ，且2x0+2y0+z0+5≠0．因为M0(x0，y0，z0)在S上，所以它满足方程即4λ2=1．λ=±于是，(x0，y0，z0)=±(1，，1)显然，(x0，y0，z0)不在平面∏上．相应的切平面方程是即x+y+z－2=0，x+y+z+2=0．这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程．(Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间，故曲面S上切点到平面∏的距离最短或最长因此，曲面S到平面∏的最短距离为d2=知识点解析：暂无解析20、求曲线Г：在点M0(1，1，3)处的切线与法平面方程．标准答案：这两个曲面在点M0的法向量分别为n0=(2x，0，2z)｜(1，1，3)=2(1，0，3)，n2=(0，2y，2z)｜(1，1，3)=2(0，1，3)．切线的方向向量与它们均垂直，即有l=n2×n2==－3i－3j+k．可取方向向量l=(3，3，－1)，因此切线方程为法平面方程为3(x－1)+3(y－1)－(z－3)=0，即3x+3y－z－3=0．知识点解析：关键是求切线的方向向量．这里没给出曲线的参数方程，而是给出曲面的交线方程，曲面的交线的切线与它们的法向均垂直，由此可求出切线的方向向量l．21、设z(x，y)满足求z(x，y)．标准答案：把y看作任意给定的常数，将等式①两边对x求积分得z(x，y)=－xsiny－ln｜1－xy｜+φ(y)，其中φ(y)为待定函数．由②式得－siny－ln｜1－y｜+φ(y)=siny,故φ(y)=2siny+ln｜1－y｜．因此，z(x，y)=(2－x)siny+．知识点解析：实质上这是一元函数的积分问题．当y任意给定时，求z(x，y)就是x的一元函数的积分问题，但求积分后还含有y的任意函数，要由z(1，y)定出这个任意函数．22、设f(x，y)=(Ⅰ)求；(Ⅱ)讨论f(x，y)在点(0，0)处的可微性，若可微并求df｜(0，0)．标准答案：(Ⅰ)当(x，y)≠(0，0)时，当(x，y)=(0，0)时，因f(x，0)=0由对称性得当(x，y)≠(0，0)时(Ⅱ)考察在点(0，0)处的连续性．注意即在点(0，0)处均连续，因此f(x，y)在点(0，0)处可微．于是知识点解析：暂无解析23、设z=(x2+y2)求dz与标准答案：由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得由dz的表达式得(2x+y)．对y求导得知识点解析：暂无解析24、设z=f(xy)+yφ(x+y)，且f，φ具有二阶连续偏导数，求标准答案：先求．由于f(xy)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变量，φ(x+y)是一元函数φ(Ⅴ)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量．由题设知方便，由复合函数求导法则得=f′(xy)+φ(x+y)+yφ′(x+y)，=yf″(xy)+φ′(x+y)+yφ″(x+y)．知识点解析：暂无解析25、设u=，求du及．标准答案：u=复合而成的x，y，z的三元函数．先求du(从而也就求得也就可求得du，然后再由由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得从而因此知识点解析：暂无解析26、设z=z(x，y)是由方程xy+x+y－z=ez所确定的二元函数，求dz，标准答案：将方程两边求全微分后求出出，由dz可求得分别对x，y求导求得将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得ydx+xdy+dx+dy－dz=ezdx，解出dz=[(y+1)dx+(x+1)dy]．从而再将对x求导得代入的表达式得最后求出知识点解析：暂无解析27、设由方程φ(bz－cy，cx－az，ay－bx)=0(*)确定隐函数z=z(x，y)，其中φ对所有变量有连续偏导数，a，b，c为非零常数，且bφ′1－aφ′2≠0，求a+b标准答案：将方程(*)看成关于x，y的恒等式，两边分别对x，y求偏导数得由①×a+②×b，可得因此知识点解析：暂无解析28、设求．标准答案：将方程组对x求偏导数得解得将方程组对y求偏导数同样可得知识点解析：在题设的两个方程中共有五个变量x，y，z，t和u．按题意x，y是自变量，u是因变量，从而由第二个方程知z应是因变量，即第二个方程确定z是x，y的隐函数．这样一来在五个变量中x，y和t是自变量，u与z是因变量．