考研数学（数学三）模拟试卷2（共209题）

考研数学（数学三）模拟试卷2（共9套）（共209题）考研数学（数学三）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、连续可导标准答案：B知识点解析：因为f(0-0)=f(0)=f(0+0)=0．所以f(x)在x=0处连续．又因为不存在，所以f(x)在x=0处连续但不可导．选(B)．2、当x＞0时，f(lnx)=则∫-22xf’(x)dx，为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由f(lnx)=则∫-22xf’(x)dx=∫-22xdf(x)=xf(x)∫-22一∫-22f(x)dx=选(C)．3、设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+u2)du，g(x)=(1一cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、低阶无穷小C、高阶无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：则f(x)是g(x)的低阶无穷小，选(B)．4、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、连续但不可偏导B、可偏导但不连续C、连续、可偏导但不可微D、可微标准答案：C知识点解析：因为0≤|f(x，y)一0|=所以=0=f(0，0)，故f(x，y)在(0，0)处连续．，所以fx’(0，0)=0，同理fy’(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导．所以f(x．y)在(0，0)处不可微，选(C)．5、设A为m×n矩阵，以下命题正确的是()．A、若AX=0只有零解，则AX=b只有唯一解B、若AX=0有非零解，则AX=b有无数个解C、若r(A)=n则AX=b有唯一解D、若r(A)=m，则AX=b一定有解标准答案：D知识点解析：因为当r(A)=m时，则r(A)==m,于是若r(A)=m，则AX=b一定有解，选(D)．6、设A为三阶矩阵，其特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，其对应的线性无关的特征向量为α1，α2，α3，令P=(α1一α2，2α1+α2，4α3)，则P-1AP=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为α1，α2为λ1=λ2=1对应的线性无关的特征向量，所以α1一α2，2α1+α2仍为λ1=λ2=1对应的线性无关的特征向量，又4α3显然是λ3=2对应的线性无关的特征向量，故P-1AP=．应选(B)．7、设随机变量X～N(μ．σ2)，其分布函数为F(x)，又Y=F(X)，则P{Y≤}等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为X～N(μ，σ2)，所以F(x)=于是Y=F(X)=8、设X1，X2．…．X16为正态总体X～N(μ，4)的简单随机样本，设H0：μ=0，H1：μ≠0的拒绝域为，则犯第一类错误的概率为()．A、2φ(1)-1B、2—2φ(1)C、D、标准答案：B知识点解析：因为σ2=4已知，所以取检验统计量，犯第一类错误的概率选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、曲线在t=0对应点处的法线方程为_________．标准答案：知识点解析：当t=0时，x=3，y=1，10、差分方程yx+1一3yx=2.3x的通解为_____．标准答案：y(x)=A3x+2x3x-1知识点解析：齐次差分方程yx-1一3yx=0的通解为y=A3x，设差分方程yx+1一3yx=2．3x的特解为y0(x)=Cx3x，将y0(x)=Cx3x代入方程yx+1一3yx=2．3x得，故原差分方程的通解为y(x)=A3x+2x3x-1．11、设f有一阶连续的偏导数，则=______标准答案：2xf+2x3y(f1’+)知识点解析：=2xy(x2y，)，12、微分方程y"一3y’+2y=2ex满足的特解为______．标准答案：y=一3ex+3e2x-2xex．知识点解析：特征方程为λ2一3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，y"一3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x．令原方程的特解为y0(x)=Axex，代入原方程为A=-2，原方程的通解为y=C1ex+C2e2x一2xex由得y(0)=0，y’(0)=1，代入通解得C1=一3．C2=3，特解为y=一3ex+3e2x一2xex．13、已知三阶方阵A，B满足关系式E+B=AB，A的三个特征值分别为3，一3，0，则|B-1+2E|=______．标准答案：一8知识点解析：因为A的特征值为3．一3．0．所以A_-E的特征值为2，一4，一1，从而A—E可逆，由E+B=AB得(A—E)B=E，即B与A-E互为逆阵，则B的特征值为，B-1的特征值为2，一4，一1，从而B-1+2E的特征值为4，一2，1，于是|B-1+2E|=一8．14、设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，其中E(X)=μ，D(X)=σ2，令U=则ρUV=_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、计算二重积分|x2+y2一1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x，y≤1}。标准答案：令D1={(x，y)|x2+y2≤1,x≥0，y≥0}，D2=D＼D1，知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续可导，f(1)=0，∫01xf’(x)dx=2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．标准答案：由分部积分，得∫01xf’(x)dx=xf(x)|01-∫01f(x)dx=∫01f(x)dx=2，于是∫01f(x)dx=一2．由拉格朗日中值定理，得f(x)=f(x)-f(1)=f’(η)(x一1)，其中η∈(x，1)，f(x)=f’(η)(x一1)两边对x从0到1积分，得∫01f(x)dx=∫01f’(η)(x一1)dx=一2．因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(x一1)≤f’(η)(x-1)≤m(x—1)两边对x从0到1积分，得即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=4．知识点解析：暂无解析17、设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y分别为两种生产要素的投入量，Q为产品的产量，设生产函数Q=2xαyβ，其中α＞0，β＞0且α+β=1．设两种生产要素的价格分别为p1及p2，问当产量为12时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?标准答案：投入费用函数为C=p1x+p2y，令F(x，y，λ)=p1x+p2y+λ(2xαyβ一12)，知识点解析：暂无解析18、求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数，并求标准答案：得收敛半径为R=1．当|x|＜1时，幂级数绝对收敛；当|x|＞1时，幂级数发散，当x=±1时，因为为收敛的交错级数，故幂级数的收敛域为[一1，1]．因为S1(0)=0，所以S1(x)=S1(x)一S1(0)=∫0xS1’(x)dx=arctanx，故S(x)=xarctanx(-1≤x≤1)．知识点解析：暂无解析19、当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状，若它在进入大气层开始燃烧的前3s内，减少了体积的，问此陨石完全燃尽需要多少时间?标准答案：设陨石体积为V，表面积为S，半径为r，它们都是时间t的函数，知识点解析：暂无解析20、设，问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解．