考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷1（共276题）

考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷1（共9套）（共276题）考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设则f(χ)在点χ＝0处【】A、极限不存在．B、极限存在但不连续．C、连续但不可导．D、可导．标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设，则在点χ＝1处【】A、不连续．B、连续但不可导．C、可导但导数不连续．D、可导且导数连续．标准答案：B知识点解析：暂无解析3、设f(0)＝0，则f(χ)在点χ＝0可导的充要条件为【】A、f(1－cosh)存在．B、f(1－eh)存在．C、f(h－sinh)存在．D、[f(2h)－f(h)]存在．标准答案：B知识点解析：暂无解析4、若f(1＋χ)＝af(χ)总成立，且f′(0)＝b．(a，b为非零常数)则f(χ)在χ＝1处【】A、不可导．B、可导且f′(1)＝a．C、可导且f′(1)＝b．D、可导且f′(1)＝ab．标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设函数f(χ)在点χ－a处可导，则函数｜f(χ)｜在点χ＝a处不可导的充分条件是：【】A、f(a)＝0且f′(a)＝0．B、f(a)＝0，且f′(a)≠0．C、f(a)＞0，f′(a)＞0．D、f(a)＜0，且f′(a)＜0．标准答案：B知识点解析：暂无解析6、设f(χ)可导，且F(χ)＝f(χ)(1＋｜sinχ｜)，则f(0)＝0是F(χ)在χ＝0处可导的()条件．【】A、充分且必要．B、充分非必要．C、必要非充分．D、非充分非必要．标准答案：A知识点解析：暂无解析7、设f(χ)的导数在χ＝a处连续，又＝－2，则【】A、χ＝a是f(χ)的极小值点．B、χ＝a是f(χ)的极大值点．C、(a，f(a))是曲线y＝f(χ)的拐点．D、χ＝a不是f(χ)的极值点．标准答案：B知识点解析：暂无解析8、设y＝f(χ)满足f〞(χ)＋2f′(χ)＋＝0，且f′(χ0)＝0，f(χ)在【】A、χ0某邻域内单调增加．B、χ0某邻域内单调减少．C、χ0处取得极小值．D、χ0处取极大值．标准答案：D知识点解析：暂无解析9、设f(χ)有二阶连续导数，且f′(0)＝0，＝－1，则【】A、f(0)是f(χ)极小值．B、f(0)是f(χ)极大值．C、(0，f(0)是曲线y＝f(χ)的拐点．D、f(0)不是f(χ)的极值，(0，f(0))也不是曲线y＝f(χ)的拐点．标准答案：B知识点解析：暂无解析10、曲线y＝(常数a≠0)(－∞＜χ＜＋∞)【】A、没有渐近线．B、只有一条渐近线．C、有两条渐近线．D、是否有渐近线与a有关．标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)11、设f′(3)＝2．则＝_______．标准答案：－3知识点解析：暂无解析12、设f′(a)＝b，f(a)＝1，则＝_______．标准答案：eb知识点解析：暂无解析13、设f(χ)连续，且f(1＋χ)－3f(1－χ)＝8χ(1＋｜χ｜)，则f′(1)＝_______．标准答案：2知识点解析：暂无解析14、设f′(1)＝2，存在，则＝_______．标准答案：－2知识点解析：暂无解析15、设函数y＝y(χ)由方程ln(χ2＋y2)＝ysinχ＋χ所确定，则＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析16、设，其f(χ)可导且f′≠0，则＝_______．标准答案：3知识点解析：暂无解析17、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析18、已知＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(χ)＝χ(χ－1)(χ－2)…(χ－n)，则f′(0)＝_______，f(n+1)(χ)＝_______．标准答案：(－1)nn!，(n＋1)!知识点解析：暂无解析20、设y＝y(χ)由y＝tan(χ＋y)所确定，试求y′＝_______，y〞＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数y＝y(χ)由方程χsiny－eχ＋ey＝0所确定，求＝_______．标准答案：－2知识点解析：暂无解析22、设y＝y(χ)由所确定，求＝_______＝_______．标准答案：，2(t－1)(t2＋1)知识点解析：暂无解析23、设y＝y(χ)由所确定，求＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(χ)＝，求f(n)(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设ysin4χ＋cosχ4，求y(n)＝_______．标准答案：－4n-1sin(4χ＋(n－1))知识点解析：暂无解析26、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求极限＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析29、在半径为A的球中内接一正圆锥，试求圆锥的最大体积为＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0处可导，则必有()A、f(0)=0B、f(0)=0C、f(0)+f’(0)=0D、f(0)一f’(0)=0标准答案：A知识点解析：由于2、设函数f(x)在区间(一δ，δ)内有定义，若当x∈(一δ，δ)时，恒有｜f(x)｜≤x2，则x=0必是f(x)的()A、间断点B、连续，但不可导的点C、可导的点，且f’(0)=0D、可导的点，且f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：由题意可知f(0)=0，=0，故f’(0)=0．3、设f(x)=f(一x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f"(x)＜0，则f(x)在(一∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是()A、单调增，凸B、单调减，凸C、单调增，凹D、单调减，凹标准答案：B知识点解析：当x＞0时，f’(x)＞0→f(x)在(0，+∞)内单调增；f"(x)＜0→f(x)在(0，+∞)内为凸曲线．由f(x)=f(一x)→f(x)关于y轴对称→f(x)在(一∞，0)内单调减，为凸曲线，选(B)．4、设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：用洛必达法则，=f’(0)≠0，所以k=3，选(C)．其中①F’(x)=[x2∫0xf(f)dt一∫0xt2f(t)dt]’=2x∫0xf(t)dt；②洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为=f’(0)存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立．5、设g(x)在x=0处二阶可导，且g(0)=g’(0)=0，设则f(x)在x=0处()A、不连续B、连续，但不可导C、可导，但导函数不连续D、可导且导函数连续标准答案：D知识点解析：所以导函数在x=0处连续．6、曲线y=，当x→∞时，它有斜渐近线()A、y=x+1B、y=一x+1C、y=一x一1D、y=x一1标准答案：C知识点解析：因此有斜渐近线y=一x一1，应选(C)．7、当x＞0时，曲线y=xsin()A、有且仅有水平渐近线B、有且仅有铅直渐近线C、既有水平渐近线，也有铅直渐近线D、既无水平渐近线，也无铅直渐近线标准答案：A知识点解析：=1，由渐近线的求法可得正确选项．8、曲线y=()A、没有渐近线B、仅有水平渐近线C、仅有铅直渐近线D、既有水平渐近线，也有铅直渐近线标准答案：D知识点解析：=+∞，由渐近线的求法可得正确选项．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设y=则y’=___________．标准答案：知识点解析：10、设y=ln(1+3一x)，则dy=___________．标准答案：知识点解析：复合函数求导y’=[ln(1+3一x)]’=一11、设函数y=y(x)由方程ex+y+y+cosxy=0确定，则=___________．