29、设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足①(Ⅰ)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程；(Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)．标准答案：(Ⅰ)将z对x，y的偏导数转换为z对u，v的偏导数．由复合函数求导法得这里仍是u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，因而将②，③，④代入原方程①得即原方程①变成=0⑤(Ⅱ)由题(Ⅰ)，在变量替换u=3x+y，v=x+y下，求解满足①的z=z(x，y)转化为求解满足⑤的z=z(u，v)．由⑤式=f(u)，其中f(u)为任意的有连续导数的函数再对u积分得z=φ(u)+ψ(Ⅴ)，其中φ，ψ为任意的有连续的二阶导数的函数．回到原变量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)．知识点解析：暂无解析30、在半径为R的圆的一切内接角形中．求出其面积最大者．标准答案：用x，y，z表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积S可用x，y，z，R表示为其中z=2π－x－y，将其代入得S=R2[sinx+siny－sin(x+y)]，定义域是D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤2π}．现求S(x，y)的驻点：R2[cosx－cos(x+y)]，R2[cosy－cos(x+y)]．解=0，得唯一驻点：(x，y)=()在D内部，又在D的边界上即x=0或Yy=0或x+y=2π时S(x，y)=0．因此，S在()取最大值．因x=y=，因此内接等边三角形面积最大．知识点解析：暂无解析31、在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?标准答案：用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+(x2+y2－z)+μ(x+y+z－1)，解方程组由前三个方程得x=y，代入后两个方程得解得x=y=．记M1，可算得g(M1)=9－5．从实际问题看，函数g的条件最大与最小值均存在，所以g在点M1，M2分别达到最小值和最大值，因而函数f在点M1，M2分别达到最大值和最小值，即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点M1处最大，在点M2处最小．知识点解析：当负点电荷在点(x，y，z)处时，两电荷间的引力大小为f(x,y，z)=．负点电荷又在椭圆上，于是问题化为求函数f(x，y，z)在条件x2+y2－z=0，x+y+z－1=0下的最大值和最小值．为简单起见，考虑函数g(x，y，z)=x2+y2+z2，f的最大值(或最小值)就是g的最小值(或最大值)(差一倍数)．于是问题又化为求函数g(x，y，z)=x2+y2+z2在条件x2+y2－z=0，x+y+z－1=0条件下的最大值和最小值．32、曲面2x2+3y2+z2=6上点P(1，1，1)处指向外侧的法向量为n，求函数u=在点P处沿方向n的方向导数．标准答案：首先求出方向露及其方向余弦．曲面F(x，y，z)=2x2+3y2+z2－6=0，在P处的两个法向量是±=±(4x，6y，2z)｜p=±2(2，3，1)，点P位于第一卦限，椭球面在P处的外法向的坐标均为正值，故可取n=(2，3，1)．它的方向余弦为知识点解析：暂无解析33、设在xOy平面上，各点的温度T与点的位置间的关系为T=4x2+9y2，点P0为(9，4)，求：(Ⅰ)gradT｜p0；(Ⅱ)在点P0处沿极角为210°的方向l的温度变化率；(Ⅲ)在什么方向上点P0处的温度变化率取得：1°最大值；2°最小值；3°零，并求此最大、小值．标准答案：(Ⅰ)按梯度的定义gradT｜p0==(8x，18y)｜p0=72(1，1)．(Ⅱ)求P0点处沿l方向的温度变化率即求．按方向用极角表示时方向导数的计算公式得(Ⅲ)温度T在P0点的梯度方向就是点P0处温度变化率(即)取最大值的方向，且最大值为｜gradT｜p0｜=72．温度T在P0点的负梯度方向，即－gradT｜p0=－72(1，1)就是点P0处温度变化率取最小值方向，且最小值为－｜gradT｜p0｜=－72．与p0处梯度垂直的方向即±就是点p0处温度变化率为零的方向．因为知识点解析：暂无解析34、设F(x，y，z)有连续偏导数，求曲面S：F=0上点(x0，y0，z0)处的切平面方程，并证明切平面过定点．标准答案：记G(x，y，z)=F，曲面S的方程可写为G(x，y，z)=0，则S上任一点M0(x0，y0，z0)处的法向量为其中于是曲面S上点M0处的切平面方程是即上式左端中令x=y=z=0得即切平面通过定点(0，0，0)．