标准答案：令X=(ξ1，ξ2，ξ3)，B=(β1，β2，β3)，矩阵方程化为A(ξ1，ξ2，ξ3)=(β1，β2，β3),当a=1，b=2，c=一2时，矩阵方程有解，知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12一y22一y32，又A*α=α，其中α=(1，1，一1)T．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形．标准答案：(Ⅰ)显然A的特征值为λ1=2，λ2=一1，λ3=一1，|A|=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=一2，μ3=一2．由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1，1，一1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量令ξ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=一1，λ3=一1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ=0，即x1+x2一x3=0，于是λ2=一1，λ3=一1对应的线性无关的特征向量为知识点解析：暂无解析22、设(X，Y)的联合密度函数为(Ⅰ)求常数k；(Ⅱ)求X的边缘密度；(Ⅲ)求当X=x下Y的条件密度函数fY|X(y|x)．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设随机变量X1，X2，…，Xm+n(m＜n)独立同分布，其方差为σ2，令求：(Ⅰ)D(Y)，D(Z)；(Ⅱ)ρYZ．标准答案：(Ⅰ)因为X1，X2，…，Xm+n相互独立，(Ⅱ)Cov(Y，Z)=CovF(X1+…+Xm)+(Xm+1+…+Xn)，Xm+1+…+Xm+n]=Cov(X1+…+XmXm+1+…+Xm+n)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xm+1+…+Xm+n)=D(Xm+1+…+Xn)+Cov(Xm+1+…+Xn，Xn+1+…+Xm+n)=(n一m)σ2，知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f（x）是（一∞，+∞）上连续的偶函数，且|f（x）|≤M当x∈（一∞，+∞）时成立，则F（x）=∫0xte一t2f（t）dt是（一∞，+∞）上的A、无界偶函数．B、有界偶函数．C、无界奇函数．D、有界奇函数．标准答案：B知识点解析：首先讨论F(x)的奇偶性．注意有可见F(x)是(一∞，+∞)上的偶函数．这样就可排除(C)与(D)．其次讨论F(x)的有界性．因F(x)是(一∞，+∞)上的偶函数，所以可限于讨论x≥0时F(x)的有界性．由于由此可知，F(x)也是(一∞，+∞)上的有界函数．故应选(B)．2、设有函数f1（x）=|lnx|，f1（x）=lnx+x（x一1），f3（x）=x2一3x2+x+1，f4（x）=|x一1+lnx|，则以（1，0）为曲线拐点的函数有A、1个．B、2个．C、3个．D、4个．标准答案：D知识点解析：首先fi(1)=0，i=1，2，3，4，说明点(1，0)都在曲线上．由|lnx|的图形容易判断(1，0)是f1(x)的拐点令f2"(x)=0，x=1(x=一1不在定义域内)，由于f2"(x)在x=1的左、右异号，故(1，0)是f2(x)的拐点．f3’(x)=3x2—6x+1，f3"(x)=6(x一1)，f3"(1)=0，又f3"(x)在x=1左右异号，故(1，0)是f3(x)的拐点．对f(x)求导比较麻烦，我们可以由g(x)=x一1+lnx来讨论．故g’(x)=+1＞0(x＞0)可知g(x)↑，有g"(x)=＜0，故g(x)的图形上凸，当x∈(0，1)时g(x)＜0，当x∈(1，+∞)时g(x)＞0，所以f4(x)=|g(x)|的图形以(1，0)为拐点．综上所述，应选(D)．3、设m与n是正整数，则∫01xm（lnx）ndx=A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：用分部积分法计算．这里积分下限0是瑕点，从而在积分下限处都理解为求极限。继续进行分部积分可得故应选(B)．4、设=x2一xy+y2，则fx’（1，1）=A、1．B、0．C、一1．D、标准答案：D知识点解析：先求出f(x，y)的表达式，为此令u=x+y，υ=从而解得代入题设中5、设A是m×n矩阵，且方程组Ax=β有解，则A、当AX=β有唯一解时必有m=n．B、当AX=β有唯一解时必有r(A)=n．C、当AX=β有无穷多解必有m＜n．D、当AX=β有无穷多解必有r(A)＜m．标准答案：B知识点解析：方程组有唯一解的充分必要条件是系数矩阵A的秩和增广矩阵(A|β)的秩相等并且等于未知数的个数n(也就是A的列数．)．显然(B)正确．(A)不对，因为唯一解只能推出m≥n，不必m=n．(C)不对，在方程组有解时，m＜n是有无穷多解的充分条件，不是必要条件．(D)不对，在方程组有解时，有无穷多解的充分必要条件是r(A)＜n．6、则下列矩阵中与A合同但不相似的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：首先可排除(A)，因为r(A)=2，而(A)矩阵的秩为1，所以它与A不合同．两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的特征值的正负性一样．(即正，负数的个数对应相等．)而相似的充分必要条件是它们的特征值相同．因此应该从计算特征值下手．求出|λE—A|=λ(λ+3)(λ一3)，A的特征值为0，一3，3．显然(C)中矩阵的特征值也是0，一3，3，因此它和A相似，可排除．剩下(B)(D)两个矩阵中，只要看一个．(D)中矩阵的特征值容易求出，为0，一1，1，因此它和A合同而不相似．(也可计算出(B)中矩阵的特征值为0，1，4，因此它和A不合同．)7、设随机变量X的密度函数关于x=μ对称，F（x）为其分布函数，则有A、F(μ+x)=F(μ一x)．B、F(μ+x)+F(μ一x)＞1．C、0＜F(μ+x)+F(μ一x)＜1．D、F(μ+x)+F(μ一x)=1．标准答案：D知识点解析：利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论．F(μ+x)=∫一∞μ+xf(t)dt∫一∞xf(μ+u)duF(μ一x)=∫一∞μ一xf(t)dt∫+∞xf(μ一u)du=∫0xf(μ一u)du又f(μ一u)=f(μ+u)，u∈(一∞，+∞)所以F(μ+z)+F(μ一x)=∫一∞xf(μ+u)du+∫x+∞f(μ—u)du=∫一∞+∞f(μ+μ)du=∫一∞+∞f(x)dx=1．故选(D)8、设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于可知X～N(一3，2)，而(A)，(B)，(C)三个选项都不符合，只有(D)符合，可以验证二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、标准答案：知识点解析：10、设f（x）为连续函数，且f（0）=f（1）=1，F（x）=，则F’（1）=________．标准答案：2．知识点解析：设f(x)连续，α(x)，β(x)可导，则有一般的变限定积分的求导公式f(β(x)β’(x)一f(α(x))α’(x)于是F’(x)=f(lnx)F’(1)=2．11、已知y1=xex+e2x，y2=xex+e一x，y3=xex+e2x—e一x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为________．标准答案：y"一y’一2y=(1—2x)ex．知识点解析：y1—y2=e2x一e一x，y2一y3=e一x都是相应齐次方程的解．而(y1一y2)+(y1—y3)=e2x也是齐次方程的解，e2x与e一x是两个线性无关的解，而y2=xex+e一x是非齐次方程的解，从而y2一e一x=xex也是非齐次方程的解，由e一xe2x是齐次方程的解，可知特征根r1=一1，r2=2，特征方程为(r+1)(r一2)=0，即r2一r一2=0．设所求非齐次方程为y"一y’一2’，=f(x)．将非齐次解xex代入，得f(x)=(xex)"一(xex)’一2xex=(1—2x)ex故所求方程为y"一y’一2y=(1—2x)ex．12、标准答案：知识点解析：A是矩阵方程A4X=A5的解．