考研数学（数学二）模拟试卷2（共206题）

考研数学（数学二）模拟试卷2（共9套）（共206题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)=在x=0处连续，则f(x)在x=0处()．A、不可导B、fˊ(0)=ln23+1C、fˊ(0)=(ln3+1)D、fˊ(0)=(ln23+1)标准答案：D知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，所以a=1+ln3，于是f(x)=2、曲线y=的渐近线的条数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：因为=∞，所以曲线没有水平渐近线；由，得曲线有两条铅直渐近线；由，得曲线有一条斜渐近线，选(C)．3、对函数f(x)=∫0x2(4－t)ln(1+t)dt()．A、仅有极大值B、仅有极小值C、既有极大值又有极小值D、没有极值标准答案：C知识点解析：令fˊ(x)=2x(4－x2)ln(1+x2)=0，得x1=－2，x2=0，x3=2．当x<－2时，fˊ(x)>0；当x∈(－2，0)时，fˊ(x)<0；当x∈(0，2)时，fˊ(x)>0；当x>2时，fˊ(x)<0，则x1=－2，x3=2为f(x)的极大值点，x2=0为f(x)的极小值点，选(C)．4、设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1＋u2)du，g(x)=(1－cost)dt，则当x→0时,f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶非等价无穷小标准答案：A知识点解析：所以f(x)是g(x)的低阶无穷小，选(A)．5、设平面图形A由x2+y2≤2x及y≥x所确定，则A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积公式为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：取[y，y+dy][0，1]，则dV=π(1+)2－(2－y)2]dy，于是V=∫01dV=π∫01[(1+)2－(2－y)2]dy，选(C)．6、设f(x)连续，且满足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2+，则关于f(x)的极值问题有()．A、存在极小值B、存在极大值C、存在极小值D、存在极小值标准答案：A知识点解析：等式两边求导，得fˊ(x)+2f(x)=2x，其通解为f(x)=Ce－2x+(x－)．因为f(0)=,所以C=1，从而f(x)=e－2x+(x－)．令fˊ(x)=－2e－2x+1=0，得唯一驻点为x=ln2．因为fˊˊ(x)=4e－2x＞0，故x=ln2是极小值点，极小值为．7、已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：设αi=(ai1，ai2，ai3，ai4)T(i=1，2，3)，由已知条件有βiTαj=0(i=1,2,3,4;j=1,2,3),即βi(i=1,2,3,4)为方程组的非零解.由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组β1，β2，β3，β4的秩为1，选(A)．8、设A，B及A*都是n(n≥3)阶非零矩阵，且AB=O，则r(B)=()．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：由B为非零矩阵得r(A)*)=0或r(A*)=1，因为A*为非零矩阵，所以r(A*)=1，于是r(A)=n－1，又由AB=O得r(A)+r(B)≤n，从而r(B)≤1，再由B为非零矩阵得r(B)≥1，故r(B)=1，选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、=_________.标准答案：知识点解析：10、设f(x，y)一阶连续可偏导，且f(tx，ty)=t2f(x，y)，又fˊ1(1，2)=2，fˊ2(1，2)=4，则f(1，2)=________．标准答案：5知识点解析：对f(tx，ty)=t2f(x，y)两边关于t求导得xfˊ1(tx，ty)+yfˊ2(tx，ty)=2tf(x，y)，取t=1，x=1，y=2得fˊ1(1，2)+2fˊ2(1，2)=2f(1，2)，于是f(1，2)=5．11、=________·标准答案：知识点解析：12、设z=f(x，y)连续，且=2，则dz｜(1，2)=________．标准答案：2dx—dy知识点解析：令ρ=，由f(x，y)连续得f(1，2)=3，由=2得f(x，y)—2x+y—f(1，2)=o(ρ)，即△z=f(x，y)—f(1，2)=2(x—1)—(y—2)+o(ρ)，故dz｜(1,2)=2dx—dy．13、=________．标准答案：知识点解析：于是14、设A为三阶实对称矩阵ξ1=为方程组AX=0的解，ξ2=为方程组(2E－A)X=0的一个解，｜E+A｜=0，则A=________．标准答案：知识点解析：显然为A的特征向量，其对应的特征值分别为λ1=0，λ2=2，因为A为实对称阵，所以ξ1Tξ2=k2－2k+1=0，解得k=1，于是又因为｜E+A｜=0，所以λ3=－1为A的特征值，令λ3=－1对应的特征向量为ξ3=三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、令x=cost(02)yˊˊ－xyˊ+y=0化为y关于t的微分方程，并求满足y｜x=0=1，yˊ｜x=0=2的解．标准答案：yˊ=yˊˊ=，代入原方程得+y=0，该方程的通解为y=C1cost十C2sint，原方程的通解为y=C1x+C2，将初始条件y｜x=0=1，yˊ｜x=0=2代入得C1=2，C2=1，故特解为y=2x+.知识点解析：暂无解析16、设方程=0在变换下化为=0，求常数a的值．标准答案：代入整理得从而故a=2．知识点解析：暂无解析17、求曲线y=－x2+1上一点P(x0，y0)(其中x0≠0)，使过P点作抛物线的切线，此切线与抛物线及两坐标轴所围成图形的面积最小．标准答案：切线方程为y=－2x0x+x02+1，令y=0，得切线与x轴的交点为A(，0)令x=0，得切线与y轴的交点为B(0，1+x02)．1)当x0＞0时，因为＞0，所以所围成图形面积为S=令因为＞0，所以当x0=时，所围成的面积最小，所求的点为P.2)当x0＜0时，因为＜0，所以所围成的面积为S=令因为＞0，所以当x0=时，所围成的面积最小，所求点为P知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0，在(0，a)内二阶可导且fˊˊ(x)>0．证明：标准答案：令φ(x)=因为fˊˊ(x)＞0，所以fˊ(x)单调增加，故fˊ(ξ)＜fˊ(x)，于是φˊˊ(x)＞0(0＜x＜a)．由得φˊ(x)＞0(0＜x≤a)，再由得φ(x)＞0(0＜x≤a)，于是由φ(a)＞0，故∫0axf(x)dx＞∫0af(x)dx.知识点解析：暂无解析19、计算二重积分，其中积分区域D=｛(x，y)｜0≤x2≤y≤x≤1｝．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ex确定，其中f二阶连续可偏导，求.标准答案：由ex+ey=ez得.知识点解析：暂无解析21、求微分方程yˊˊ+yˊ－2y=xex+sin2x的通解．标准答案：特征方程为λ2+λ－2=0，特征值为λ1=－2，λ2=1，yˊˊ+yˊ－2y=0的通解为y=C1e－2x+C2ex．