标准答案：知识点解析：方程两边同时对x求导，可得12、设=___________．标准答案：3知识点解析：13、=___________．标准答案：cost2dt一2x2cosx4知识点解析：=cost2dt一2x2．cosx4．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)14、设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n一1)，f(n)(x0)≠0(n＞2)，证明：当n为奇数时，(x，f(x0))为拐点．标准答案：n为奇数，令n=2k+1，构造极限但x→x0+时，f"(x)＞0；x→x0一时，f"(x)＜0，故(x0，f(x0))为拐点．知识点解析：暂无解析15、求函数f(x)=nx(1一x)n在[0，1]上的最大值M(n)及(n)．标准答案：容易求得f’(x)=n[1一(n+1)x](1一x)n一1，f"(x)=n2[(n+1)x一2](1一x)n一2．知识点解析：暂无解析16、求曲线y=ex上的最大曲率及其曲率圆方程．标准答案：由y’=ex，y"=ex得曲线y=ex上任意点P(x，y)处的曲率知识点解析：暂无解析17、设一质点在单位时间内由点A从静止开始作直线运动至点B停止，两点A，B间距离为1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于4．标准答案：设质点运动的距离y关于时间t的函数为y=y(t)，0≤t≤1，则有y(0)=0，y(1)=1，y’(0)=0，y’(1)=0．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，试证：在[a，b]内存在ξ，使得f(ξ)=．标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．m≤f(x1)≤M，①m≤f(x2)≤M，②……m≤f(xn)≤M，(n)①+②+…+(n)→mn≤f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤nM，知识点解析：暂无解析19、设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f"(ξ)=3．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．标准答案：函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，m≤≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得f(η)==1，于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3)(0，3)，使f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析21、设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：(1)在(a，b)内，g(x)≠0；(2)在(a，b)内至少存在一点ξ，使．标准答案：(1)设c∈(a，b)，g(C)=0．由g(a)=g(C)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g’(x)在[ξ1，ξ2]上运用罗尔定理，可得g"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(C)≠0．(2)F(x)=f(x)g’(x)一f’(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理，F(a)=0，F(b)=0．故．知识点解析：暂无解析22、在区间[0，a]上｜f"(x)｜≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．标准答案：f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f’(C)=0．f’(x)在[0，c]与[c，a]之间分别使用拉格朗日中值定理，f’(C)一f’(0)=cf"(ξ1)，ξ1∈(0，c)，f’(a)一f’(C)一(a一c)f"(ξ2)，ξ2∈(c，a)，所以｜f’(0)｜+｜f’(a)｜=c｜f"(ξ1)｜+(a一c)｜f"(ξ2)｜≤cM+(a一c)M=aM．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：ξ∈(1，2)，使f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．标准答案：把所证等式ξ改为x，得xf’(x)一f(x)=f(2)一2f(1)，F(2)=F(1)=f(2)一f(1)．由罗尔定理，ξ∈(1，2)，使F’(ξ)=0，即f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．知识点解析：暂无解析24、f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0．证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设=1，且f"(x)＞0，证明：f(x)＞x．标准答案：因=1，得f(0)=0，f’(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，f(x)=f(0)+f’(0)x+≤(ξ介于0与x之间)．因f"(x)＞0，故f(x)＞x，原命题得证．知识点解析：暂无解析26、设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0，证明：ξ∈(a，b)，使f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．标准答案：令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式．F(x)=F(a)+F’(a)(x一a)+F"(ξ)(x一a)2(a＜ξ＜x)．①令x=b，代入①式，则F(b)=F(a)+F’(a)(b一a)+F"(ξ)(b一a)。(a＜ξ＜b)．②因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F’(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f’(ξ)g’(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)=f’(b)=0，证明：ξ∈(a，b)，使｜f"(ξ)｜≥｜f(b)一f(a)｜。标准答案：将f(x)在x=a，x=b展开泰勒公式．故原命题得证．知识点解析：暂无解析28、设f(x)=arcsinx，ξ为f(x)在闭区间[0，t]上拉格朗日中值定理的中值点，0＜t＜1，求极限．标准答案：因f(x)=arcsinx在[0，t]上连续，在(0，r)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得知识点解析：暂无解析29、若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(z)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．标准答案：令u(n一1)(x)=φ(n一1)(x)一ψ(n一1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)=u(n)(ξ)．(x一x0)，x0＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)＞0，且u(n一1)(x0)=0，所以u(n一1)(x)＞0，即当x＞x0时，φ(n一1)(x)＞ψ(n一1)(x)．同理u(n一2)(x)=φ(n一2)(x)一ψ(n一2)(x)＞0．归纳有u(n一3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．知识点解析：暂无解析30、设函数f(x)在(a，b)内存在二阶导数，且f"(x)＜0．试证：(1)若x0∈(a，b)，则对于(a，b)内的任何x，有f(x0)≥f(x)一f(x0)(x—x0)，当且仅当x=x0时等号成立；(2)若x1，x2，…，xn∈(a，b)，且xi＜xi+1(i=1，2，…，n一1)，则，其中常数ki＞0(i=1，2，…，n)且∑ki=1．