求出A4=(A2)2=用初等变换法解此矩阵方程：13、一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件，且第i个零件是不合格品的概率pi=（i=1，2，3）．则三个零件中合格品零件的期望值为________．标准答案：知识点解析：以Ai表示第i个零件合格，i=1，2，3，Ai相互独立，于是有以X表示3个零件中合格品的个数，则P{X=3}=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=P{X=2}=1一P{X=0}一P{X=1}一P{X=3}=EX=三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)14、求n及a的值．标准答案：分子的极限不为零，当n=2时，分母的极限不为零，所以当n=2时，a=-2e2。知识点解析：暂无解析15、设幂级数的系数{an}满足a0=2，nan=an一1+n一1，n=1，2，3，…．求此幂级数的和函数S（x），其中x∈（一1，1）．标准答案：求解本题的关键是确定幂级数的系数an(n=0，1，2，…)．为此在系数的递推公式nan=an一1+n一1中依次令n=1，2，3即得a1=a0=2，由此可猜想对n=2，3，4，…都成立．用数学归纳法只需证明若成立，则an+1=也成立即可．事实上，由(n+1)an+1=an+n可得即系数{an}的递推公式对任何n≥2成立．从而幂级数知识点解析：暂无解析16、计算二重积分其中D是由x2+y2=1的上半圆与x2+y2=2y的下半圆围成的区域．标准答案：因区域D关于y轴对称，为偶函数．对D1，D2引入极坐标知识点解析：暂无解析17、设f（x）在[a，b]上连续且单调增加，试证：标准答案：引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法)．知识点解析：暂无解析18、已知四元齐次方程组的解都满足方程式（Ⅱ）x1+x2+x3=0．①求a的值．②求方程组（Ⅰ）的通解．标准答案：①条件即(Ⅰ)和(Ⅱ)的联立方程组和(Ⅰ)同解，也就是矩阵对B用初等行变换化阶梯形矩阵，并注意过程中不能用第4行改变上面3行，以保证化得阶梯形矩阵的上面3行是由A变来的．显然a=0时r(A)=1，r(B)=2，因此a≠0．因为a≠0，所以r(A)=3．要使得r(B)=3，a=1／2．得(Ⅰ)的通解：c(一1，一1，2，2)T，c任意．知识点解析：暂无解析19、已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1—3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．①求A的特征值．②求A的特征向量．③求A*一6E的秩．标准答案：①记P=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3是线性无关，所以P是可逆矩阵．AP=(Aα1，Aα2，Aα3)=(一α1一3α2—3α3，4α1+4α2+α3，一2α1+3α3)得A的特征值为1，2，3．②思路：先求B的特征向量，用P乘之得到A的特征向量．(如果Bη=λη，则P一1APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)．)对于特征值1：B的属于特征值1的特征向量(即(B一E)x=0的非零解)为c(1，1，1)T，c≠0．则A的属于特征值1的特征向量为c(α1+α2+α3)T，c≠0．对于特征值2：B的属于特征值2的特征向量(即(B一2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)T，c≠0．则A的属于特征值2的特征向量为c(2α1+3α2+3α3)T，c≠0．对于特征值3：B的属于特征值3的特征向量(即(B一3E)x=0的非零解)为c(1，3，4)T，c≠0．则A的属于特征值3的特征向量为c(α1+3α2+4α3)T，c≠0．③由A的特征值为1，2，3，|A|=6．于是A*的特征值为6，3，2，A*一6E的特征值为0，一3，一4．知识点解析：暂无解析20、设离散型二维随机变量（X，Y）的取值为（xi，yj）（i，j=1，2），且P{X=x2}=，P{Y=y1|X=x2}=，P{X=x1|Y=y1}=，试求：（Ⅰ）二维随机变量（X，Y）的联合概率分布；（Ⅱ）条件概率P{Y=yj|X=x1}，j=1，2．标准答案：依题意，随机变量X与Y的可能取值分别为x1，x2与y1，y2，且P{X=x1}=1一P{X=x2}=又题设P{X=x1|Y=y1}=于是有P{x=x1|Y=y1}=P{x=x1}，即事件{X=x1}与事件{Y=y1}相互独立，因而{X=x1}的对立事件{X=x2}与{Y=y1}独立，且{X=x1}与{Y=y1}的对立事件{Y=y2}独立；{X=x2}与{Y=y2}独立，即X与Y相互独立．(Ⅰ)因X与Y独立，所以有P{Y=y1}=P|Y=y1|X=x2}=P{Y=y2}=1一P{Y=y1}=P{X=x1，Y=y1}=P{X=x1}P{Y=y1=P{X=x1，Y=y2}=P{X=x1}P{Y=y2}=P{X=x2，Y=y1}=P{X=x2}P{Y=y1}=P{X=x2，Y=y2}=P{X=x2}P{Y=y2}=或P{X=x2，Y=y2}=于是(X，Y)的联合概率分布为(Ⅱ)因X与Y独立，所以P{Y=yj|X=x1}=P{y=yj}，j=1，2，于是有P{Y=y1|X=x1}=P{y=y1}=P{Y=y2|X=x1}=P{Y=y2}=知识点解析：暂无解析21、设在某一时间段内进入某大型超市的顾客人数X服从参数为λ的泊松分布，且每一顾客购买A类商品的概率为p．假定各顾客是否购买A类商品是相互独立的，求进入该超市的顾客购买A类商品的人数Y的概率分布及Y的期望层EY．标准答案：由题设知，P{X=m}=，m=0，1，2，…；A＞0．购买A类商品的人数Y，在进入超市的人数X=m的条件下服从二项分布B(m，p)，即P{Y=k|X=m}=cmkpkqm一k，k=0，1，2，…，m；q=1一P．由全概率公式有又因为当m＜k时，P{Y=k|X=m}=0，所以由此可知，Y服从参数为λp的泊松分布，故EY=λp．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=在x=0处连续，则f(x)在x=0处()．A、不可导B、f’(0)=ln23+1C、D、标准答案：D知识点解析：2、f(x)=渐近线的条数为()．A、4B、3C、2D、1标准答案：B知识点解析：故曲线共有3条渐近线，选(B)．3、设f(x)连续，且满足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2+，则关于f(x)的极值问题有()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：等式两边求导，得f’(x)+2f(x)=2x，其通解为f(x)=Ce-2x+因为f(0)=．所以C=1，从而f(x)=e-2x+令f’(x)=一2e-2x+1=0，得唯一驻点为x=因为f"(x)=4e-2x＞0，故x=是极小值点，极小值为4、设δ＞0，f(x)在(一δ，δ)内恒有f"(x)＞0，且|f(x)|≤x2，记I=∫-δδf(x)dx，则有()．A、I=0B、I＞0C、I＜0D、不能确定标准答案：B知识点解析：因为|f(x)|≤x2，所以f(0)=0，由|f(x)|≤x2，得，由夹逼定理得f’(0)=0．由泰勒公式得f(x)=f(0)+f’(0)x+其中ξ介于0与x之间，因为在(一δ，δ)内恒有f"(x)＞0，所以I=∫-δδf(x)dx=∫-δδf"(ξ)x2dx＞0，选(B)．5、已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：设αi=(ai1,ai2,ai3,aijT(i=1，2，3)，由已知条件有βiTαj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)．即βi(i=1，2，3，4)为方程组的非零解．由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含1个解向量，从而向量组β1，β2，β3，β4的秩为1，选(A)．6、设A是n阶矩阵，下列结论正确的是()．A、设r(A)=r，则A有r个非零特征值，其余特征值皆为零B、设A为非零矩阵，则A一定有非零特征值C、设A为对称矩阵，A2=2A，r(A)=r，则A有r个特征值为2，其余全为零D、设A，B为对称矩阵，且A，B等价，则A，B特征值相同标准答案：C知识点解析：取A=，显然A的特征值为0，0，1，但r(A)=2，(A)不对；设显然A为非零矩阵，但A的特征值都是零，(B)不对；两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；应选(C)．