知识点解析：暂无解析35、证明曲线Г：x=aetcost，y=aetsint，z=aet与锥面S：x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x，y，z)与顶点的连线)相交的角度相同，其中a为常数．标准答案：曲线Г的参数方程满足x2+y2=z2，于是Г在锥面S上，Г上任一点(x，y，z)处的母线方向l={x，y，z}，切向量T={x′，y′，z′}={aet(cost－sint)，aet(cOst+sint)，aet}={x－y，x+y，z}．因此即曲线Г与锥面S的各母线相交的角度相同．知识点解析：先求Г的切向量T={x′(t)，y′(t)，z′(t)}以及锥面上点(x，y，z)的母线方向，即它与锥的顶点(0，0，0)的连线方向l=(x，y，z)，最后考察cos(T，l)．36、设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z=f(ex2－y2)满足方程=16(x2+y2)z，求f(u)．标准答案：令u=ex2－y2，则有其中=－2yex2－y2=－2yu．进而可得=4x2u2f″(u)+(2u+4x2u)f′(u)，=4y2u2f″(u)－(2u－4y2u)f′(u)．所以=4(x2+y2)u2f″(u)+4(x2+y2)uf′(u)．由题设条件，得u2f″(u)+uf′(u)－4f(u)=0．这是欧拉方程，令u=et，方程化为－4z=0(z=f(u))，解此二阶线性常系数齐次方程得z=C1e2t+C2e－2t，即z=f(u)=C1u2+，其中C1，C2为常数．知识点解析：z=f(ex2－y2)是z=f(u)与u=ex2－y2的复合函数，由复合函数求导法可导出与f′(u)，f″(u)的关系式，从而由=16(x2+y2)z导出f(u)的微分方程式，然后解出f(u)．考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处连续且φ(0，0)=0，则f(，y)在点(0，0)处A、连续，但偏导数不存在．B、不连续，但偏导数存在．C、可微．D、不可微．标准答案：C知识点解析：逐项分析：(Ⅰ)｜x—y｜在(0，0)连续，φ(x，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处连续．f(x，y)在点(0，0)处可微．选(C)．2、在下列二元函数中，(0，0)的二元函数是A、f(x，y)=x4+2x2y2+y10．B、f(x，y)=ln(1+x2+y2)+cosxy．C、D、标准答案：C知识点解析：对于(A)，(B)：f(x，y)均是二元初等函数，．因而(C)，(D)中必有一个是f″xy(0，0)=f″yx(0，0)，而另一个是f″xy(0，0)≠f′yx(0，0)．现考察(C)．(x，y)≠(0，0)时，因此，f″xy(0，0)≠f″yx(0，0)．选(C)．3、设u(x，y)在M0取极大值，且．则A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值．由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论．令f(x)=u(x，y0)x=x0是f(x)的极大值点(若＞0，则x=x0是f(x)的极小值点，于是得矛盾)．同理，令g(y)=u(x0，y)y=y0是g(y)的极大值点因此，选(C)．4、设f(x，y)在(x0，y0)邻域存在偏导数且偏导数在点(x0，y0)处不连续，则下列结论中正确的是A、f(x，y)在点(x0，y0)处可微且B、f(x，y)在点(x0，y0)处不可微．C、f(x，y)在点(x0，y0)沿方向方向导数．D、曲线在点(x0，y0，f(x0，y0))处的切线的方向向量是标准答案：D知识点解析：当f(x，y)在(x0，y0)邻域偏导数，而在(x0，y0)不连续时，不能确定f(x，y)在(x0，y0)是否可微，也不能确定它在(x0，y0)是否存在方向导数．故(A)，(B)，(C)不正确，只有(D)正确．或直接考察曲线它在点(x0，y0，f(x0，y0))处的切向量是故(D)正确．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、设z=f(t，et)dt，其中f是二元连续函数，则dz=__________．标准答案：f(x2y，ex2y)(2xydx+x2dy)知识点解析：dz=f(x2y，ex2y)d(x2y)=f(x2y，ex2y)(2xydx+x2dy)．6、设z=z(x，y)满足方程2z－ez+2xy=3且z(1，2)=0，则dz｜(1，2)=___________．