标准答案：(1)将f(x)在x0点泰勒展开，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x一x0)+(x一x0)2，ξ在x0与x之间．由已知f"(x)＜0，x∈(a，b)得(x一x0)2≤0(当且仅当x=x0时等号成立)于是f(x)≤f(x0)+f’(x0)(x一x0)，即f(x0)≥f(x)一f’(x0)(x—x0)(当且仅当x=x0时等号成立)．(2)因为x1=∈(a，b)．取x0=，对xi(i=1，2，…，n)利用(1)的结果有f(x0)≥f(xi)一f(x0)(xi一x0)，i=1，2，…，n，当且仅当xi=x0时等号成立．而x0≠x1且x0≠xn，将上面各式分别乘以ki(i=1，2，…，n)后再求和，有知识点解析：暂无解析31、若x＞一1，证明：当0＜α＜1时，有(1+x)α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．标准答案：令f(x)=(1+x)α则有f’(x)=α(1+x)α一1，f"(x)=α(α—1)(1+x)α一2，由f(x)的泰勒展开式f(x)=f(0)+f(0)x+，ξ∈(0，1)，可知当x＞一1，0＜α＜1时，α(α一1)＜0，1+ξ＞0．故＜0，所以f(x)α＜1+αx．同理可证当x＞一1，α＜0或α＞1时，有(1+x)α＞1+αx．知识点解析：暂无解析32、求证：当x＞0时，有不等式arctanx+．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫ab|x一t|ψ(t)dt的图形()A、在(a，b)内为凸B、在(a，b)内为凹C、在(a，b)内有拐点D、在(a，b)内有间断点标准答案：B知识点解析：先将φ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有φ(x)=∫ax(x一t)ψ(t)dt+∫xb(t一x)ψ(t)dt=s∫axψ(t)dt一∫axtψ(t)dt+∫xbtψ(t)dt—x∫xbψ(t)dt．因为ψ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．为讨论其余三个选项，只需求出φ"(x)，讨论φ"(x)在(a，b)内的符号即可．因φ’(x)=∫axψ(t)dt一∫xbψ(t)dt，φ"(x)=2ψ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=φ(x)的图形为凹．直选(B)．2、f(x)=F(x)=∫-1xf(t)dt，则()A、F(x)为f(x)的一个原函数B、F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函数C、F(x)在(一∞，+∞)上不连续D、F(x)在(一∞，+∞)上连续，但不是f(x)的原函数标准答案：D知识点解析：请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得所以F’+(0)≠F’-(0)．根据原函数定义，F(x)不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函数．请考生看看，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于f(x)有第一类间断点，所以F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D)．3、则在(一∞，+∞)内，下列正确的是()A、f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为f(x)的原函数B、f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C、f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D、f(x)连续，且F’(x)=f(x)标准答案：A知识点解析：可以验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为：故x=0为f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数．通过计算故F(x)可微．即F’(x)=f(x)，故(A)正确．4、设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)()A、为正常数B、为负常数C、恒为零D、不为常数标准答案：A知识点解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以又esinxcos2x≥0，故选(A)．5、设f(x)是以l为周期的周期函数，则∫a+kla+(k+l)lf(x)dx之值()A、仅与a有关B、仅与a无关C、与a及k都无关D、与a及k都有关标准答案：C知识点解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以∫a+kla+(k+1)lf(x)dx=∫kl(k+1)lf(x)dx=∫0lf(x)dx，故此积分与a及k都无关．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)6、∫0+∞xe-xdx=_________．标准答案：1知识点解析：原积分=一∫0+∞xde-x=xe-x|0+∞+∫0+∞e-xdx=∫0+∞e-xdx=一e-x|0+∞=1．7、设f(x)连续，则(∫0x[sin2∫0tf(u)du]dt)=_________标准答案：sin2∫0xf(u)du知识点解析：∫0x[sin2∫0tf(u)du]dt是形如∫0xφ(t)dt形式的变上限积分，由8、设两曲线y=f(x)与y=∫0arctanx在点(0，0)处有相同的切线，则=________标准答案：2知识点解析：由已知条件知f(0)=0，f’(0)==1，故得9、标准答案：0知识点解析：显然积分难以积出．考虑积分中值定理，其中ξx介于a，a+a之间．所以10、设f(x)是连续函数，且f(t)dt=x，则f(7)=______．标准答案：知识点解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得f(x3一1).3x2=1，f(x3一1)=令x=2，即得f(7)=11、设f(3x+1)=则∫01f(x)dx=_______．标准答案：知识点解析：令3x+1=t，所以12、设=∫-∞atetdt，则a=__________．标准答案：2知识点解析：所以ea=(a一1)ea，a=2．13、设是f(x)的一个原函数，则∫1exf’(x)dx=__________．标准答案：知识点解析：∫1exf’(x)dx=∫1exdf(x)=[xf(x)]|1e一∫1ef(x)dx．14、标准答案：ln3知识点解析：三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)15、已知I(α)=求积分∫-32I(α)dα．标准答案：(1)当α≠0，±1时，(2)当α=1时，(3)当α=一1时，(4)当α=0时，I(α)=∫0πsinxdx=2．综上，知识点解析：暂无解析16、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析17、求不定积分∫(arcsinx)2dx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值·标准答案：令u=2x一t，则t=2x一u，dt=一du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x一t)dt=一∫2xx(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du一∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du—∫x2xuf(u)du=arctanx2，两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一[2xf(2x).2一xf(x)]=，知识点解析：暂无解析19、设f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续，试证明：标准答案：由条件f"(x)＞0，想到将f(x)在某x0处展成拉格朗日余项泰勒公式，然后丢弃f"(ξ)得到一个不等式以处理之．