事实上，令AX=λX，由A2=2A得A的特征值为0或2，因为A是对称矩阵，所以A一定可对角化，由r(A)=r得A的特征值中有r个2，其余全部为零．7、设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(x)为偶函数，F(x)为X的分布函数，则对任意a，有()．A、F(-a)=1一∫0af(x)dxB、F(-a)=一∫0af(x)dxC、F(一a)=F(a)D、F(-a)=2F(a)一1标准答案：B知识点解析：F(一a)=P(x≤一a}=∫+∞af(x)dx=∫+∞af(一t)(一dt)=∫a+∞f(t)dt=1一∫-∞af(t)dt=1一∫-∞0f(t)dt-∫0af(t)dt=-∫0af(t)dt，选(B)8、设总体X服从标准正态分布，(X1，X2，…，Xn)为总体的简单样本，，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为X1，X2，…，Xn与总体服从相同的分布。所以(A)不对；显然，所以(B)不对；二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：知识点解析：10、设f(x)=，则f(100)(0)=__________．标准答案：一100!知识点解析：f(x)==(1一x)(1+x3+x6+…)=1一x+x3-x4+x6一x7+…+x99一x100+…，又f(x)=，即f(100)(0)=-100!．11、标准答案：知识点解析：因为为奇函数，所以12、y"一2y’一3y=e-x的通解为________．标准答案：知识点解析：特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=一1，λ2=3，则方程y"-2y’一3y=0的通解为y=C1e-x+C2e3x．令原方程的特解为y0(x)=Axe-x，代入原方程得A=，于是原方程的通解为y=C1e-x+C2e3x一13、设A为三阶实对称矩阵，α1=(m,一m，1)T是方程组AX=0的解，α2=(m，1，1一m)T是方程组(A+E)X=0的解，则m=_________．标准答案：1知识点解析：由AX=0有非零解得r(A)＜3，从而λ=0为A的特征值，α1=(m，-m,1)T为其对应的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)＜3，|A+E|=0，λ=一1为A的另一个特征值，其对应的特征向量为α2=(m，1，1-m)T，因为A为实对称矩阵，所以A的不同特征值对应的特征向量正交，于是有m=1．14、设总体X～N(0，σ2)，X1，X2，X3，X4为总体X的简单随机样本，标准答案：t(3)知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)二阶可导，且f(0)=0，令g(x)=(Ⅰ)确定a的取值，使得g(x)为连续函数；(Ⅱ)求g’(x)并讨论函数g’(x)的连续性．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为q1(吨)与q2(吨)时,总收入函数为R(q1，q2)=15q1+34q2-q2-4q22一2q1q2-36(万元)，设生产1吨甲产品要支付排污费1万元，生产1吨乙产品要支付排污费2万元．(Ⅰ)如不限制排污费支出，这两种产品产量分别为多少时总利润最大?最大利润多少?(Ⅱ)若排污费总量为6万元时，这两种产品产量各为多少时总利润最大?最大利润多少?标准答案：(Ⅰ)利润函数为L(q1，q2)=R((q1，q2)-q1一2q2=14q1+32q2…q12一4q22-2q1q2-36．令得q1=4，q2=3，因为驻点唯一，且该实际问题存在最大值，故当q1=4，q2=3时L(q1，q2)达到最大，最大值为L(4，3)=40(万)．(Ⅱ)令F(q1，q2，λ)=L(q1，q2)+λ(q1+2q2—6)，令，得q1=2，q2=2，于是在q1+2q2=6下，当q1=2，q2=2时，L(q1，q2)取到最大值，最大值为L(2，2)=28(万)．知识点解析：暂无解析17、设1≤a＜b≤e，证明：函数f(x)=xln2x满足不等式0＜f(a)+f(b)-＜(e一1)(b-a)标准答案：令g(x)=f(x)+f(a)-显然g(a)=0．g’(x)=f’(x)一由于f’(x)=ln2x+2lnx，f"(x)=(1+lnx)＞0(x＞a≥1)，从而x＞a≥1时，g’(x)＞0，即当x＞a≥1时g(x)单调增加，再由g(a)=0，则有g(b)＞0，从而左端不等号得证．令h(x)=(e—1)(x一a)+2f一f(x)-f(a)，显然h(a)=0．因此h(x)为单调增加的函数，从而有h(b)＞h(a)=0，即右端不等号得证．知识点解析：暂无解析18、设f(x)为二阶连续可导，且．证明级数绝对收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设u=二阶连续可导，又，求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设A是n阶矩阵，证明：(Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在n阶非零列向量α，β，使得A=αβT；(Ⅱ)r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化．标准答案：(Ⅰ)若r(A)=1，则A为非零矩阵且A的任意两行成比例，即于是，显然α，β都不是零向量且A=αβT；反之，若A=αβT，其中α，β都是n维非零列向量，则r(A)=r(αβT)≤r(α)=1．又因为α.β为非零列向量，所以A为非零矩阵，从而r(A)≥1，于是r(A)=1．(Ⅱ)因为r(A)=1,所以存在非零列向量α，β，使得A=αβT，显然tr(A)=(α，β)，因为tr(A)≠0，所以(α，β)=k≠0．令AX=λX，因为A2=kA，所以λ2X=kλX，或(λ2一kλ)X=0，注意到X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k．因为λ1+λ2+…+λn=tr(A)=k，所以λ1=k，λ2=λ3=…λn=0·由r(OE-A)=r(A)=1，得A一定可以对角化．知识点解析：暂无解析21、设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(Ⅰ)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；(Ⅱ)设，求出可由两组向量同时表示的向量．标准答案：(Ⅰ)因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=一l1β1—l2β2．令γ=k1α1+k2α2=一l1β1因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k，k2及l1，l2都不全为零，所以γ≠0．(Ⅱ)令k1α2+k2α2+l1β1+l2β2=0，则，所以γ=kα1—3kα2=一kβ1+0β2．知识点解析：暂无解析22、设随机变量X的概率密度为X作两次独立观察，设两次的观察值为X1，X2，令(Ⅰ)求常数a及P{X1＜0，X2＞1}；(Ⅱ)求(Y1，Y2)的联合分布．标准答案：(Ⅰ)由，因为X1，X2相互独立．所以P{X1＜0，X2＞1}=P{X1＜0}P{X2＞1}，注意到f(x)为偶函数，所以P{X1＜0}=于是(Ⅱ)(Y1，Y2)可能的取值为(0．0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)P{Y1=0，Y2=0}=P{X1＞1，X2＞1)=P{X1＞1}P{X2＞1}=P{Y1=0，Y2=1}=P{X1≤1，X2＞1}=P{X1≤1}P{X2＞1}P{Y1=1，Y2=1}=P{X1≤1，X2≤1}=P{X1≤1}P{X2≤1}=知识点解析：暂无解析23、设总体X的密度函数为其中θ＞0为未知参数，(X1，X2，…．Xn)为来自总体X的简单随机样本，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量．