标准答案：一4dx一2dy知识点解析：将方程分别对x，y求偏导数，得’令x=1，y=2，z=0得dz｜(1，2)=－4dx－2dy．7、设z=yf(x2－y2)，其中f(u)可微，则=____________．标准答案：知识点解析：=yf′(x2一y2).2x=2xyf′(x2一y2)，=yf′(x2一y2)(一2y)+f(x2一y2)=－2y2f′(x2一y2)+f(x2一y2)，8、设f(x，y)有连续偏导数，满足f(1，2)=1，f′x(1，2)=2，f′y(1，2)=3，Ф(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)))，则Ф′(1)=__________．标准答案：302知识点解析：Ф(x)=f(x，u(x))，u(x)=2f(x，v(x))，v(x)=2f(x，2x)，v(1)=2f(1，2)=2，u(1)=2f(1，v(1))=2f(1，2)=2，Ф′(1)=(1，2)u′(1)=2+3u′(1)，u′(1)=2[(1，2)v′(1)]=2[2+3v′(1)]，v′(1)=2[(1，2)]=2(2+2.3)=16．往回代u′(1)=2(2+3.16)=100，Ф′(1)=2+3.100=302．9、设x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是由方程F(x，y，z)=0所确定的隐函数，并且F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则=____________．标准答案：一1知识点解析：由隐函数求导法知(如，由F(x，y，z)=0确定x=x(y，z)，将方程对y求偏导数得其余类似)．将这三式相乘得10、函数z=1－(x2+2y2)在点M0()处沿曲线C：x2+2y2=1在该点的内法线方向n的方向导数为____________．标准答案：知识点解析：M0在曲线C上，C在M0点的内法线方向n=－grad(x2+2y2—1)=－(2x，4y)｜M0，单位内法向n0=gradz｜M0=－grad(x2+2y2)｜M0=－(，2)．按方向导数计算公式，11、过曲面z－ez+2xy=3上点M0(1，2，0)处的切平面方程为___________．标准答案：2x+y一4=0知识点解析：曲面方程F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=z—ez+2xy一3，={2y，2x，1一ez}，gradF｜M0={4，2，0}=2{2，1，0}．点M0的切平面方程为2(x一1)+(y一2)=0，即2x+y一4=0．12、过曲面z=4－x2－y2上点尸处的切平面平行于2x+2y+z一1=0，则P点的坐标为___________．标准答案：(1，1，2)知识点解析：P(x，y，z)处一个法向量n={2x，2y，1}，平面2x+2y+z一1=0的法向量n0={2，2，1}，由n=λn0x=λ，y=λ，λ=1x=1，y=1，z=4—1—1=2，因此P点是(1，1，2)．13、曲线在M0(1，1，2)处的切线方程为___________，法平面方程为___________．标准答案：y一x=0知识点解析：M0在曲线上，M0处的切向量=[(一4yz+4y)i+(一4x+4xz)j+(8xy一8xy)k]M0=一4i+4j=4{一1，1，0}．M0处切线方程法平面方程一(x一1)+(y一1)=0，即y一x=0．三、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)14、设z=f(x，y)满足=sinx，求f(x，y)．标准答案：=2xy+φ(x)，φ(x)为x的任意函数f(x，y)=xy2+φ(x)y+ψ(x)，ψ(x)也是x的任意函数．由=sinx，[2xy+φ(x)]｜y=0=sinx，则φ(x)=sinx．由f(x，1)=0，得[xy2+φ(x)y+ψ(x)]｜y=1=x+sinx+ψ(x)=0，则ψ(x)=－x－sinx．因此，f(x，y)=xy2+ysinx一x一sinx．知识点解析：暂无解析15、设u=yf．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设u=u(x，y)由方程u=φ(u)+P(t)dt确定，其中φ可微，P连续，且φ′(u)≠1，求P(y)+p(x)．标准答案：原方程对x求导+P(x)．①将原方程对y求导－P(y)．②由①×P(y)+②×P(x)得由于φ′(u)≠1P(x)=0．知识点解析：暂无解析17、设函数u(x，y)有连续二阶偏导数，满足=0，又满足下列条件：u(x，2x)=x，u′x(x，2x)=x2(即u′x(x，y)｜y=2x=x2)，求u″xx(x，2x)，u″xy(x，2x)，u″yy(x，2x)．