由泰勒公式f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f"(ξ)(x—x0)2≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，ξ介于x与x0之间．以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分，其中暂设a＞0，于是有∫0af(u(t))dt≥af(x0)+f’(x0)(∫0au(t)dt-x0a)．若a＜0，则有∫0af(u(t))dt≤af(x0)+f’(x0)(∫0au(t)dt-x0a)．知识点解析：暂无解析20、设f(x)在闭区间[a，b]上具有连续的二阶导数，且f(a)=f(b)=0，当x∈(a，b)时，f(x)≠0．试证明：标准答案：取x0∈(a，b)如分析中所说，有在区间[a，x0]与[x0，b]上对f(x)分别用拉格朗日中值公式，有记ψ(x)=(b-x)(x-a)=-x2+(a+b)x一ab，a＜x＜b．max{ψ(x)}=所以知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=1．试证明：(1)存在x1∈[0，1]使得|f(x1)|＞4；(2)存在x2∈[0，1]使得|f(x2)|=4．标准答案：(1)若|f(x)|≡M，由f(x)的连续性知要么f(x)≡M，要么f(x)≡一M均与∫01f(x)dx=0不符．故必存在x0∈[0，1]使|f(x0)|＜M所以从而知M＞4．由于|f(x)|在[0，1]上连续，故至少存在一点x1∈[0，1]使|f(x1)|=M＞4．(2)若对一切x∈[0，1]均有|f(x)|＞4．由连续性知，要么一切x∈[0，1]均有f(x)＞4，要么f(x)＜一4．均与∫01f(x)dx=0不符．故知至少存在一点x3∈[0，1]使|f(x3)|＜4，从而知存在x2∈[0，1]使|f(x2)|=4．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上存在二阶导数．试证明：存在ξ，η∈(a，b)，使标准答案：将∫abf(t)dt看成变限函数，用泰勒公式，设法消去式中不出现的项即可．(1)令将φ(x)在x=x0处展开成泰勒公式至n=2，有因f(x)在[a，b]上存在二阶导数，(f"(ξ1)+f"(ξ2))介于f"(ξ1)与f"(ξ2)之间，故知存在ξ∈[ξ1，ξ2](或ξ∈[ξ2，ξ1])使于是知存在ξ∈(a，b)使(2)用常数k值法，令有F(a)=0，F(b)=0，所以存在η1∈(a，b)使F’(η1)=0，即化简为f(η)一f(a)一f’(η1)(η1一a)一6K(η1一a)2=0.又由泰勒公式有f(a)=f(η1)+f’(η1)(a一η1)+f"(η)(a一η1)2，a＜η＜η1．由上述两式即可得，存在η∈(a，b)使即(2)成立．知识点解析：暂无解析23、(1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和，并求出此常数k；(2)求(1)中的(3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求标准答案：(1)证明能取到常数k使∫0xf(t)dt一kx为周期T即可．(1)得到的表达式去求即可得(2)．但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非f(x)恒为常数．对于(3)，由于g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的[注])．由于g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得．(1)令φ(x)=∫0xf(t)dt—kx，考察ψ(x+T)一ψ(x)=∫0x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫0xf(t)dt+kx=∫0Tf(t)dt+∫Tx+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt—kT．对于其中的第二个积分，作积分变量代换，命t=u+T，有∫Tx+Tf(t)dt=∫0xf(u+T)du=∫0xf(u)du，①于是ψ(x+T)-ψ(x)=∫0Tf(t)dt一kT可见，ψ(x)为T周期函数的充要条件是即证明了∫0xf(t)dt可以表示成其中ψ(x)为某一周期T的函数．(2)由(1)，因ψ(x)为连续的周期函数，故ψ(x)在(一∞，+∞)上有界，从而(3)设n≤x＜n+1，由n≤x＜n+1，有由夹逼定理知知识点解析：暂无解析24、设在区间[e，e2]上，数p，q满足条件px+q≥lnx，求使得积分I(p，q)=(px+q—lnx)dx取得最小值的p，q的值．标准答案：要使最小，直线y=px+q应与曲线y=lnx相切，从而可得到p，q的关系，消去一个参数．通过积分求出I(p)后再用微分方法求I(p)的极值点p0，然后再求出q的值．或将p，q都表示成另一个参数t的函数形式，求出I(t)的极值点后，再求出p，q的值．设直线y=px+q与曲线y=lnx相切于点(t，lnt)，则有知识点解析：暂无解析25、设f(x)在区间[1，+∞)上单调减少且非负的连续函数一∫0nf(x)dx(n=1，2，…)．(1)证明：(2)证明：反常积分∫1+∞f(x)dx与无穷级数同敛散．标准答案：(1)由f(x)单调减少，故当k≤x≤k+1时，f(k+1)≤f(x)≤f(k)．两边从k到k+1积分，得∫kk+1f(k+1)dx≤∫kk+1f(x)dx≤∫kk+1f(k)dx，即f(k+1)≤∫kk+1f(x)dx≤f(k)．即{an}有下界．又an+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx≤0，即数列{an}单调减少，所以存在．(2)由于f(x)非负，所以∫1xf(t)dt为x的单调增加函数．当n≤x≤n+1时，∫1nf(t)dt≤∫1xf(t)dt≤∫1n+1f(t)dt，所以知识点解析：暂无解析26、设xOy平面上有正方形D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1)及直线l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积，试求∫0xS(t)dt(x≥0)．标准答案：由题设知所以，当1＜x≤2时，∫0xS(t)dt=∫1xS(t)dt+∫1xS(t)dt=当x＞2时，∫0xS(t)dt=∫02S(t)dt+∫2xS(t)dt=x一1．因此，∫0xS(t)dt=知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，+∞)上连续，0＜a＜b，且收敛，其中常数A＞0．试证明：标准答案：知识点解析：暂无解析28、求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成图形的面积最小．标准答案：又S"(1)＞0，故t=1时，S取最小值，此时l的方程为知识点解析：暂无解析29、设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0，x=π，y=0所围成的曲边梯形，求D绕z轴旋转一周所围成的旋转体的体积．标准答案：V=π∫0π(sinx+1)2dx=知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设．则在x=a处()A、f(x)的导数存在，且f’(a)≠0．B、f(x)取得极大值．C、f(x)取得极小值．D、f(x)的导数不存在．标准答案：B知识点解析：利用赋值法求解．取f(x)一f(a)=一(x一a)2，显然满足题设条件，而此时f(x)为一开口向下的抛物线，必在其顶点x=a处取得极大值，故选B．2、设f(x)具有二阶连续导数，且，则()A、f(1)是f(x)的极大值．B、f(1)是f(x)的极小值．C、(1,f(1))是曲线f(x)的拐点坐标．D、f(1)不是f(x)的极值，(1,f(1))也不是曲线f(x)的拐点坐标．标准答案：B知识点解析：选取特殊f(x)满足:则f(x)满足题中条件，且f(x)在x=1处取极小值，而其余均不正确．故选B．3、设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是()A、若存在，则f(0)=0．B、若存在，则f(0)=0．C、若存在，则f’(0)存在．D、若存在，则f’(0)存在．标准答案：D知识点解析：本题主要考查的是可导的极限定义及连续与可导的关系．由于已知条件中含有抽象函数，因此本题最简便的方法是用赋值法，可以选取符合题设条件的特殊函数f(x)判断．