设yˊˊ+yˊ－2y=xex(*)yˊˊ+yˊ－2y=sin2x(**)令(*)的特解为y1(x)=(ax2+bx)ex，代入(*)得a=，b=，由yˊˊ+yˊ－2y=sin2x得yˊˊ+yˊ－2y=(1－cos2x)，显然yˊˊ+yˊ－2y=有特解y=．对yˊˊ+yˊ－2y=－cos2x，令其特解为y=Acos2x+Bsin2x．代入得A=,B=．则y2(x)=，所以原方程的通解为y=C1e－2x+C2ex+知识点解析：暂无解析设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三维列向量且α1≠O，若Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3．22、证明：向量组α1，α2，α3线性无关．标准答案：由Aα1=α1得(A—E)α1=0，由Aα2=α1+α2得(A—E)α2=α1，由Aα3=α2+α3得(A—E)α3=α2．令k1α1+k2α2+k3α3=01)两边左乘以(A—E)得k2α1+k3α2=02)两边再左乘(A－E)得k3α1=0，由α1≠0得k3=0，代入2)得k2α1=0，则k2=0，再代入1)得k1α1=0，从而k1=0，于是α1，α2，α3线性无关．知识点解析：暂无解析23、证明：A不可相似对角化．标准答案：令P=(α1，α2，α3)，由(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1，α1+α2，α2+α3)得AP=P从而p－1AP==B，由｜λE－A｜=｜λE－B｜=(λ－1)3=0得A的特征值为λ1=λ2=λ3=1，E－B=，因为r(E－B)=2，所以B只有一个线性无关的特征向量，即B不可相似对角化，而A～B，故A不可相似对角化．知识点解析：暂无解析24、设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=，又α=且=α．(Ⅰ)求正交矩阵Q；(Ⅱ)求矩阵A．标准答案：(I)显然A的特征值为λ11=λ2=－1，λ3=2，A*的特征值为μ1=μ2=－2,μ3=1．因为α为A*的属于特征值μ3=1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ3=2的特征向量，令α=α3．令A的属于特征值λ1=λ2=－1的特征向量为ξ=，因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以－x1－x2+x3=0，则A的属于特征值λ1=λ2=－1的线性无关的特征向量为α1=,α2=．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：4、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：5、设f(，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足，则f(x，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案：A知识点解析：因为，所以由极限的保号性，存在δ＞0。6、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析7、曲线渐近线的条数为A、0．B、1C、2．D、3．标准答案：C知识点解析：[详解]由，知x＝1为铅直渐近线；由，知y＝1为水平渐近线；显然，没有斜渐近线．故应选(C)．[评注]若求渐近线的上述极限不存在，则需要考虑单侧极限，即考虑一侧是否有这三种渐近线，在曲线的同侧若有水平渐近线，则一定没有斜渐近线．8、(2003年试题，二)设，则()．A、l1＞l2＞1B、1>l1＞l2C、l2＞l1＞1D、1＞l2＞l1标准答案：B知识点解析：由题设，当，因此即．因此可排除C,D．令，则又令，则g’(x)=1一cos2x，显然当g’(x)>0，因此g(x)严格单调递增，即g(x)>g(0)=0，从而f’(x)>0，即f(x)在上严格单调递增，所以因此即l1<1，综上有l21<1，所以选B．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、已知则A-1=______________.标准答案：知识点解析：因为所以那么10、标准答案：知识点解析：11、标准答案：4知识点解析：12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、A是二阶矩阵，有特征值λ1=1，λ2=2，f(x)=x2一3x+4，则f(A)=________．标准答案：2E知识点解析：利用矩阵A的相似对角阵．由题设条件A是二阶矩阵，有两个不同的特征值，故A～A，即存在可逆阵P，使得P-1AP=A，A=PAP-1，其中且f(x)=x2一3x+4=(x一1)(x一2)+2．f(A)=(A—E)(A一2E)+2E=(PA-1一PP-1)(PA-1一2PP-1)+2E或直接计算f(A)=A2一3A+4E=(PAP-1)2一3PAP-1+4PP-1=PA2P-1—3PA-1+4PP-1一P(A2一3A+4E)P-114、设z＝esinxy，则dx＝_________．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、设z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，v，w)二阶连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析21、设u=f(x，y，z)有连续的一阶偏导数，又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定：求du/dx.标准答案：知识点解析：暂无解析22、估计下列积分值：标准答案：知识点解析：暂无解析23、设X，Y是离散型随机变量，其联合概率分布为P{X=xi，Y=yj}=pij(i，j=1，2，…)，边缘概率分别为piX和pjY(i，j=1，2，…)，则X与Y相互独立的充要条件是pij=piXpjY(i，j=1，2，…)标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于A、A-1+B-1．B、A+B．C、A(A+B)-1B．D、(A+B)-1．标准答案：C知识点解析：暂无解析2、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：3、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：4、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：5、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：6、把x→0＋时的无穷小量排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A、α，β，γ．B、α，γ，βC、β，α，γ．D、β，γ，α．标准答案：B知识点解析：[分析]先两两进行比较，再排出次序；也可先求出各无穷小量关于x的阶数，再进行比较．[详解1]，可排除(C)，(D)选项，又可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B)．[详解2]由存在且不为零，知n＝1；存在且不为零，知n＝3；存在且不为零，知n＝2；故应选(B)．7、设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，则A＝A、P1P2．