标准答案：将u(x，2x)=x两边对x求导，由复合函数求导法及(x，2x)=x2得(1－x2)．现将(1一x2)分别对x求导得①式×2一②式，利用条件(x，2x)得代入①式得知识点解析：暂无解析18、设u=．标准答案：u是u=f(s，t)与s=复合而成的x，y，z的三元函数．先求du．由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得知识点解析：暂无解析19、已知函数f(x，y，z)=x3y2z及方程x+y+z－3+e－3=e－(x+y+z)，(*)(Ⅰ)如果x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足x(1，1)=1，又u=f(x(y，z)，y，z)，求；(Ⅱ)如果z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足z(1，1)=1，又ω=f(x，y，z(x，y))，求；标准答案：(Ⅰ)依题意，为f[x(y，z)，y，z]对y的偏导数，故有①因为题设方程(*)确定x为y，z的隐函数，所以在(*)两边对y求导数时应将x看成常量，从而有由此可得=－1．代入①式，得(Ⅱ)同(Ⅰ)一样，求得在题设方程(*)中将x看成常量，对y求导，可得=－1，故有知识点解析：f是x，y，z的函数，而x和z又分别是y，z和x，y的函数，所以在(Ⅰ)中把x看成中间变量，在(Ⅱ)中把z看成中间变量．20、设z=f(x，y，u)，其中f具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程u3－5xy+5u=1确定．求．标准答案：将方程u5—5xy+5u=1两端对x求导数，得5u4，故在上式对x求导数时，应注意其中的仍是x，y，u的函数，而u又是x，y的函数，于是知识点解析：z是x，y，u的函数，而u是由方程u5—5xy+5u=1所确定的x，y的隐函数，所以本题是隐函数的复合函数求偏导数的问题．21、设y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)=0确定了函数t=t(x，y)，求．标准答案：由y=f(x，t(x，y))两端对x求导得①而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所确定，则将的表达式代入①式即得知识点解析：由本题要求的知，y应该是x的一元函数，分析清楚这一点是解答本题的关键．由题设知F(x，y，t)=0确定了t=t(x，y)，将t=t(x，y)代入y=f(x，t)得y=f(x，t(x，y))，这是关于x和y的方程，它可确定y是x的一元函数．另一种方法是利用一阶全微分形式不变性求解．上面两种解法都是由方程式确定的隐函数的求导问题．另一种思路是，看作由方程组确定的隐函数问题，其中x为自变量，y与t为因变量(两个方程确定两个因变量)，然后求出．22、若可微函数z=f(x，y)在极坐标系下只是θ的函数，求证：x=0(r≠0)．标准答案：由z=f(rcosθ，rsinθ)与r无关=0．知识点解析：暂无解析23、作自变量与因变量变换：u=x+y，v=x－y，w=xy－z，变换方程为w关于u，v的偏导数满足的方程，其中z对x，y有连续的二阶偏导数．标准答案：由于z=xy一w，则知识点解析：暂无解析24、设u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)=0，其中F有连续的偏导数且标准答案：将方程F(u，v)=0分别对x，y求偏导数，由复合函数求导法得按题设，这个齐次方程有非零解，其系数行列式必为零，即知识点解析：暂无解析25、设z=z(x，y)满足≠0，由z=z(x，y)可解出y=y(z，x)．求：(Ⅰ)；(Ⅱ)y=y(z，x)．标准答案：(Ⅰ)以z，x为自变量，y为因变量y=y(z，x)，它满足z=z(x，y(z，x))．将z=z(x，y)对x求偏导数，得0=再对x求偏导数，得将代入上式，得(Ⅱ)因y=y(z，x)，y=xφ(z)+ψ(z)．知识点解析：暂无解析26、设f(x，y)=2(y－x2)2－x7－y2．(Ⅰ)求f(x，y)的驻点；(Ⅱ)求f(x，y)的全部极值点，并指明是极大值点还是极小值点．标准答案：(Ⅰ)解即驻点为(0，0)与(一2，8)．(Ⅱ)A==2．在(一2，8)处，，AC—B2＞0，A＞0(一2，8)为极小值点．在(0，0)处，，AC—B2=0，该方法失效．但令x=0f(0，y)=y2，这说明原点邻域中y轴上的函数值比原点函数值大，又令y=x2，f(x，x2)=x3)，这说明原点邻域中抛物线y=x2上的函数值比原点函数值小，所以(0，0)不是极值点．