取特殊函数f(x)=｜x｜，则但f(x)在x=0不可导，故选D．4、设f(x)在[a，b]可导，则()A、f’+(a)=0．B、f’+(a)≥0．C、f’+(a)<0．D、f’+(a)≤0．标准答案：D知识点解析：由导数定义及题设得，故选D．5、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f(x)＞0，则不等式成立的条件是()A、f’(x)＞0,f’’(x)＜0．B、f’(x)＜0,f’’(x)＞0．C、f’(x)＞0,f’’(x)＞0．D、f’(x)＜0,f’’(x)＜0．标准答案：C知识点解析：不等式的几何意义是：矩形面积＜曲边梯形面积＜梯形面积，要使上面不等式成立，需要过点(a,f(a))平行于x轴的直线在曲线y=f(x)的下方，连接点(a,f(a))和点(b,f(b))的直线在曲线y=f(x)的上方(如图2—3)．当曲线y=f(x)在[a，b]是单调上升且是凹时有此性质．于是当f’(x)＞0,f’’(x)＞0成立时，上述条件成立，故选C．6、设f(x)=3x3+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：由于3x3任意阶可导，本题实质上是考查分段函数x2｜x｜在x=0处的最高阶导数的存在性．事实上，由可立即看出f(x)在x=0处的二阶导数为零，三阶导数不存在，故选C．7、设f(x)在(一∞，+∞)可导，x0≠0，(x0,f(x0))是y=f(x)的拐点，则()A、x0必是f’(x)的驻点．B、(一x0，一f(x0))必是y=一f(一x)的拐点．C、(一x0，一f(一x0))必是y=-f(x)的拐点．D、对任意x＞x0与x＜x0，y=f(x)的凸凹性相反．标准答案：B知识点解析：从几何上分析，y=f(x)与y=一f(一x)的图形关于原点对称．x0≠0，(x0,f(x0))是y=f(x)的拐点，则(一x0，一f(x0))是y=一f(一x)的拐点．故选B．8、设函数f(x)=｜x3一1｜φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的()A、充分必要条件．B、必要但非充分条件．C、充分但非必要条件．D、既非充分也非必要条件．标准答案：A知识点解析：由于且由函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件为f-’(1)=f+’(1)，可得一3φ(1)=3φ(1)，即φ(1)=0，故选A．9、设函数f(x)在(一∞，+∞)上有定义，则下述命题中正确的是()A、若f(x)在(一∞，+∞)上可导且单调增加，则对一切x∈(一∞，+∞)，都有f’(x)＞0．B、若f(x)在点x0处取得极值，则f’(x0)=0．C、若f’’(x0)=0，则(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点坐标．D、若f’(x0)=0,f’’(x0)=0,f’’’(x0)≠0，则x0一定不是f(x)的极值点．标准答案：D知识点解析：若在(一∞，+∞)上f’(x)＞0，则一定有f(x)在(一∞，+∞)上单调增加，但可导函数f(x)在(一∞，+∞)上单调增加，可能有f’(x)≥0．例如f(x)=x3在(一∞，+∞)上单调增加，f’(0)=0．故不选A．f(x)若在x0处取得极值，且f’(x0)存在，则有f’(x0)=0，但当f(x)在x0处取得极值，在x0处不可导，就得不到f’(x0)=0，例如f(x)=｜x｜在x0=0处取得极小值，它在x0=0处不可导，故不选B．如果f(x)在x0处二阶导数存在，且(x0,f(x0))是曲线的拐点坐标，则f’’(x0)=0，反之不一定，例如f(x)=x4在x0=0处f’’(0)=0，但f(x)在(一∞，+∞)没有拐点，故不选C．由此选D．10、已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且则在点x=0处f(x)()A、不可导．B、可导且f’(0)≠0．C、取得极大值．D、取得极小值．标准答案：D知识点解析：因当x→0时，从而可取f(x)=x2，显然满足题设条件．而f(x)=x2在x=0处取得极小值，故选D．11、设[0，4]区间上y=f(x)的导函数的图形如图2—1所示，则f(x)()A、在[0，2]单调上升且为凸的，在[2，4]单调下降且为凹的．B、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凹的，[2，4]是凸的．C、在[0，1]，[3，4]单调下降，在[1，3]单调上升，在[0，2]是凸的，[2，4]是凹的．D、在[0，2]单调上升且为凹的，在[2，4]单调下降且为凸的．标准答案：B知识点解析：当x∈(0，1)或(3，4)时f’(x)＜0，那么f(x)在[0，1]，[3，4]单调下降．当x∈(1，3)时f’(x)＞0，那么f(x)在[1，3]单调上升．又f’(x)在[0，2]单调上升，那么f(x)在[0，2]是凹的．f’(x)在[2，4]单调下降，那么f(x)在[2，4]是凸的．故选B．12、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，则f(0)=0是．F(x)在x=0处可导的()A、充分必要条件．B、充分条件但非必要条件．C、必要条件但非充分条件．D、既非充分条件也非必要条件．标准答案：A知识点解析：令φ(x)=f(x)｜sinx｜，显然φ(0)=0．由于而由φ(x)在x=0处可导的充分必要条件是φ+’(0)与φ+’(0)都存在且相等可知，若f(0)=0，则必有φ+’(0)=φ+’(0)；若φ+’(0)=一f(0)，即有f(0)=一f(0)，从而f(0)=0．因此f(0)=0是φ(x)在x=0处可导的充分必要条件，也是F(x)在x=0处可导的充分必要条件．故选A．13、曲线渐近线的条数为()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：D知识点解析：本题的解题思路是，先利用曲线渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后再分别判断．所以y=0是曲线的水平渐近线；所以x=0是曲线的垂直渐近线；所以y=x是曲线的斜渐近线．故选D．14、设f(x)有二阶连续导数，且则()A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：B知识点解析：根据极限的保号性，由可知，存在x=0的某邻域UR(0)，使对任意x∈Uδ(0)，都有即f’’(x)＞0．从而函数f’(x)在该邻域内单调增加．于是当x＜0时，有f’(x)＜f’(0)=0；当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0，由极值的第一判定定理可知f(x)在x=0处取得极小值．故选B．15、曲线()A、既有垂直又有水平与斜渐近线．B、仅有垂直渐近线．C、只有垂直与水平渐近线．D、只有垂直与斜渐近线．标准答案：A知识点解析：函数y的定义域为(一∞，一3)∪[0，+∞)，且只有间断点x=一3，又，所以x=一3是曲线的垂直渐近线．x＞0时，因此是曲线的斜渐近线(x→一∞)．故选A．16、设函数f(x)满足关系式f’’(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则()A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点．D、f(0)不是f(x)的极值，(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：C知识点解析：在题设等式两端对x求导，得f’’(x)+2f’(x)f’’(x)=1．令x=0，可得f’’’(0)=1(因由上式可推得f’’’(x)连续)．又f’’(0)=0，由拐点的充分条件可知，(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点．故选C．17、设，则()A、f(x)在[1，+∞)单调增加．B、f(x)在[1，+∞)单调减少．C、f(x)在[1，+∞)为常数．D、f(x)在[1，+∞)为常数0．标准答案：C知识点解析：按选项要求，先求f’(x)．又f(x)在[1，+∞)连续，则．故选C．18、设在[0，1]上f’’(x)＞0，则f’(0)f’(1)f(1)一f(0)或f(0)一f(1)的大小顺序是()A、f’(1)＞f’(0)>f(1)-f(0)．B、f’(1)＞f(1)一f(0)＞f’(0)．C、f(1)一f(0)＞f’(1)＞f’(0)．D、f’(1)＞f(0)一f(1)＞f’(0)．