标准答案：E(X)=0，知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=则().A、f(x)在x=1连续，在x=一1间断B、f(x)在x=1间断，在x=一1连续C、f(x)在x=1，x=一1都连续D、f(x)在x=1，x=一1都间断标准答案：B知识点解析：由(x+1)arctan=0，f(一1)=0，得f(x)在x=一1处连续.由f(1－0)=(x+1)arctan=－π，f(1+0)=(x+1)arctan=π，得x=1为f(x)的跳跃间断点，选(B)．2、设f(x)连续，且=2，则下列结论正确的是()．A、f(1)是f(x)的极大值B、f(1)是f(x)的极小值C、(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点D、f(1)不是f(x)的极值，但(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：因为=2，所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x一1｜＜δ时，有＞0，即当x∈(1一δ，1)时，f’(x)<0；当z∈(1，1+δ)时，f’(x)＞0．根据极值的定义，f(1)为f(x)的极小值，选(B)．3、设t＞0，则当t→0时，f(t)=[1一cos(x2+y2)]dxdy是t的n阶无穷小量，则n为()．A、2B、4C、6D、8标准答案：C知识点解析：f(t)=[1－cos(x2+y2)]dxdy因为，所以f(t)～，即n=6，选(C)．4、设φ1(x)，φ1(x)，φ3(x)是微分方程+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C1φ1(x)+C1φ2(x)+C3φ3(x)B、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2/sub>[φ1(x)一φ33(x)]+C3[φ2(x)一φ3(x)]+φ11(x)C、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ2(x)+φ3(x)D、C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2[φ1(x)一φ3(x)]+[φ1(x)+φ2(x)+φ3(x)]标准答案：D知识点解析：显然C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2[φ1(X)一φ3(X)]为+P(X)y’+Q(X)y=0的通解，且[φ1(X)+φ2(x)+φ3(x)]为+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的特解，选(D)．5、设A，B及A*都是n(n≥3)阶非零矩阵，且ATB=0，则r(B)等于()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：因为ATB=O且B为非零矩阵，所以方程组ATX=0有非零解，从而r(AT)=r(A)T)=n一1．由ATB=0得r(AT)+r(B)≤n，于是r(B)≤1，又B为非零矩阵，所以r(B)≥1，于是r(B)=1，选(B)．6、设三阶矩阵A的特征值为一2，0，2，则下列结论不正确的是()．A、r(A)=2B、tr(A)=0C、Ax=0的基础解系由一个解向量构成D、一2和2对应的特征向量正交标准答案：D知识点解析：因为A的特征值都是单值，所以A可相似对角化，从而r(A)=2，(A)是正确的；由tr(A)=一2+0+2=0得(B)是正确的；因为λ=0是单特征值，所以λ=0只有一个线性无关的特征向量，即方程组(OE－A)X=0或AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，(C)是正确的；一2与2对应的特征向量一般情况下线性无关，只有A是实对称矩阵时才正交，选(D)．7、设随机变量X～，向量组a1，a2线性无关，则Xa1－a2，－a1+Xa2线性相关的概率为()．A、B、C、D、1标准答案：C知识点解析：(Xa1－a2，－a1+Xa2)=(a1，a2)，因为a1，a2线性无关，所以向量组Xa1一a2，－a1+Xa2线性无关的充分必要条件是，即X=1，故向量组Xa1一a2，一a1+Xa2线性相关的概率为P{X=1}=，选(C)．8、设X，y为两个随机变量，其中E(X)=2，E(y)=－1，D(X)=9，D(Y)=16，且X，Y的相关系数为ρ=，由切比雪夫不等式得P{｜X+Y一1｜≤10}≥()．A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：令Z=X+Y，则E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13,则P{｜X+Y一1｜≤10}=P{｜Z—E(z)｜≤10}≥1一=，选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、________．标准答案：知识点解析：10、设f(x)为连续函数，且x2+y2+z2=φ(x+y一t)dt，则z()_________．标准答案：-[f(x)－f(y)]－(x+y)知识点解析：x2+y2+z2=f(x+y—t)出两边对x求偏导得2x+2z=一f(x)，再将x2+y2+z2=f(x+y一t)dt两边对y求偏导得2y+2z=f(y)，两式相加得z()=一[f(x)一f(y)]一(x+y)．11、设φ连续，且x2+y2+z2=(x+y－t)dt，则2z()________．标准答案：φ(y)－φ(x)－2(x+y)知识点解析：φ(x+y—t)dtφ(u)(一du)=φ(u)du，x2+y2+z2=φ(u)du两边对z求偏导得2x+2z=一φ(x)，解得=一；x2+y2+z2=φ(u)du两边对y求偏导得2y+2z=φ(y)，解得，则2z()=φ(y)一φ(x)－2(x+y)．12、幂级数(一1)n+1的和函数为____________．标准答案：ln(1+)(x∈[一])知识点解析：由得级数的收敛半径为R=，当x=±时，收敛，收敛域为[一]令S(x)=，则S(x)=．13、设矩阵A=不可对角化，则a=_____________.标准答案：0或4知识点解析：由｜λE一A｜==λ(λ一a)(λ一4)=0得λ1=0，λ2=a，λ3=4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重跟，从而a=0或a=4.当a=0时，由r(0E－A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a=0和题意；当a=4时，4E—A=，由r(4E－A)=2得λ2=4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a=4合题意．14、10件产品中有3件产品为次品，从中任取2件，已知所取的2件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为________．标准答案：知识点解析：令事件A={所取两件产品中至少有一件次品}，B={两件产品都是次品}，P(A)=1一p()=1一，P(B)=，则P(B｜A)=．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)在[0，1]上二阶可导，｜(x)｜≤1(x∈[0，1])，f(0)=f(1)．证明：对任意的x∈[0，1]，有｜f’(x)｜≤．标准答案：对任意的x∈[0,1]，由勒公式得f(0)=f(x)一f’(x)x+，其中ξ1介于0与x之间；f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+(1～x)2，其中ξ2介于x与1之间．两式相减得0=f’(x)+，于是由｜(x)｜≤1(x∈[0，1])，得｜f’(x)｜≤[(1一x)2+x2]，令φ(x)=(1－x)2+x2令φ’(x)=0，得x=，因为φ(0)=φ(1)=1，φ()=，所以φ(x)=(1－x)2+x2在[0，1]上的最大值为1，故｜f’(x)｜≤．知识点解析：暂无解析16、某商品进价为30元／件，根据经验，当销售为80元／件时日销售量为100件，日常调查表明，销售每下降10％，可使日销售量增加30％，该商家在一日内以72元价格出售一批该商品后，决定再作一次性降价销售其余商品，当售价定为多少时，商家才能获得最大利润？标准答案：当该商品的售价从p降到p2时，对应的日常销售量从q1上升为q2,由题意有即q2=q1+3q1(1－)，商家以72元／件的价格出售该商品的日销售量为100+300(1－)=130.