知识点解析：暂无解析27、求z=2x+y在区域D：x2+≤1上的最大值与最小值．标准答案：令F(x，y，λ)=2x+y+λ(x2+一1)，解方程组由①，②得y=2x，代入③得x=相应地因为z在D存在最大、最小值z在D的最大值为，最小值为知识点解析：因z=2x+y在D内无驻点z在D的最值于D的边界上达到，故归结为求z=2x+y在条件x2+－1=0下的最大值与最小值．28、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数g(y)连续可导，且g(y)在y=1处取得极值g(1)=2．求复合函数z=f(xg(y)，x+y)的二阶混合偏导数在点(1，1)处的值．标准答案：计算可得将x=1与y=1代入并利用g(1)=2，g′(1)=0即得知识点解析：暂无解析29、设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，f′y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：f(a，b)=0，f′x(a，b)=0，且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值．其中标准答案：y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ′(a)=0．按隐函数求导法，φ′(x)满足f′x(x，φ(x))+f′y(x，φ(x))φ′(x)=0．(*)因b=φ(a)，则有f(a，b)=0，φ′(a)==0，于是f′x(a，b)=0．将(*)式两边对x求导得f″xx(x，φ(x))+f″xy(x，φ(x))φ′(x)+[f′y(x，φ(x))]φ′(x)+f′y(x，φ(x))φ″(x)=0，上式中令x=a，φ(a)=b，φ′(a)=0，得因此当＞0时，φ″(a)＜0，故b=φ(a)是极大值；当＜0时，φ″(a)＞0，故b=φ(a)是极小值．知识点解析：暂无解析30、造一容积为V0的无盖长方体水池，问其长、宽、高为何值时有最小的表面积．标准答案：设长、宽、高各为x，y，z，则表面积为S=xy+2(xz+yz)，容积V0=xyz．问题是求三元函数S在条件xyz—V0=0下的最小值点．化为无条件最值问题．由条件解出z==xy+2V0(x＞0，y＞0)．因该实际问题存在最小值，所以当长、宽、高分别为时无盖长方体水池的表面积最小．知识点解析：暂无解析31、已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．标准答案：设三角形的三边长为a，b，c，并设以AC边为旋转轴(见图8．1)，AC上的高为h，则旋转所成立体的体积为V=πh2b．又设三角形的面积为S，于是有所以V=(P—a)(P—b)(P—c)．问题化成求V(a，b，c)在条件a+b+c一2p=0下的最大值点，等价于求V0(a，b，c)=ln(P一a)(p一b)(p—c)=ln(p一a)+ln(p一b)+ln(p—c)一lnb在条件a+b+c一2p=0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c一2p)，求解方程组比较①，③得a=c，再由④得b=2(p一a)．⑤比较①，②得b(p一b)=(p一a)p．⑥由⑤，⑥解出b=由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为的边旋转时，所得立体体积最大．知识点解析：暂无解析32、证明条件极值点的必要条件(8．9)式，并说明(8．9)式的几何意义．标准答案：所设条件，φ(x，y)=0在x=x0的某邻域确定隐函数y=y(x)满足y0=y(x0)，于是P0(x0，y0)是z=f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点z=f(x，y(x))在x=x0取极值①又由φ(x，y(x))=0，两边求导得φ′x(x0，y0)+φ′y(x0，y0)，y′(x0)=0，解得y′(x0)=－φ′x(x0，y0)／φ′y(x0，y0)．②将②式代入①式得f′x(x0，y0)一f′y(x0，y0)φ′x(x0，y0)／φ′y(x0，y0)=0．因此(8．9)在Oxy平面上看，φ(x，y)=0是一条曲线，它在P0(x0，y0)的法向量是(φ′x(P0)，φ′y(P0))，而f(x，y)=f(x0，y0)是一条等高线，它在P0的法向量是(f′x(P0)，f′y(P0))，(8．9)式表示这两个法向量平行，于是曲线φ(x，y)=0与等高线f(x，y)=f(P0)在点P0处相切．