标准答案：B知识点解析：由已知f’’(x)＞0，x∈[0，1]，所以函数f’(x)在该区间内单调增加，又由拉格朗日定理，可得f(1)一f(0)=f’(ξ)，ξ∈(0，1)．因此有f’(0)＜f’(ξ)＜f’(1)，即f’(0)＜f(1)一f(0)＜f’(1)．故选B．19、设则()A、F(x)在x=0点不连续．B、F(x)在x=0点不可导．C、F(x)在x=0点可导，F’(0)=f(0)．D、F(x)在x=0点可导，但F’(0)≠f(0)．标准答案：B知识点解析：不必求出F(x).利用已知结论判断,设f(x)在[a，b]连续，则F(x)=∫x0xf(t)dt在[a，b]可导，且F’(x)=f(x)(x∈[a，b])，x0是[a，b]某定点．由于F+’(0)≠F-’(0)，所以F(x)在x=0不可导，故选B．20、设函数f(x)在(一∞，+∞)存在二阶导数，且f(x)=f(一x)，当x＜0时有f’(x)＜0，f’’(x)＞0，则当x＞0时，有()A、f’(x)＜0，f’’(x)＞0．B、f’(x)＞0，f’’(x)＜0．C、f’(x)＞0，f’’(x)＞0．D、f’(x)＜0，f’’(x)＜0．标准答案：C知识点解析：由f(x)=f(一x)可知,f(x)为偶函数，因偶函数的导数是奇函数，奇函数的导数是偶函数，即f’(x)为奇函数f’’(x)为偶函数，因此当x＜0时，有f’(x)＜0,f’’(x)＞0，则当x＞0时，有f’(x)＞0,f’’(x)＞0．故选C．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)21、曲线的斜渐近线方程为____________．标准答案：知识点解析：结合斜渐近线方程公式．因为22、设=____________．标准答案：知识点解析：先考查φ(x)的可导性并求导．φ(x)在x=0处的左导数为φ(x)在x=0处的右导数为所以φ’(0)=0．因此23、曲线的水平渐近线方程为_____________．标准答案：知识点解析：直接利用曲线的水平渐近线的定义求解．由于因此曲线的水平渐近线为24、曲线的斜渐近线方程为____________．标准答案：知识点解析：设所求斜渐近线方程为y=ax+b．因为所以所求斜渐近线方程为25、设y=sin4x，则y(n)=__________．标准答案：知识点解析：先将原式分解为26、曲线处的切线方程为___________．标准答案：知识点解析：在点在曲线方程两端分别对x求导，得因此，所求的切线方程为27、曲线的过原点的切线是__________．标准答案：x+25y=0与x+y=0知识点解析：显然原点(0，0)不在曲线上，首先需求出切点坐标．把(0，0)代入上式，得x0=一3或x0=一15．则斜率分别为所以切线方程为x+25y=0与x+y=0．28、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________．标准答案：y=x一1知识点解析：由题干可知，所求切线的斜率为1．由得x=1，则切点为(1，0)，故所求的切线方程为y—0=1.(x一1)，即y=x一1．29、曲线戈y=1在点D(1，1)处的曲率圆方程是_____________.标准答案：(x一2)2+(y一2)2=2知识点解析：由题干可知，三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)30、设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)f’(0)≠0，当h→0时，若af(h)+bf(2h)-f(0)=o(h)，试求a，b的值．标准答案：由题设条件知，知识点解析：暂无解析31、设e＜a＜b＜e2，证明.标准答案：知识点解析：暂无解析已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1．证明：32、存在ξ∈(0，1)，使得f(f)=1一ξ；标准答案：令F(x)=f(x)一1+x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1＜0，F(1)=1＞0，于是由介值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1一ξ．知识点解析：暂无解析33、存在两个不同的点η，ξ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ξ)=1．标准答案：在[0，ξ]和[ξ，1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使得知识点解析：暂无解析34、设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．标准答案：构造辅助函数F(x)=f(x)一g(x)，由题设有F(A)=F(B)=0．又f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1≤x2，x1，x2∈(a，b)使得若x1=x2，令c=x1，则F(C)=0．若x1＜x2，因F(x1)=g(x1)一g(x1)≥0，F(x1)=f(x2)一g(x2)≤0，从而存在c∈[x1，x2]c(a，b)，使F(C)=0．在区间[a，c]，[c，b]上分别利用罗尔定理知，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F’(ξ)=F’(ξ)=0．再对F’(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，知存在ξ∈(ξ1，ξ2)c(a，b)，有F’’(ξ)=0，即f’’(ξ)=g’’(ξ)．知识点解析：暂无解析35、(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b—a)．(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且，则f+’(0)存在，且f+’(0)=A．标准答案：(1)作辅助函数易验证φ(x)满足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点ξ，使φ’(ξ)=0，即所以f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)．(2)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在ξx0∈(0，x0)c(0，δ)，使得知识点解析：暂无解析36、设函数y=f(x)由参数方程所确定，其中ψ(t)具有二阶导数，且，求函数ψ(t).标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)在x=0的邻域内连续可导，g(x)在x=0的邻域内连续，且=0，又f’(x)=，则()．A、x=0是f(x)的极大值点B、x=0是f(x)的极小值点C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由=0得g(0)=g’(0)=0，f’(0)=0，f’’(x)=-4x+g(x)，f’’(0)=0，f’’’(x)=-4+g’(x)，f’’’(0)=-4＜0，因为，所以存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，从而当x∈(-δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0，选(C)．2、设f(x)二阶连续可导，且，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：因为f(x)二阶连续可导，且=0，即f’’(0)=0．又=-1＜0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，有＜0，即当x∈(-δ，0)时，f’’(x)＞0，当x∈(0，δ)时，f’’(x)＜0．所以(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，选(C)．3、设函数f(x)满足关系f’’(x)+f’2(x)=x，且f’(0)=0，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、(0，f(0))不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由f’(0)=0得f’’(0)=0，f’’’(x)=1-2f’(x)f’’(x)，f’’’(0)=1＞0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f’’’(x)＞0，再由’’(0)=0，得故(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点，选(C)．