设该商品一次性降价处理的价格设为p元／件，则相应的日常销售量为q=130+390(1－=520－.利润为L=pq－30q=(p一30)(96一p)，令L’=(63一p)=0，得p=63，即若一次性以63元／件出售其余商品时，商家获得最大利润．知识点解析：暂无解析17、计算二重积分dxdy其中D是由y=－a(a>0)及y=－x所围成的区域．标准答案：令其中一≤θ≤0，0≤r≤一2asinθ，则知识点解析：暂无解析18、设方程=0在变换下化为=0，求常数a．标准答案：代入整理得(1一)+(2一a)=0，从而故a=一2．知识点解析：暂无解析19、设A从原点出发，以固定速度υ0沿y轴正向行驶，B从(x0，0)出发(x0＜0)，以始终指向点A的固定速度υ1朝A追去，求B的轨迹方程．标准答案：设t时刻B点的位置为M(x，y)，则，即=y－υ0t，(*)(**)两边对x求导，得，或，代入(**)，得，令k=，则令f’=p，由，得dx，两边积分，得p+，由y’(x0)=0，得c0=，从而.当k≠1时,y=，由y(x0)=0，得c1=，则B的轨迹方程为当k=1时，B的轨迹方程为知识点解析：暂无解析20、当常数a取何值时，方程组无解、有无穷多个解?在有无穷多个解时，求出其通解．标准答案：若a=1，则，原方程组的通解为X=k(－1，0,1)T+(2，－1,0)T(k为任意常数).若a≠1，则当a=0时，方程组无解；当a=一2时，，原方程组的通解为X=k(1，1,1)T+(2，2,0)(k为任意常数).知识点解析：暂无解析21、设二次型f(x1，x1，x3)=—2x1x3+2ax2x3(a＜0)通过正交变换化为标准形．(Ⅰ)求常数a，b；(Ⅱ)求正交变换矩阵；(Ⅲ)当｜X｜=1时，求二次型的最大值．标准答案：(Ⅰ)令A则f(x1,x2,x3)=XTAX．因为二次型经过正交变换化为，所以矩阵A得特征值为λ1=λ2=2，λ3=b.由特征值的质得解得a=－1，b=－1.(Ⅱ)当λ1=λ2=2时，由(2E—A)X=0，得ξ1=，ξ2=；当λ3=一1时，由(－E－A)X=0，得ξ3=令β1=ξ1=，β2=ξ2－β1=，β3=ξ3=，单位化得γ1=，令Q=，则f(x1，x2，x3)(Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以｜X｜=1时，｜Y｜=1，当｜Y｜=1时，二次型的最大值为2.知识点解析：暂无解析22、设随机变量X与Y相互独立同分布，其中P{X—i}=，i=1，2，3令U=max(X，Y)，V=min(X，Y)．(Ⅰ)求(U，V)的联合分布；(Ⅱ)求P{U=V)；(Ⅲ)判断U，V是否相互独立，若不相互独立，计算U，V的相关系数．标准答案：(Ⅰ)U，V的可能取值为1,2,3，显然P{U＜V)=0，P{U=1，V=1}=P{X=1}=P{X=1}P{Y=1}=，P{U=2,V=1}=P{X=2，Y=1}=P{X=1,Y=2}=2P{X=2}=P{Y=1}=P{U=2,V=2}=P{X=2，Y=2}=P{X=2,Y=2}=P{X=2}P{Y=2}=P{U=3,V=1}=P{X=3，Y=1}+P{X=1,Y=3}=2P{X=3}=P{Y=1}=P{U=3,V=2}=P{X=3，Y=2}+P{X=2,Y=3}=2P{X=3}=P{Y=2}=P{U=3,V=3}=P{X=3，Y=3}+P{X=3,Y=3}=P{X=3}=P{Y=3}=于是(U，V)的联合分布率为(Ⅱ)P{U—V}=P{U=1，V=1)+P{U=2，V=2)+P{U=3，V=3)=．(Ⅲ)P{U=1)=1，P{V=3)=，P{U=1，V=3)=0，因为P{U=1，V=3}≠P{U=1)P{V=3)，所以U，V不独立．U，V的分布律为U～E(U)=，E(U2)=，D(U)=，E(V)=，E(V2)=D(V)=，E(UV)=+2×+2×2×+3×+3×2×+3×3×=4，Cov(U，V)=E(UV)一E(U)E(V)=，于是.知识点解析：暂无解析23、设总体X的分布律为P{X=K}=(1一p)k－1p(k=，2，…)，其中p是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，求参数p的矩估计量和极大似然估计量．标准答案：E(X)=，令，得参数p的矩估计量为.L(p)=P{X=x1}…P{X=xn}=(1一p)，lnL(p)=(－n)ln(1一p)+nlnp．令，得参数p的极大似然估计量为．知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设图形(a)，(b)，(c)如下：从定性上看，若函数f(x)在[0，1]内可导，则y=f(x)，与y=f’(x)的图形分别是A、(a)，(b)，(c)．B、(a)，(c)，(b)．C、(b)，(a)，(c)．D、(c)，(a)，(b)．标准答案：C知识点解析：以(a)或(b)或(c)为y=f(x)的图形，从及f’(x)的几何意义来看其它两个图形是否分别是和y=f’(x)的图形．若(a)是y=f(x)的图形，则f(x)在[0，1]单调上升且f(x)＞0(x∈[0，1])→f’(x)≥0，．但(C)中x轴下方有图像，故(a)不是y=f(x)的图形，于是(A)，(B)均不正确．若(b)是y=f(x)的图形，则f(x)有唯一最大值点x0∈(0，1)，f(x)在[0，x0]单调上升，在[xi，1]单调下降，且f(x)＞0(x∈(0，1))，故且单调上升(x∈[0，1])，f’(x)≥0(x∈(0，x0))，f’(x0)=0，f’(x)≤0(x∈(x0，1))．因此(C)是正确的．若(C)是y=f(x)的图形，则f(x)在[0，1]单调下降，于是f’(x)≤0．因此(D)不正确，故应选(C)．2、设f(x)为恒大于零的可微函数，当时，恒有f’(x)sinx＜f(x)cosx则当时，下列不等式恒成立的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：3、设z=f[cos(x2+y2)一1，In(1+x2+y2)]，其中f有连续的一阶偏导数，则=A、4f2’(0，0)．B、f1’(0，0)+f2’(0，0)．C、0．D、不存在．标准答案：A知识点解析：4、设f(x)在[a，b]上可导，f’(x)+[f(x)]2一=0，且，则在(a，b)内必定A、恒为正．B、恒为负．C、恒为零．D、变号．标准答案：C知识点解析：5、设，B是2阶矩阵，且满足AB=B，k1，k2是任意常数，则B=A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由AB=B有(A—E)B=0，因而B的列向量是齐次方程组(A—E)x=0的解．又那么齐次方程组(A—E)x=0的基础解系是(一1，1)T，所以应选(D)．6、设矩阵A是秩为2的4阶矩阵，又α1，α2，α3是线性方程组Ax=b的解，且α1+α2一α3=(2，0，一5，4)T，α2+2α3=(3，12，3，3)T，α3—2α1=(2，4，1，一2)T，则方程组Ax=b的通解x=A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由于n—r(A)=4—2=2，故方程组Ax=b的通解形式应为α+k1η1+k2η2．这样可排除(C)，(D)．因为，A(α3—2α1)=一b，所以(A)中(1，4，1，1)T和(B)中(一2，一4，一1，2)T。都是方程组Ax=b的解．(A)和(B)中均有(2，2，一2，1)T，因此它必是Ax=0的解．只要检验(1，一4，一6，3)T和(1，8，2，5)T。哪一个是Ax=0的解就可以了．由于3(α1+α2一α3)一(α2+2α3)=3(α1—α3)+2(α2一α3)是Ax=0的解，所以(3，一12，一18，9)T是Ax=0的解．那么(1，一4，一6，3)T是Ax=0的解．故应选(A)．7、在考核中，若学员中靶两次，则认定合格而停止射击，但限定每人最多只能射击三次．设事件A=“考核合格”，B=“最多中靶一次”，C=“射击三次”，已知学员中靶率为p(0＜p＜1)，则A、AB与C独立．B、BC与A独立．C、AC与B独立．D、A，B，C相互独立．标准答案：A知识点解析：依题意A与B为对立事件，因此，BC=B，而不可能事件与任何事件相互独立，故应选(A)．若进一步分析，P(ABC)=0，而P(A)，P(B)，P(C)，P(AC)，P(BC)均不为0，因此(B)、(C)、(D)均不正确．8、设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设函数在x=1处连续，则A=___________．