知识点解析：暂无解析33、求函数u=xy+yz+zx在M0(2，1，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数．标准答案：先求出所设方向的方向余弦．设所求方向与各坐标轴的夹角为α，由方向余弦的性质得cos2α+cos2α+cos2α=1均与各坐标轴成等角．知识点解析：暂无解析34、求椭球面S：x2+y2+z2－yz－1=0上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与Oxy平面垂直．标准答案：椭球面S上点(x，y，z)处的法向量n={2x，2y一z，2z—y}．点(x，y，z)处切平面⊥Oxy平面，则n.k=0，即2z—y=0．又(x，y，z)在S上x2+y2+z2一yz一1=0．因此所求点的轨迹：它是圆柱面x2+y2=1与平面2z—y=0的交线．知识点解析：暂无解析35、过球面x2+y2+z2=169上点M(3，4，12)分别作垂直于x轴与y轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程．标准答案：过M点分别与x、y轴垂直的平面是x=3与y=4，与球面的截线它们的交点是M1(3，4，12)，M2(3，4，一12)．Г1在M1的切向量T=={0，2z，－2y}M1={0，24，－8}=8{0，3，－1}，Г2在M1的切向量T=={一2z，0，2X}M1={一24，0，6}=6{一4，0，1}．Г1，Г2在M1点的切线方程分别为过这两条切线的平面方程是=0，即3(X一3)+4(y一4)+12(z一12)=0．又Г1在M2的切向量T=={0，2z，一2y}M2={0，一24，一8}=8{0，一3，一1}，Г2在M2的切向量T={一2z，0，2x}M2={24，0，6}=6{4，0，1}．Г1，Г2在M2点的切线方程分别为过两条切线的平面方程是=0，即3(x一3)+4(y一4)一12(z+12)=0．知识点解析：暂无解析36、设a，b，c＞0，在椭球面=1的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小．标准答案：写出椭球面上点(x，y，z)处的切平面方程，然后求出它在三条坐标轴上的截距，由此可写出四面体的体积表达式V(x，y，z)．问题化为求V(x，y，z)在条件=1下的最小值点．将椭球面方程改写成G(x，y，z)≡－1=0．椭球面第一卦限部分上点(x，y，z)处的切平面方程是其中(x，y，Z)为切平面上任意点的坐标．分别令Y=Z=0，Z=X=0，X=Y=0，得该切平面与三条坐标轴的交点分别为四面体的体积为V(x，y，z)=为了简化计算，问题转化成求V0=xyz(x＞0，y＞0，z＞0)在条件=1下的最大值点．令F(x，y，z，λ)=xyz+λ，求解方程组将方程①，②，③分别乘x，y，z得代入方程④得x=因实际问题存在最小值，因此椭球面上点(x，y，z)=处相应的四面体的体积最小．知识点解析：暂无解析37、若函数f(x，y)对任意正实数t，满足f(tx，ty)=tn(x，y)，(*)称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数(**)标准答案：设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得f(tx，ty)=tnf(x，y)(t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得令t=1，则x(x，y)=nf(x，y)．现设上式成立．考察φ(t)=t＞0)，由复合函数求导法则可得即φ(t)为常数，φ(t)=φ(1)=f(x，y)，即f(tx，ty)=tnf(x，y)．知识点解析：将题设等式(*)对t求导，由(*)可导出题设等式(**)．而由(**)导出(*)，即证对t＞0为常数，亦即证=0，其中关键是应用复合函数求导法则．考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、A、A－1P1P2B、P1A－1P2C、P1P2A－1D、P2A－1P1标准答案：C知识点解析：B＝AE14E23或B＝AE23E14即B＝AP1P2或B＝AP2P1，所以B－1＝P2－1P1－1A－1或B－1＝P1－1P2－1A－1，注意到Eij－1＝Eij，于是B－1＝P2P1A－1或B－1＝P1P2A－1，选(C)．2、设，Q为三阶非零矩阵，且PQ＝0，则()．A、当t＝6时，r(Q)＝1B、当t＝6时，r(Q)＝2C、当t≠6时，r(Q)＝1D、当t≠6时，r(Q)＝2标准答案：C知识点解析：因为Q≠0，所以r(Q)≥1，又由PQ＝0得r(P)＋r(Q)≤3，当t≠6时，r(P)≥