B、P1－1P2．C、2P1．D、2P1－1．标准答案：D知识点解析：由已知条件有P2AP1E得A＝P2－1EP1－1＝P2P1－1．故应选(D)．8、(2006年试题，二)设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C记则()．A、C=P-1APB、C=PAP-1(c)C=PTAPC、C=PAPTD、初等矩阵的计算标准答案：知识点解析：依题意，用初等矩阵描述有所以已知．所以C=PAP-1．故选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：12、标准答案：知识点解析：13、标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)14、*]，其中f和g具有二阶连续导数，求．标准答案：0知识点解析：暂无解析15、设u＝f(x,y,z)，ψ(x2，ey，z)＝0，y＝sinx，其中f，ψ都具有一阶连续偏导数，且．标准答案：。知识点解析：暂无解析16、求二元函数z＝f(x，y)＝x2y(4－x－y)在由直线x＋y＝6、x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值、最大值与最小值．标准答案：极大值：f(2，1)＝4，最大值：f(2，1)＝4，最小值：f(4，2)＝－64．知识点解析：暂无解析17、设二元函数f(x，y)=D={(x，y)｜x｜+｜y｜≤2}．标准答案：设区域D1={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜1＜｜x｜+｜y｜≤2}则知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、(1998年试题，十一)设x∈(0，1)，证明：(1)(1+x)ln2(1+x)2；(2)标准答案：证明不等式的一条常规途径是构造辅助函数，通过研究其单调性来证明不等式．由题设，引入辅助函数φ(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2，则φ(x)=In2(1+x)+21n(1+x)一2x至此尚无法判断φ’(x)的符号，于是由知，当x∈(0，1)时φ’’(x)<0，因此φ’(x)严格单调递减，且由φ’(0)=0知，当x∈(0，1)时，φ’(x)<0，从而φ(x)也是严格单调递减，且由φ(0)=0知，φ(x)<0，此即(1+x)ln2(1+c)2，x∈(φ，1)，(1)得证又引入第二个辅助函数则由(1)已知结论，当x∈(0，1)时f’(x)<0，所以f(x)在(0，1)内严格单调递减．已知f(x)在[0，1]上连续，且所以当x∈(0，1)时，此即(2)的左不等式又由即右边不等式成立综上，(2)成立．知识点解析：利用导数证明单调性，再利用单调性来证明不等式是常用的不等式证明方法之一．21、设(2E—C－1B)AT＝C－1，其中E是4阶单位矩阵，AT是4阶矩阵A的转置矩阵，，求A．标准答案：由题设得C(2E—C－1B)AT＝E，即(2C—B)AT＝E．由于2C—B＝，｜2C—B｜＝1≠0，故2C—B可逆．于是A＝E(2C－B)－1]T＝[(2c－B)T]－1知识点解析：将已知矩阵化简，再利用逆矩阵的性质求A．22、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知f(x)在x＝0的某个邻域内连续，且f(0)＝0．，则在点x＝0处f(x)A、不可导．B、可导，且f’(0)≠0．C、取得极大值．D、取得极小值．标准答案：D知识点解析：暂无解析2、以下四个命题中，正确的是A、若f’(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．B、若f(x)在(0，1)内连续，则f(x)在(0，1)内有界．C、若f’(x)在(0，1)内有界，则f(x)存(0，1)内有界．D、若f(x)在(0．1)内有界，则f’(x)在(0，1)内有界．标准答案：C知识点解析：暂无解析3、A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：4、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：5、设f(x)在x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)与xm为同阶无穷小．又设x→0时，与,ak为同阶无穷小，其中m与n为正整数．则k=()A、mn+n．B、2n+m．C、m+n．D、mn+n－1．标准答案：A知识点解析：当x→0时f(x)与xm为同阶无穷小，从而知存在常数A≠0，当x→0时，f(x)～Axm，从而f(xn)～Axnm．于是由题意，上式为不等于零的常数，故k=nm+n．6、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析7、若f(x－1)＝x2(x－1)，则f(x)=[]．A、x(x+1)2B、x(x－1)2C、x2(x＋1)D、x2(x－1)标准答案：A知识点解析：暂无解析8、设f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则fˊ(0)=[]．A、6B、3C、2D、0标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式｜2A｜=-48，则λ=________.标准答案：-1知识点解析：暂无解析10、设函数f(u)可微，且，则z＝f(4x2－yx)在点(1，2)处的全微分＝_______。标准答案：4dx－2dy；知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：12、标准答案：3/4知识点解析：13、标准答案：A=1/10,K=10知识点解析：14、设A，B为3阶矩阵，且｜A｜＝33，｜B｜＝2，｜A－1＋B｜＝2，则｜A＋B－1｜＝_________。标准答案：应填3．知识点解析：[分析]本题考查矩阵的运算、行列式的性质．[详解]由于｜A＋B－1｜＝1(AB＋E)B－1｜＝｜(AB＋AA－1)B－1｜＝｜A(B＋A－1)B－1｜＝｜A｜.｜A－1＋B｜.｜B－1｜＝3.2.2B－1＝3因此应填3．[评注]也可以由｜A｜.A－1＋B｜＝｜E＋AB｜＝｜A＋B－1｜.｜B｜得｜A＋B－1｜＝3．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设函数f(x)在x＝0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0，f’(0)≠0，若af(h)＋bf(2h)－f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a，b的值．标准答案：a＝2，b＝－1；知识点解析：暂无解析16、求微分方程x2y’＋xy＝y2满足初始条件的特解．标准答案：；知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上存在一阶导数，且｜f’(x)｜≤M，证明：当x∈[a，b]时，标准答案：令．故在(a，b)内｜φ(x)｜存在最大值点x=x0．若｜φ(x0)｜=0，则φ(x)｜≡0，结论自然成立．若｜φ(x0)｜≠0，则φ(x0)总是φ(x)的极值(极大值或极小值)，于是φ’(x0)=0．