标准答案：知识点解析：10、设y(x)是由x2+xy+y=tan(x-y)确定的隐函数，且y(0)=0，则y"(0)=____________.标准答案：知识点解析：11、已知y1=xex+e2x,y2=xex+e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为___________.标准答案：y"一y’一2y=(1—2x)ex．知识点解析：y1—y2=e2x—e-x，y1一y3=e-x都是相应齐次方程的解．而(y1一y2)+(y1—y3)=e2x也是齐次方程的解，e2x与e-x是两个线性无关的解，而y2=xex+e-x是非齐次方程的解，从而)y2一e-x=xex也是非齐次方程的解，由e-x，e2x是齐次方程的解，可知特征根r1=一l，r2=2，特征方程为(r+1)(r一2)=0，即r2一r-2=0．设所求非齐次方程为y"一y’一2y=f(x)．将非齐次解xex代入，得f(x)=(xex)"一(zex)’一2xex=(1—2x)ex故所求方程为y"一y’一2y=(1—2x)ex．12、设函数，则f(10)(1)=___________．标准答案：一10！×210知识点解析：13、已知，A*是A的伴随矩阵，则=___________．标准答案：知识点解析：14、掷一枚不均匀的硬币，设正面出现的概率为P，反面出现的概率为q=1-p，随机变量X为一直掷到正面和反面都出现为止所需要的次数，则X的概率分布为__________．标准答案：P{X=k}=pq(pk-2+qk-2)．k=2，3，…．知识点解析：易知X的取值为2，3，…．而{X=k}表示前k一1次出现的是正面而第k次出现的是反面，或前k一1次出现的是反面，而第k次出现的是反面，于是有P{X=k}=pk-1q+qk-1p=pq(pk-2+qk-2)，k=2，3，…．三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)15、设b为常数．(I)求曲线L：的斜渐近线l的方程；(Ⅱ)设L与l从x=1延伸到x→+∞之间的图形的面积A为有限值．求b及A的值．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)知识点解析：暂无解析16、(Ⅰ)设；(Ⅱ)求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设某企业生产一种产品，其成本C(Q)=一16Q2+100Q+1000，平均收益=a一(a＞0，0＜b＜24)，当边际收益MR=44,需求价格弹性时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数a与b的值．标准答案：收益函数，当取得最大利润时，边际收益等于边际成本，即MR=MC．又MR=R’=a一bQ，于是44=C’(Q)=2Q2—32Q+100，即Q2—16Q+28=0．解得Q1=14，Q1=2．当Q=2时，得b=38，不满足0＜b＜24的条件，故舍去．所以当产量Q=14时，企业利润取极大值，也是最大值．知识点解析：暂无解析18、设积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤x+y}，计算二重积分标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，试证：标准答案：引进辅助函数，把证明常数不等式转化为证明函数不等式(可用单调性方法)．知识点解析：暂无解析20、已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，一1，一3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出．(I)求a1，2，a3，a4应满足的条件；(Ⅱ)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并把其他向量用该极大线性无关组线性表出；(Ⅲ)把向量β分别用α1，α2，α3，α4和它的极大线性无关组线性表出．标准答案：(Ⅰ)β可由α1，α2，α3，α4线性表出，即方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解．对增广矩阵作初等行变换，有所以向量β可以由α1，α2，α3，α4线性表出的充分必要条件是：a1一a2+a3一a4=0．(Ⅱ)向量组α1，α2，α3，α4的极大线性无关组是：α1，α2，α3，而α4=一6α1+6α2—3α3．⑦(Ⅲ)方程组①的通解是：x1=a1一a2+2a3—6t，x2=a2—2a3+6t，x3=a3—3t，x4=t，其中t为任意常数，所以β=(a1—a2+2a3—6t)α1+(a2—2a3+6t)α2+(a3—3t)α3+tα4，其中t为任意常数．由②把α4代入，得β=(a1一a2+2a3)α1+(a2—2a3)a2+a3α3．知识点解析：暂无解析21、假设男孩的出生率为51％，同性双胞胎是异性双胞胎的3倍，已知一双胞胎第一个是男孩，试求第二个也是男孩的概率．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设总体X的概率分布为，其中参数θ未知且．从总体X中抽取一个容量为8的简单随机样本，其8个样本值分别是1，0，1，一1，1，1，2，1．试求：(I)θ的矩估计值；(Ⅱ)θ的最大似然估计值；(Ⅲ)经验分布函数F8(x)．标准答案：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)与x为等价无穷小，且f(x)≠x，则当x→0+时，[f(x)]x一xx是A、比f(x)一x高阶的无穷小．B、比f(x)一x低阶的无穷小．C、比f(x)一x同阶但不等价的无穷小．D、与f(x)一x等价的无穷小．标准答案：D知识点解析：2、设，则f(x)在(一∞，+∞)内A、没有零点．B、只有一个零点．C、恰有两个零点．D、恰有三个零点．标准答案：C知识点解析：3、若f(一1，0)为函数f(x，y)=e-x(ax+b—y2)的极大值，则常数a，b应满足的条件是A、a≥0，b=a+1．B、a≥0，b=2a．C、a＜0，b=a+1．D、a＜0，b=2a．标准答案：B知识点解析：4、已知函数f(x)在区间[0，2]上可积，且满足，则函数f(x)的解析式是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：5、设A为n阶矩阵，对于齐次线性方程(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，则必有A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．标准答案：A知识点解析：若α是(I)的解，即Anα=0，显然An+1α=A(Anα)=AO=0，即α必是(Ⅱ)的解．可排除(C)和(D)．若η是(Ⅱ)的解，即An+1η=0．假若η不是(Ⅰ)的解，即Anη≠0，那么对于向量组η，Aη，A2η，…，Anη，一方面这是n+1个n维向量必线性相关；另一方面，若kη+k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An左乘上式，并把An+1η=0，An+2η=0，…，代入，得kAnη=0．由于Anη≠0，必有k=0．对k1Aη+k2A2η+…+knAnη=0，用An-1左乘上式可推知k1=0．类似可知ki=0(i=2，3，…，n)．于是向量组η，Aη，A2η，…，Anη线性无关，两者矛盾．所以必有Anη=0，即(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解．由此可排除(B)．故应选(A)．6、已知4维列向量α1，α2，α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1，α2，α3均正交，则秩r(β1，β2，β3，β4)=A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：A知识点解析：设α1=(a11，a12，a13，a14)T，α2=(a21，a22，a23，a24)T，α3=(a31,a32,a33，a34)T，那么βi与α1，α2，α3均正交，即内积βiTαj=O(j=1，2，3，4)．由于α1，α2，α3线性无关，故系数矩阵的秩为3．所以基础解系有4—3=1个解向量．从而r(β1，β2，β3，β4)=1．故应选(A)．7、设随机变量X的密度函数关于x=μ对称，F(x)为其分布函数，则有A、F(μ+x)=F(μ一x)．