4、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x0二阶可导，则f’’(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．5、设f(x)在[a，+∞)上二阶可导，f(a)＜0，f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，则f(x)在(a，+∞)内的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：B知识点解析：因为f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+，其中ξ介于a与x之间．而，再由f(a)＜0得f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．又因为f’(a)=0，且f’’(x)≥k(k＞0)，所以f’(x)＞0(x＞a)，即f(x)在[a，+∞)单调增加，所以零点是唯一的，选(B)．6、设k＞0，则函数f(x)=的零点个数为()．A、0个B、1个C、2个D、3个标准答案：C知识点解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f’(x)=得x=e，当0＜x＜e时，f’(x)＞0；当x＞e时，f’(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又，于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、设f(x)=在x=1处可微，则a=________，b=________标准答案：2,-1知识点解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1-0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=-1．8、设F(x)=(x2-t2)f’(t)dt，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’(0)=________标准答案：知识点解析：F(x)=因为当x→0时，F’(x)～x2，所以9、设f(x)在(-∞，+∞)上可导，，则a=______标准答案：1知识点解析：，由f(x)-f(x-1)=f’(ξ)，其中ξ介于x-1与x之间，令x→∞，由=e2，即e2a=e2，所以a=1．10、设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=______标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+fy[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．11、曲线的斜渐近线为______标准答案：y=2x-4知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)12、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’+(a)f’-(b)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．标准答案：不妨设f’+(a)＞0，f’-(b)＜0，根据极限的保号性，由f’+(a)=＞0，则存在δ＞0(δ＜b-a)，当0＜x-a＜δ时，即f(x)＞f(a)，所以存在x1∈(a，b)，使得f(x1)＞f(a)．同理由f’-(6)＜0，存在x2∈(a，b)，使得f(x2)＞f(b)．因为f(x)在[a，b]上连续，且f(x1)＞f(a)，f(x2)＞f(b)，所以f(x)的最大值在(a，b)内取到，即存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)为f(x)在[a，b]上的最大值，故f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)=2．标准答案：方法一先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0，P(2)=f(2)=，P(1)=f(1)．则P(x)=令g(x)=f(x)-P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0知识点解析：暂无解析14、设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得标准答案：令h=，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n-1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn-1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn-1)=a+(n-1)h，再由微分中值定理，得f(c1)-f(a)=f’(ξ1)(c1-a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)-f(c1)=f’(ξ2)(c2-c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)-f(cn-1)=f’(ξn)(b-cn-1)，ξn∈(cn-1，b)，从而有知识点解析：暂无解析15、设函数y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ’’(y)．标准答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以φ’(y)=知识点解析：暂无解析16、设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且．证明：f’(x0)=M．标准答案：由微分中值定理得f(x)-f(x0)=f’(ξ)(x-x0)，其中ξ介于x0与x之间，则=M，即f’(x0)=M．知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)=标准答案：令φ(x)=(x-1)2f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ=(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x-1)f’(x)+(x-1)2f’’(x)，所以2(ξ-1)f’(ξ)+(ξ-1)2f’’(ξ)=0，整理得f’’(ξ)=知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a＞0，b＞0，存在ξ，η∈(0，1)，使得标准答案：因为f(x)在[0，1]上连续，f(0)-0，f(1)=1，且f(0)＜＜f(1)，所以由端点介值定理，存在c∈(0，1)，使得f(c)=由微分中值定理，存在ξ∈(0，c)，η∈(c，1)，使得知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：19、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；标准答案：令F(x)=，则F(a)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得=F(b)-F(a)=F’(c)(b-a)=f(f)(b-a)=0，即f(c)=0．知识点解析：暂无解析20、存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；标准答案：令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=(n)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知识点解析：暂无解析21、存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；标准答案：令φ(x)=e-x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e-x[f’’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析22、存在η∈(a，b)，使得f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0．