由泰勒公式，以φ(a)=0，φ(a)=0分别代入上式，并且注意到φ’(x0)=0，φ’(x)=f(x)，于是有于是无论是还是总可得于是有知识点解析：暂无解析21、(2005年试题，一)标准答案：知识点解析：暂无解析22、设级数在x＞0时发散，而在x＝0处收敛，则常数a＝[]．标准答案：B知识点解析：暂无解析23、求下列函数的偏导数：标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)＝在χ＝0处连续，则f(χ)在χ＝0处()．A、不可导B、f′(0)＝In23＋1C、f′(0)＝(ln3＋1)D、f′(0)＝(ln23＋1)标准答案：D知识点解析：＝1＋ln3，因为f(χ)在χ＝0处连续，所以＝a＝1＋ln3，于是f(χ)＝又因为，所以f(χ)在χ＝0处可导，且f′(0)＝(ln23＋1)，选D．2、曲线y＝的渐近线的条数为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：因为＝∞所以曲线没有水平渐近线；由＝∞，得曲线有两条铅直渐近线；由，得曲线有一条斜渐近线，选C．3、对函数f(χ)(4－t)ln(1＋t)dt()．A、仅有极大值B、仅有极小值C、既有极大值又有极小值D、没有极值标准答案：C知识点解析：令f′(χ)＝2χ(4－χ2)ln(1＋χ2)＝0，得χ1＝－2，χ1＝0，χ1＝2．当χ<－2时，f′(χ)>0；当χ∈(－2，0)时，f′(χ)<0；当χ∈(0，2)时，f′(χ)>0；当χ>2时，f′<0，则χ1＝－2，χ3＝2为f(χ)的极大值点，χ2＝0为f(χ)的极小值点，选C．4、设f(χ)＝∫0χdt∫0ttln(1＋u2)du，g(χ)＝(1－cost)dt，则当χ→0时，f(χ)是g(χ)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶非等价无穷小标准答案：A知识点解析：所以f(χ)sg(χ)的低阶无穷小，选A.5、设平面图形A由χ2＋y2≤2χ及y≥χ、所确定，则A绕商线χ＝－2旋转一周所得旋转体的体积公式为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：取[y，y＋dy][0，1]，则dV＝π[－(2－y)2]dy，于是，选C6、设f(χ)连续，且满足f(χ)＋2∫0χf(t)dt＝χ2＋，则关于f(χ)的极值问题有()．A、存在极小值ln2B、存在极大值－ln2C、存在极小值D、存在极小值－标准答案：A知识点解析：等式两边求导，得f′(χ)＋2f(χ)＝2χ，其通解为f(χ)＝Ce-2χ＋(χ－)．因为f(0)＝,所以C＝1，从而F(χ)＝e-2χ＋(χ－)．令f′(χ)＝－2e-2χ＋1＝0，得唯一驻点为χ＝ln2．因为f〞(χ)＝4e-2χ＞0，故χ＝ln2是极小值点．极小值为．7、已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i＝1，2，3，4)是非零向量且与向α1，α2,α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：设αi＝(ai1，ai2，ai3，ai4)T(i＝1，2，3)，由已知条件有βiTαj＝0(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)，即βi(1，2，3，4)为方程组的非零解.由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组β1，β2，β3，β4的秩为1，故选A.8、设三阶矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝2，λ3＝4，对应的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，令P＝(－3ξ2,2ξ1，5ξ3)，则P-1(A*＋2E)P等于().A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：A*＋2E对应的特征值为μ1＝10，μ2＝－2，μ3＝0，对应的特征向量为ξ1，ξ2，ξ3，则-3ξ2，2ξ1，5ξ3A*＋2E的对应于特征值μ2＝-2，μ1＝10，μ3＝0的特征向量，于是有，故选B.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、＝_______．标准答案：知识点解析：10、设f(χ，y)一阶连续可偏导，且f(tχ，ty)＝t2f(χ，y)，又f′1(1，2)＝2，f′2(1，2)＝4，则f(1，2)＝________.标准答案：5知识点解析：对f(tχ，ty)＝t2f(χ，y)两边关于t求导得χf′1＋yf′2＝2tf(χ，y)，取t＝1，y＝2得f′1(1，2)＋f′2(1，2)＝2f(1，2)，于是f(1，2)＝511、_______．标准答案：知识点解析：.12、微分方程y′＝的通解为_______．标准答案：χ＝Ce2y－(2y＋1)知识点解析：由y′＝，得－2χ＝y，解得χ＝，即χ＝Ce2y－(2y＋1)13、_______．标准答案：知识点解析：14、设A为三阶实对称矩阵，ξ1＝为方程组AX＝0的解，ξ2＝为方程组(2E－A)X＝0的一个解，｜E＋A｜＝0，则A＝_______.标准答案：知识点解析：显然为A的特征向量，其对应的特征值分别为λ1＝0，λ2＝2，因为A为实对称阵，所以ξ1Tξ2＝k2－2k＋1＝0，解得k＝1，于是．又因为｜E＋A｜＝0，所以λ3＝－1为A的特征值，令λ3＝－1对应的特征向量为.由．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(χ)在[0，1]上可微，且f(1)＝2f(χ)dχ．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ).标准答案：令φ(χ)＝f(χ)，显然φ(χ)在[0，1]上可微，由积分中值定理得f(1)＝，从而e-1f(1)＝ef(c)，其中c∈[0，]，于是φ(c)＝φ(1)．由罗尔定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ′(ξ)＝0．而φ′(χ)＝ef′(χ)－2χef(χ)，所以＝0，注意到≠0，故f′(ξ)－2ξf(ξ)＝0，即f′(ξ)＝2ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析16、设抛物线y＝a2χ＋bχ＋c过点(0，0)及(1，2)，其中a<0，确定以a，b，c，使抛物线与χ轴所围成的面积最小．标准答案：由抛物线y＝aχ2＋bχ＋c(1过点(0，0)及(1，2)得(c＝0，a＋b＝2或b＝2－a，c＝0．因为a＜0，所以b＞0，由aχ2＋bχ＝0，得χ1＝0，χ2＝－＞0．S(a)＝，令S′(a)＝0得a＝－4，从而b＝6，故a＝－4，b＝6，c＝0.知识点解析：暂无解析17、设f(u)二阶连续可导，z＝f(eχsiny)，且＝e2χz＋e3χsiny，求f(χ)．标准答案：，或f〞－f＝eχsiny，于是有f〞(χ)－f(χ)＝χ．显然f(χ)＝C1e-χ＋C2eχ－χ知识点解析：暂无解析18、设L：＋y2＝1(χ≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值.标准答案：首先求切线与坐标轴围成的面积设M(χ，y)∈L，过点M的L的切线方程为X＋yY＝1．令Y＝0，得X＝，切线与χ轴的交点为P(，0)；令X＝0，得Y＝切线与y轴交点为Q(0，)，切线与椭圆围成的图彤面积为S(χ，y)＝．其次求最优解方法一：设.