B、F(μ+x)+F(μ一x)＞1．C、0＜F(μ+x)+F(μ一x)＜1．D、F(μ+x)+F(μ一x)=1．标准答案：D知识点解析：利用分布函数与密度函数的关系及密度函数的对称性，作积分变量替换可导出所需要的结论．8、设随机变量X的概率分布为P{X=k}=aCnkpkqn-k(k=1，2，…，n，q=1一p)，则EX=A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：首先我们注意到该分布不考虑a时，与二项分布仅差k=0的一项，先利用概率分布的和等于1求出常数a，再用二项分布的期望求EX．由二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(x)在x=0处连续，且，则曲线)y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为__________．标准答案：知识点解析：10、将抛物线y=x2一x与x轴及直线x=c(c＞1)所围成平面图形绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积Vx等于弦op(p为抛物线与直线x=c的交点)绕x轴旋转所得锥体的体积V锥，则c的值为_________．标准答案：知识点解析：11、设，其中z=z(x，y)是由方程3x2+2y2+z2=6确定的隐函数，且z(1，1)=1，则=___________．标准答案：2e(cos2一sin2)知识点解析：12、设平面区域D={(x，y)｜x3≤y≤1，一1≤x≤1}，f(x)是定义在[一a，a](a≥1)上的任意连续函数，则=____________·标准答案：0知识点解析：令F(x)=(x+1)f(x)+(x一1)f(一x)则F(一x)=(一x+1)f(一x)+(一x-1)f(x)=一[(x一1)f(一x)+(x+1)f(x)]=一F(x)即F(x)为奇函数其中1-x6为偶函数，F(x)为奇函数，因此被积函数为奇函数，在对称区间上的积分为零．13、设，B是3阶非零矩阵，满足BA=0.则矩阵B=_________.标准答案：知识点解析：由BA=0知r(B)+r(A)≤3．又由B≠0知r(B)≥1．显然A中有2阶子式非0，知r(A)≥2．故必有r(A)=2，r(B)=1．因ATBT=0，所以齐次线性方程组ATx=0的解就是B的行向量．又由14、设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则Emin(X，Y)=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设(I)讨论f(x)的连续性，若有间断点并指出间断点的类型；(Ⅱ)判断f(x)在(一∞，1]是否有界，并说明理由．标准答案：(I)(Ⅱ)知识点解析：暂无解析16、设二元可微函数F(x，y)在直角坐标系中可写成F(x，y)=f(x)+g(y)，其中f(x)，g(y)均为可微函数，而在极坐标系中可写成F(x，y)=H(r)，求二元函数F(x，y)．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设积分区域D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、设函数y(x)在[a，b]上连续．在(a，b)内二次可导，且满足其中函数p(x)，q(x)与f(x)都在[a，b]上连续，且存在常数q0＞0使得q(x)≥q0，存在常数F＞0使得｜f(x)｜≤F．求证：当x∈[a，b]时．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设，且B=P-1AP．(I)求矩阵A的特征值与特征向量。(Ⅱ)当时，求矩阵B；(Ⅲ)求A100．标准答案：(I)(Ⅱ)(Ⅲ)知识点解析：暂无解析21、设A为三阶方阵，α为三维列向量，已知向量组α，Aα，A2α线性无关，且A3α=3Aα一2A2α．证明：(I)矩阵B=(α，Aα，A4α)可逆；(Ⅱ)BTB是正定矩阵．标准答案：(Ⅰ)由于A3α=3Aα一2A2α，故A4α=3A2α一2A3α=3A2α一2(3Aα一2A2α)=7A2α一6Aα．若k1α+k2Aα+k3A4α=0，即k1α+k2Aα+k3(7A2α一6Aα)=0，亦即k1α+(k2—6k3)Aα+7k3A2α=0，因为α，Aα，A2α线性无关，故所以，α，Aα，A4α线性无关，因而矩阵B可逆．(Ⅱ)因为(BTB)T=BT(BT)T=BTB，故BTB是对称矩阵．又，由于矩阵B可逆，恒有Bx≠0，那么恒有xT(BTB)x=(Bx)T(Bx)＞0，故二次型xT(BTB)x是正定二次型，从而矩阵BTB是正定矩阵．知识点解析：暂无解析22、设X，Y相互独立且同服从[0，θ](θ＞0)上的均匀分布，求E[min(X，Y)]，E[max(X，Y)]．标准答案：知识点解析：暂无解析23、独立重复某项试验，直到成功为止．每次试验成功的概率为P，假设前5次试验每次试验费用为100元，从第6次起，每次试验费用为80元，试求该项试验总费用的期望值W．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学三）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=sint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但：作等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为，所以正确答案为(B).2、设f(x)连续可导，且=1，f(0)为f(x)的极值，则()．A、当f(0)=0时，f(0)是f(x)的极小值B、当f(0)=0时，f(0)是f(x)的极大值C、当f(0)>0时，f(0)是f(x)的极大值D、当f(0)<0时，f(0)是f(x)的极小值标准答案：A知识点解析：因为f(x)连续可导，所以由=1得f(0)+f’(0)=0.当f(0)≠0时，因为f’(0)≠0，所以f(0)不是极值，(C)，(D)不对；当f(0)=0时，f’(0)=0，由=(0)+[47](0)得(0)=1>0，故f(0)为f(x)的极小值，选(A)．3、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、极限存在，但不连续B、连续，但不可偏导C、连续，可偏导，但不可∞微D、可微标准答案：C知识点解析：由0≤1｜f(x，y)｜=｜x｜≤｜x｜，得f(x，y)=0=f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处连续.由=0，得(0，0)=0，同理(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导.因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处不可微，应选C.4、下列命题正确的是()．A、若收敛，则收敛B、对级数，若有无数个n使>1，则级数发散C、若收敛，而绝对收敛，则anbn绝对收敛D、若与都发散，则(un+un)发散标准答案：C知识点解析：若收敛，则{an}有界，即存在M>0，使得｜an｜≤M，于是有0≤｜anbn｜≤M.｜bn｜．由绝对收敛得收敛，于是｜anbn｜收敛，即anbn绝对收敛，选(C)．5、下列结论正确的是()．A、设A，B为n阶矩阵，若A，B非零特征值个数相等，则r(A)=r(B)B、若A，B是n阶可逆的对称矩阵，若A2与B2合同，则A，B合同C、若A，B是阶n实对称矩阵．若A，B合同，则A，B等价D、若A，B是n阶实对称矩阵，若A，B等价，则A，B合同标准答案：C知识点解析：取A=显然A，B非零特征值个数都为1，但r(A)，≠r(B)，不选(A)取A=().B=()．显然A2与B2的正惯性指数都为2，A2与B2合同，但A，B不合同。不选(B)：符A.B合同，即存在可逆矩阵P.使得PT=B．则r(A)－r(B)．故A，B等价．应选(C)：若A．B等价．即r(A)=r(B)．但A.B的正负惯性指数不一定相等．故A，B不一定合同，不选(D)．6、设向量组a1，a2，a3线性无关，β1不可由a1，a2，a3线性表示，而β2可由1，a2，a3线性表示，则下列结论正确的是()．A、1，a2，β2尼线性相关B、1，a2，β2线性无关C、a1，a2，a3，β1+β2线性相关D、a1，a2，a3，β1+β2线性无关标准答案：D知识点解析：因为β1不可由a1，a2，a3线性表示，而β2可由