标准答案：令g(x)=e-xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e-x[f’(x)-f(x)]且e-x≠0，所以f’(η1)-f(η1)=0，f’(η2)-f(η2)=0．令φ(x)=e-2x[f’(x)-f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e-2x[f(x)-3f’(x)+2f(x)]且e-2x≠0，所以f’’(η)-3f’(η)+2f(η)=0．知识点解析：暂无解析23、设a1＜a2＜…n，且函数f(x)在[a1，a2]上n阶可导，c∈[a1，a2]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得标准答案：当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．令k=构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在，φ’(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(n-1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，a2)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k，所以f(ξ)=n!k，从而有知识点解析：暂无解析24、设f(x)二阶连续可导，且f’’(x)≠0，又f(x+h)=f(x)+f’(x+θh)h(0＜θ＜1)．证明：标准答案：由泰勒公式得f(x+h)=f(x)+f’(x)h+，其中ξ介于x与x+h之间．由已知条件得f’(x+θh)h=f’(x)h+，或f’(x+θh)-f’(x)=两边同除以h，得知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=标准答案：因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)-f(0)=f’(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=知识点解析：暂无解析26、求的最大项．标准答案：令f(x)=(x≥1)，由f(x)=，令f’(x)=0得x=e．当x∈(0，e)时，f’(x)＞0；当x∈(e，+∞)时，f’(x)＜0，则x=e为f(x)的最大点，于是因为知识点解析：暂无解析27、设x3-3xy+y3=3确定隐函数y=y(x)，求y=y(x)的极值．标准答案：x3-3xy+y3=3两边对x求导得3x2-3y-3xy’+3y2y=0，因为y’’(-1)=1＞0，所以x=-1为极小点，极小值为y(-1)=1；因为知识点解析：暂无解析考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设函数f(x)在｜x｜＜δ内有定义且｜f(x)｜≤x3，则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0标准答案：B知识点解析：显然f(0)=0，且=0，所以f(x)在x=0处连续．又由｜f(x)｜≤x2得0≤≤｜x｜，根据夹逼定理得，即f’(0)=0，选(C)．2、设y=y(x)由x=确定，则f’’(0)等于()．A、2e2B、2e-2C、e2-1D、e-2-1标准答案：A知识点解析：当x=0时，由3、设函数f(x)=则在点x=0处f(x)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、导数连续标准答案：D知识点解析：因为=f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续；4、设f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设f(x)=，而f(x)在x=0处不可导，(A)不对；5、设f(x)｜x3-1｜g(x)，其中g(x)连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：C知识点解析：设g(1)=0，f’-(1)=.(x2+x+1)g(x)=0，因为f’-(1)=f’+(1)=0，所以f(x)在x=1处可导．设f(x)在x=1处可导，因为y’-(1)=f’+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0为f(x)在x=1处可导，应选(C)．6、设f(x)在x=0的某邻域内连续，若，则f(x)在x=0处()．A、不可导B、可导但f’(0)≠0C、取极大值D、取极小值标准答案：D知识点解析：由得f(0)=0，由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，，从而f(x)＞0=f(0)，由极值的定义得f(0)为极小值，应选(D)．7、设f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得()．A、f(x)在(0，δ)内单调增加B、f(x)在(-δ，0)内单调减少C、对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)D、对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)标准答案：D知识点解析：因为f’(0)=所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，当x∈(-δ，0)时，f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，f(x)＞f(0)，应选(D)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)8、设y=x5+5x-tan(x2+1)，则y’=________标准答案：5x4+5xln5-2xsec2(x2+1)．知识点解析：暂无解析9、设f(x)一阶可导，且f(0)=f’(0)=1，则=_________标准答案：2知识点解析：10、设f(x)在x=a处可导，则=_____标准答案：10f(a)f’(a)知识点解析：因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续，于是11、设f(x)二阶连续可导，且=______标准答案：知识点解析：由得f(0)=0，f’(0)=1，于是12、曲线在点(0，1)处的法线方程为__________标准答案：y=-2x+1．知识点解析：在点(0，1)处t=0，，则对应点处法线的斜率为-2，所以法线方程为y-1=-2(x-0)，即y=-2x+1．13、设f(x)=ln(2x2-x-1)，则f(n)(x)=________标准答案：知识点解析：f(x)=ln[2x+1)(x-1]=ln(2x+1)+ln(x-1)，f’(x)=14、y=ex在x=0处的曲率半径为R=_________标准答案：知识点解析：y’(0)=1，y’’(0)=1，则曲线y=ex在x=0处的曲率为三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)15、设f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中g’(a)存在，求f’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)=｜x-a｜g(x)，其中g(x)连续，讨论f’(a)的存在性．标准答案：由=-g(a)得f’(a)=-g(a)；由=g(a)得f’(a)=g(a)，当g(a)=0时，由f’-(a)=f’+(a)=0得f(x)在x=a处可导且f’(a)=0；当g(a)≠0时，由f’-(a)≠f’+(a)得f(x)在x=a处不可导．知识点解析：暂无解析17、设，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设y=，求y’．标准答案：由知识点解析：暂无解析19、设y=，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设，求y’．标