方法二：由①，②，得y＝－χ，χ＝－λy两式相乘，得于是最小面积为S＝2－知识点解析：暂无解析19、已知微分方程＝(y－χ)z，作变换u＝χ2＋y2，μ＝，ω＝lnz(χ＋y)，其中ω＝ω(u，μ)，求经过变换后原方程化成的关于ω，u，μ的微分方程的形式．标准答案：ω＝lnz－(χ＋y)两边关于χ，求偏导得－1；ω＝lnz－(χ＋y)两边关于y求偏导得－1，解得，带入原方程整理得＝0.知识点解析：暂无解析20、计算二重积分(χ，y)dσ，其中区域D是由直线χ＝－2，y＝0，y＝2及曲线χ＝－所围成的平面区域．标准答案：设曲线χ＝－与y轴围成的平面区域为D0则．知识点解析：暂无解析21、当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状．若它存进人大气层开始燃烧的前3s内，减少了体积的，问此陨石完全燃尽需要多少时间?标准答案：设陨石体积为V，表面积为S，半径为，r它们都是时间t的函数，因为V＝πr3，S＝4πr2，所以S＝．由题设得＝－kS(k>0)，即＝V0，其中V0为燃烧前的体积．解得，再由条件，得，所以，令V＝0，得t＝6，即完全燃尽需要6s．知识点解析：暂无解析22、设，问a，b，c为何值时，矩阵方程AX＝B有解，有解时求全部解.标准答案：令X＝(ξ1，ξ2，ξ3)，B＝(β1，β2，β3)，矩阵方程化为A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(β1，β2，β3)．即方程组Aξ1＝β1的通解为(k为任意常数)；方程组Aξ2＝β2的通解为(l为任意常数)；方程组Aξ3＝β3的通解为(t为任意常数).于是(其中k，l，t为任意常数).知识点解析：暂无解析23、设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝2y12－y22－y32，又A*α＝α，其中α＝(1，1，－1)T．(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X＝QX，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX化为标准形.标准答案：(Ⅰ)显然A的特征值为λ1＝2，λ2＝1，λ3＝－1，｜A｜＝2，伴随矩阵A*的特征值为μ1＝1，μ2＝－2，μ3＝－2．由A*α得AA*α＝Aα，即Aα＝2α，即α＝(1，1，－1)T是矩阵A的对应于特征值λ1＝2的特征向量．令ξ＝(χ1，χ2，χ3)T为矩阵A的对应于特征值λ2＝－1，λ3＝－1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTξ＝0，即χ1＋χ2－χ3＝0，于是λ2＝－1，λ3＝－1对应的线性无关的特征向量为.知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第6套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(χ)＝则f(χ)在χ＝0处()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、连续可导标准答案：B知识点解析：因为f(0－0)＝f(0)＝f(0＋0)＝0，所以f(χ)在χ＝0处连续，又因为不存在，所以f(χ)在fχ＝0处连续但不可导，选B．2、当χ＞0时，fln(χ)＝则∫-22χf′(χ)dχ为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由，则故选C．3、设f(χ，y)＝则f(χ，y)在(0，0)处()A、连续但不可偏导B、可偏导但不连续C、连续、可偏导但不可微D、可微标准答案：C知识点解析：因为0≤｜f(χ，y)－0｜＝，所以f(χ，y)＝0＝f(0，0)，故f(χ，y)在(0，0)处连续．＝0，所以f′χ(0，0)＝0，同理f′y(0，0)＝0，即f(χ，y)在(0，0)处可偏导．△z－dz＝f(χ，y)，令ρ＝，因为不存在，所以f′(χ，y)在(0．0)处不可微，选C．4、设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，其导函数的图形如下图所示，则f(χ)有(A、一个极小值点和两个极大值点B、两个极小值点和一个极大值点C、两个极小值点和两个极大值点D、三个极小值点和一个极大值点标准答案：C知识点解析：设导函数的图形与χ轴的交点从左至右依次为A，B，C，在点A左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0．所以点A为f(χ)的极大值点，同理可知点B与C都是f(χ)的极小值点，关键是点O处，在它左侧f′(χ)＞0，右侧f′(χ)＜0，而f(χ)在点O连续，所以点O也是f(χ)的极大值点(不论在χ＝0处f(χ)是否可导，见极值第一充分条件)，选C．5、用定积分表示曲线(χ2＋y2)＝χ2－y2所围成的平面区域的面积A为()．A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：双纽线(χ2＋y2)2＝χ2－y2的极坐标方程形式为，r2＝cos2θ，在第一象限部分的区域可表示为D1＝，根椐对称性得A1＝4A1，其中A1，为区域D1，的面积．而A1＝，选C．6、设函数U＝f(χz，yz，χ)的所有二阶偏导数都连续，则＝()．A、0B、χzf〞11＋yzf〞22＋z2f〞12C、z2f〞12＋zf32D、χzf〞11＋yzf〞22标准答案：C知识点解析：，选C．7、设矩阵B的列向量线性无天，且BA＝C，则()．A、若矩阵C的列向请线性无关，则矩阵A的列向量线性相关B、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的行向量线性相关C、若矩阵A的列向量线性无关，则矩阵C的列向量线性棚关D、若矩阵C的列向量线性无关，则矩阵A的列向量线性无关标准答案：D知识点解析：设B为m×n矩阵，A为n×s矩阵，则C为m×s矩阵，且r(B)＝n．因为BA＝C，所以r(C)≤r(A)，r(C)≤r(B)．若r(C)＝s，则r(A)≥s，又r(A)≤s，所以r(A)＝s．A的列向量组线性无关.A项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，所以A的行向量组的秩为s．故n≥s，若n＞s，则A的行向量组线性相关，若n＝s，则A的行向量组线性无关.B项不对；若r(A)＝s，因为r(C)≤s，所以不能断定C的列向量组线性相关还是无关．C项不对；若r(C)＝s，则r(A)＝s，选D．8、设n阶方阵A的，n个特征值全为0，则()．A、A＝0B、A只有一个线性无关的特征向量C、A不能与对角阵相似D、当A与对角阵相似时，A＝0标准答案：D知识点解析：若A的全部特征值皆为零且与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝于是A＝O，选D.二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设f(χ)为单调函数，且g(χ)为其反函数，又设f(1＝2)，f′(1)＝－，f〞(1)＝1则g〞(2)＝________.标准答案：知识点解析：10、设f(χ＝)f(χ)dχ＝________．标准答案：知识点解析：当0≤χ＜1时，f(χ)＝；当χ＝1时，f(χ)＝0；当χ＞1时，f(χ)＝，所以f(χ)＝，则．11、已知函数z＝u(χ，y)eaχ｜by，且＝0，若z＝z(χ，y)满足方程＋z＝0，则a＝________，b＝________.标准答案：a＝1，b＝1知识点解析：则a＝1，b＝1.12、＝________．标准答案：知识点解析：改变积分次序，得，．13、微分方程y〞＋y＝－2χ的通解为_________.标准答案：y＝C1cosχ＋C2sinχ－2χ.知识点解析：y〞＋y＝－2χ的特征方程为λ2＋1＝0，特征值为λ1,2＝±i，y〞＋y＝0的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ，又y〞＋y＝－2χ，显然有特解y＝－2χ，故方程y〞＋y＝－2χ的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ－2χ．14、设A＝且｜A｜＝3，B＝，则B*A＝________.标准答案：知识点解析：因为B＝AE12(2)E13，所以｜B｜＝｜A｜｜E12(2)｜｜E13｜＝－3，又因为B*＝｜B｜B-1，所以B*＝－3E13-1E12-1(2)A-1＝－3E13E12(-2)A-1，故B*A＝－3E13E12(-2)＝－3E13三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(χ)在[0，1]上连续可导，f(1)＝0，∫01χf′(χ)dχ＝2，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝4．标准答案：由分部积分，得，于是∫01f(χ)dχ＝－2．由拉格朗日中值定理，得f(χ)＝f(χ)－f(1)＝f′(η)(χ－1)，其中η∈(χ，1)，f(χ)＝f′(η)(χ－1)两边对χ从0到1积分，得∫01f(χ)dχ＝∫01f′(η)(χ－1)dχ＝－2.因为f′(χ)在[0．1]上连续，所以f′(χ)在[0，1]上取到最小值m和最大值M，由M(χ－1)≤f′(η)(χ－1)≤m(χ－1)两边对χ从0到1积分，得，即m≤4≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)＝4．知识点解析：暂无解析16、设u＝f()满足＝0．(Ⅰ)求f′(χ)．(Ⅱ)若f(0)＝0，求．标准答案：由已知条件得知识点解析：暂无解析17、设f(χ)＝，且g(χ的一个)原函数为ln(χ＋1)，求∫01f(χ)dχ．标准答案：．知识点解析：暂无解析18、设f(χ)，g(χ)满足f′(χ)＝g′(χ)，g′(χ)＝2eχ－f(χ)，又f(0)＝0，g(0)＝2，求．标准答案：由f〞(χ)＝g′(χ)＝2eχ－f(χ)得f〞(χ)＋f(χ)＝2eχ，解得f(χ)＝C1cosχ＋C2sinχ＋eχ，由f(0)＝，f′(0)＝g(0)＝2得，解得C1＝－1，C2＝1，故f(χ)＝－cosχ＋sinχ＋eχ．．知识点解析：暂无解析19、设f(χ)为[－a，a]上的连续的偶函数且f(χ)＞0，令F(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt..(Ⅰ)证明：F′(χ)单调增加．(Ⅱ)当χ取何值时，F(χ)取最小值?(Ⅲ)当F(χ)的最小值为f(a)－a2－1时，求函数f(χ)．标准答案：(Ⅰ)因为F〞(χ)＝2f(χ)＞0，所以F′(χ)为单调增加的函数．(Ⅱ)因为F′(0)＝∫-a0f(χ)dχ－∫0af(χ)dχ且f(χ)为偶函数，所以F′(0)＝0，又因为F〞(0)＞0，所以χ＝0为F(χ)的唯一极小点，也为最小点．故最小值为F(0)＝∫-aa｜t｜f(t)dt＝2∫0atundefined知识点解析：暂无解析20、计算，其中χ2＋y2≤a2．标准答案：因为区域D关于y轴对称，所以．又因为区域D关于直线y＝χ对称，所以知识点解析：暂无解析21、现有两只桶分别盛有10L浓度为15g/L的盐水．现同时以2L/min的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以2L/min的速度注入第二只桶中，然后以2L/min的速度从第二只桶中排出，问5min后第二只桶中含盐多少克?标准答案：设t时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为m1(t)，m2(t)，则有由＝0得m1(t)＝，再由m1(0)＝150得C1＝150，故m1(t)＝150，再由，则m2(t)＝，由m2(0)＝150得C2＝150，于是，5分钟后第二只桶含盐m2(5)＝克．知识点解析：暂无解析22、就a，b的不同取值情况讨论方程组何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解．标准答案：，1)当a≠1，a≠6时，方程组只有唯一解；2)当a＝－1时，，当a＝－1，b≠36时，方程组无解；当a＝－1，b＝36时，方程组有无数个解，由得方程组的通解为知识点解析：暂无解析23、设α＝(1，1，－1)T是A＝的一个特征向量．(Ⅰ)确定参数a，b及特征向最α所对应的特征值；(Ⅱ)问A是否可以对角化?说明理由．标准答案：(Ⅰ)由Aα＝λα，得，解得a＝－3，b＝0，λ＝－1．(Ⅱ)由｜λE－A｜＝(λ＋1)3＝0，得λ＝－1是三重特征值．因为r(－E－A)＝2，所以λ＝－1对应的线性无关的特征向量只有一个，所以A不可以对角化．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第7套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、由下列各条件可以得的是()．A、对任意ε＞0，存在正整数N，当n＞N时，有B、存在一个ε＞0，对任意正数N，当n＞N时，有∣xn一a∣＜εC、对任意正整数N＞0，存在ε＞0，当n＞N时，∣xn一a∣＜εD、对任意ε＞0，存在正整数N，当n＞N时，有无穷个xn，使∣xn一a∣＜ε标准答案：A知识点解析：准确理解极限定义中的“ε-N”语言的含义．解(A)中条件虽与极限定义稍有不同，但注意ε→0时，有，只是趋近于0的速度慢些．但由完全可以保证数列xn与a无限接近．一般地，对于ε的函数f(ε)，只要满足当e—O时，有f(ε)→0，因而将(A)中条件换为f(ε)，结论仍成立．(B)中条件不能得到．例如数列xn=(一1)n+a，取ε=2，则对任意N，当n＞N时，有∣xn一a∣=1＜ε，但xn显然发散．(C)中条件也不能得到．例如数列xn=(一1)n+a，对任意N，存在ε=2，当n＞N时，有∣xn一a∣＜ε，但xn发散．(D)中条件也不能得到．例如数列xn=a+(一1)n+1，对任意ε＞0，存在N=1，对n＞N的所有奇数项x2n+1均有∣x2n+1一a∣=0＜ε，但数列xn发散．2、若f(x)=一f(一x)，在(0，+∞)内f′(x)＞0，f″(x)＞0，则f(x)在(一∞，0)内()．A、f′(x)＜0，f″(x)＜0B、f′(x)＜0，f″(x)＞0C、f′(x)＞0，f″(x)＜0D、f′(x)＞0，f″(x)＞0标准答案：C知识点解析：f(x)为奇函数．利用奇函数的下述性质推出正确结果：奇函数在对称区间内正负性相反，而单调性相同，但凹向相反，且拐点关于原点对称．解可把f(x)视为在(一∞，+∞)内的奇函数：已知在(0，+∞)内f′(x)＞0，f″(x)＞0，利用上述性质，则f(x)在对称区间(一∞，0)内，必有f′(x)＞0，f″(x)＜0．例如f(x)=x3，有f(x)=一f(一x)=一(一x3)=x3，在(一∞，0)内，f′(x)=3x2＞0，f″(x)=6x＜0．对比四个选项知．3、下列计算正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：对广义积分首先要弄清它是否收敛，如不收敛，则对称性、奇偶性的结论不成立，因而不能用!如果收敛，则同定积分一样可以使用．解因所以f(x)为连续函数且为奇函数，故．至于(A)，因为广义积分，按定义有而等式右端的两个广义积分都是发散的．例如，至于(B)，因分母cos2x在π／2∈[0，π]处取值为0，因而(B)中被积函数那样提公因式是不允许的．(C)也是一个广义积分按定义：然而右边两个广义积分也是分别发散，按牛顿一莱布尼兹公式计算是错误的．4、A、2B、C、D、π标准答案：C知识点解析：先作代换将反常积分化为定积分计算．如积分区间为对称区间，为简化计算，还应考察被积函数或其子函数的奇偶性．解5、设函数F(x，y)在(x0，y0)的某邻域有连续的二阶偏导数，且F(x0，y0)=F′x(x0，y0)=0，F′y(x0，y0)＞0，F″xx(x0，y0)＜0．由方程F(x，y)=0在x0的某邻域确定的隐函数y=y(x)，它有连续的二阶导数，且y(x0)=y0，则()．A、y(x)以x=x0为极大值点B、y(x)以x=x0为极小值点C、y(x)在x=x0不取极值D、(x0，y(x0))是曲线y=y(x)的拐点标准答案：B知识点解析：利用隐函数的求导法则及已知条件，如能证明y′(x0)=0，y″(x0)＞0，则x0为y(x)的极小值点．解按隐函数求导法知，y′(x)满足令x=x0，相应地y=y0，因F′x(x0，y0)=0，F′y(x0，y0)＞0，故y′(x0)=0．将上式再对x求导，并注意y=y(x)，即得再令x=x0，相应地y=y0．由y′(x0)=0，F′y(x0，y0)＞0，得到因得y″(x0)＞0．因此，x=x0是y=y(x)的极小值点．6、设，则f(x)在(一∞，+∞)内()．A、没有零点B、只有一个零点C、恰有两个零点D、恰有三个零点标准答案：C知识点解析：注意到，而因而可在(一∞，一1)，(一1，+∞)内分别使用介值定理，说明f(x)有两个零点，再由f(x)的单调性说明仅有两个零点．解求f′(x)，分析其单调性区间．由于因此x=一1是f(x)的最小值点，且．又由连续函数的介值定理知，在(一∞，一1)与(一1，+∞)内必存在f(x)的零点．又因f(x)在(一∞，一1)与(一1，+∞)均单调，所以在每个区间上也只能有一个零点．因此，f(x)在(一∞，+∞)内恰有两个零点．7、下列矩阵中属于正定矩阵的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：n阶矩阵A=[aij]为正定矩阵的充分必要条件是顺序主子式全大于0，而必要条件是aij＞0．可用此判别正确选项．解一(C)中矩阵的元素a38=一1＜0，必不正定；(A)中矩阵的二阶顺序主子式，必不正定；(D)中矩阵的三阶顺序主子式∣A∣=一1＜0，必不正定．由排除法可知．解二(B)中矩阵的一阶顺序主子式大于0，显然其二阶顺序主子式其三阶顺序主子式即(B)中矩阵的各阶顺序主子式都大于0，8、要使都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：利用系数矩阵A的秩的性质判别．也可用代入法判别．解一由题设知ε1与ε2线性无关(分量不成比例)，故有3一秩(A)≥2，从而秩(A)≤1．显然只有(A)满足要求．解二将ε1，ε2，分别代入Ax=0．易知仅A为(A)中矩阵，ε1，ε2才是Ax=0的解．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：知识点解析：利用幂指函数极限的求法求之．求解时要注意利用等价无穷小代换：ax一1～xlna(x→0)．解而故10、设标准答案：0知识点解析：由题设可知ln(1+2x2)+x2f(x)=0(x3)，由此求出的表达式代入所求极限计算．解一或由2x2～ln(1+2x2)～(2x2)2／2=2x4，即得解二因故因而则11、方程x+y=ax2+by2+cx3(a+b≠0)确定了隐函数y=f(x)，其中a，b，c均为常数，则在点(0，0)处曲线的曲率是_______．标准答案：知识点解析：直接按曲线的曲率公式计算：为此先要求出y′∣(0，0)，y″∣(0，0)．解在所给方程两边对x求导，得到1+y′=2ax+2byy′+3cx2．①两边再对x求导，得到y″=2a+2b(yy″+y′2)+6cx．②将x=0，y=0代入式①求得y′∣(0，0)=一1，再将x=0，y=0，y′=一1代入式②，得到y″∣(0，0)=2(a+b)，则所求曲率为12、标准答案：知识点解析：将极限函数化成积和式形式，用定积分定义求之．解这是求积和式的极限，将它转化成积分和，利用定积分定义求该极限．由有13、设z=z(u)，且，其中z(u)为可微函数，且φ′(u)连续，φ′(u)≠1，p(t)连续，则标准答案：0知识点解析：给出隐函数u及其自变量x，y所满足的等式，为求有关偏导数，常利用此式设出辅助函数F(x，y，u)=0，再利用公式求出有关偏导数解设则又故14、设矩阵A，B满足A*BA=2BA一8E，其中，E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=_______．标准答案：知识点解析：为消掉方程中未知矩阵A*，需在方程两边左乘A，然后右乘A-1以化简方程．解在所给方程的两边左乘A，则AA*BA=2ABA一8A，即一2BA=2ABA一8A，在此方程两边右乘A-1，则一2B=2AB一8E，即AB+B=4E，(A+E)B=4E，故三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设u=f(x，y，z)，且x=rcosθsinφ，y=rsinθsinqφ，z=rcosφ，证明：(Ⅰ)若，则u仅是θ与φ的函数；(Ⅱ)若，则u仅是r的函数．标准答案：(1)仅需证明；(2)仅需证明解(1)所谓U仅是θ与φ的函数，就意味着u与r无关．由于所以u不依赖于r．(2)同(1)相类似，由题设得则，说明u与θ、φ均无关，即u仅是r的函数．知识点解析：暂无解析16、设f(x)为在[a，b]上连续的非负函数，且在(a，b)内可导，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得标准答案：对F(x)=lnf(x)在[a，b]上使用拉格朗日中值定理．证令F(x)=lnf(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(a，b)，使得知识点解析：暂无解析17、设，当r≠0时有连续的二阶偏导数，且满足求函数u(x，y)．标准答案：由复合函数求导法建立u对x，y的偏导数，以及u对r的导数的关系．将题设中的方程①转化为u(r)的常微分方程，然后求出u(r)．解由于u(x，y)是u(r)与的复合函数，有将它们相加得于是题设中所给方程①变成令p=u′(r)，降阶得，改写成两边乘，积分得再积分得其中c1，c2为任意常数．知识点解析：暂无解析18、设参数方程求证：(Ⅰ)由参数方程确定连续函数y=y(x)(0≤x≤2π)；(Ⅱ)y=y(x)在[0，π]单调上升，在[π，2π]单调下降；(Ⅲ)y=y(x)在[0，2π]是凸函数．标准答案：(Ⅰ)证明x=φ(t)在[0，2π]存在连续的反函数；(Ⅱ)证明(Ⅲ)证明证(Ⅰ)φ′(t)=1一cost＞0(t∈(0，2π))，φ′(0)=φ′(2π)=0，又φ(t)在[0，2π]上连续，故φ(t)在[0，2π]上单调上升，值域为[φ(0)，φ(2π)]=[0，2π]，得x=φ(t)在[0，2π]上存在连续的反函数t=t(x)，定义域为[0，2π]．因此，在[0，2π]上连续．(Ⅱ)由反函数的可导性及复合函数的可导性知，y=y(x)在(0，2π)内可导，由参数式求导法，有由于t∈[0，π]，有x∈[0，π]；t∈[π，2π]，x∈[π，2π]，于是因此，y=y(x)在[0，π]上单调上升，在[π，2π]上单调下降．(Ⅲ)由于y(x)在[0，2π]上连续，则由x∈(0，2π)时，有(t∈(0，2π)，即x∈(0，2π))．y=y(x)在[0，2π]上是凸函数．知识点解析：暂无解析19、设，且a＜b．证明：存在正整数N使得当n＞N时有xn＜yn．标准答案：利用极限的定义证之，关键是选取适当的ε．证因，又a＜b，取，则对于ε＞0存在正整数N1与N2，使当n＞N1时，有a一ε＜xn＜a+ε．①当n>N1时，有b一ε＜yn＜b+ε．②令N=max{N1，N2)，则当n＞N时，由式①与式②同时得到知识点解析：暂无解析20、设二阶可微函数满足方程求f(x)．标准答案：在所给方程两边分别对x求一阶、二阶导数以建立关于f(x)的微分方程初值问题，然后再求解，得到f(x)的表示式．解在所给方程两边关于x分别求一阶和二阶导数，得到且f′(0)=1／2，f″(x)+f′(x)=ex+2一f″(x)．故得微分方程的初值问题则对应齐次方程的特征方程为λ2+λ／2=0，解得λ1=0，λ2=一1／2．对应齐次方程的通解为Y=c1+c2e一x／2．令非齐次方程的一个特解为y*=y1*+y2*=Ax+Bex，代入方程①得到A=2，B=1／3，故因而，原方程的通解为由y(0)=1，f′(0)=1／2，得到c1+c2+1／3=1，一c2／2+2+1／3=1／2，解得c1=一3，c2=11／3，故知识点解析：暂无解析21、设由x=0，x=π／2，y=sinx(0≤x≤π／2)，y=t(0≤t≤1)所围区域的面积为S(t)，求S(t)的最大值与最小值．标准答案：先根据定积分的几何意义求出S(t)的表示式，再求出其极值点．解如下图所示，y=t将S(t)分为两部分，且令S′(t)=0得唯一驻点为极小值点．又S(0)=1，S(1)=π／2—1，所以S(t)的最大值为1，最小值为知识点解析：暂无解析22、设A是n阶矩阵，a1，a2，…，an是n维列向量，其中an≠0，若Aa1=a2，Aa2=a3，…，Aan一1=an，Aan=0．(Ⅰ)证明a1，a2，…，an线性无关；(Ⅱ)求A的特征值、特征向量．标准答案：(1)利用线性无关的定义证之；(2)利用相关矩阵的性质求之．解(1)令k1α1+k2α2+…+knαn=0．①由题设Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn一1=αn，有Anα1=An一1α2=…=Aan=0．将An一1左乘式①，得k1αn=0．由于αn≠0，故k1=0．再依次用An一2，An一3，…乘式①，可得k2=k3=…=kn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关．(2)由于A[α1，α2，…，αn]=[α2，α3，…，αn，0]因为α1，α2，…，αn线性无关，矩阵[α1，α2，…，αn]可逆，从而得知A的特征值全为0．又因秩(A)=秩(B)=n一1，所以Ax=0的基础解系由n一秩(A)=1个向量组成，由Aαn=0·αn知，A的线性无关的特征向量为αn，全部特征向量为kαn，k≠0为任意常数．知识点解析：暂无解析23、已知A=[α1，α2，α3，α4]T是四阶矩阵，α1，α2，α3，α4是四维列向量．若方程组Ax=β的通解是[1，2，2，1]T+k[1，一2，4，0]T，又B=[α1，α2，α1，β一α4]，求方程组Bx=α1一α2的通解．标准答案：已知方程组的通解要能由解的结构找出基础系及特解，还要能用线性方程组的向量形式求出齐次方程组与非齐次线性方程组的解．解由方程组Ax=β的解的结构，可知秩(A)=秩(α1，α2，α3，α4)=3，且α1+2α2+2α3+α4=β，α1—2α2+4α3=0，故α1，α2，α3线性相关．因为B=[α3，α2，α1，β一α4]=[α3，α2，α1，α1+2α2+2α3]，且α1，α2，α3线性相关，故秩(B)=2，所以Bx=0的一个基础解系只含n一秩(B)=4一2=2个解向量．由知，[0，一1，1，0]T是方程组Bx=α1一α2的一个解．又由可知[4，一2，1，0]T，[2，一4，0，1]T是Bx=0的两个线性无关的解，故Bx=α1一α2的通解为[0，一1，1，0]T+k1[4，一2，1，0]T+k2[2，一4，0，1]T．其中k1，k2为任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第8套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、A、1B、C、0D、不存在标准答案：D知识点解析：因不相同，且也不相同，故需分两种情况分别求出极限．解故极限不存在，2、如果f(x)对任何x都满足f(1+x)=2f(x)，且f(0)存在，f′(0)=2，则f′(1)=()．A、4B、一4C、8D、一8标准答案：A知识点解析：只能用函数在一点的导数定义求之．因为只知道f′(0)，不知道f(x)在其他点处是否可导，所以不能在所给等式两端对x求导，再求出f′(1)．解由条件f(1+x)=2f(x)知f(1)=f(1+0)=2f(0)．根据导数定义得3、已知函数f(x)，g(x)在x=0的某个邻域内连续，且则在点x=0处f(x)()．A、不可导B、可导，且f′(0)≠0C、取得极小值D、取得极大值标准答案：C知识点解析：利用极限的局部保号性确定正确选项．解由题设知故知，f(0)=0，且存在x=0的某空心邻域，使得所以在点x=0处f(x)取极小值．4、设f(x)，g(x)是恒不为零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)＞0，则当0＜x＜1时()．A、f(x)g(x)＞f(1)g(1)B、f(x)g(x)＞f(0)g(0)C、f(x)g(1)＜f(1)g(x)D、f(x)g(0)＜f(0)g(x)标准答案：C知识点解析：由题设条件f′(x)g(x)一f(x)g′(x)＞0，有(因g(x)是恒不为零的可导函数)，即为单调增函数．解由题设知为严格单调增函数，于是当x∈(0，1)时，由于g(x)是恒不为零的可导函数，因此g(x)连续，从而g(x)保持恒定的符号，故g(x)g(1)＞0．于是由得到f(x)g(1)＜f(1)g(x)．5、已知f(x)在x=0处的某邻域内二阶连续可导，且其中n为大于1的正整数，则()．A、x=0为f(x)的极大值点B、x=0为f(x)的极小值点C、(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：利用所给极限希望能推出结果：据此即可判定选项的正确性．解一即由上述极限可知，在x=0的左右两侧f″(x)要改变符号，故(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点．解二由解一中的式①进而得到f″(0)=0，f″(0)=一n≠0．由此可知(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点．注意应记住下述结论：(1)若f′(x0)=0，f″(x0)=0，但f′″(x0)≠0，则点(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点；(2)若f″(x)在点x=x0处连续，且，则f″(x0)=0，f′″(x0)=A．因此当A≠0时，(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．6、在直角坐标系xOy中，区域令x=rcosθ，y=rsinθ，则直角坐标系中的二重积分可化为极坐标系(，一，θ)中的累次积分()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：先画出积分区域，将x2+y2≤2x及用极坐标表示．应注意由得到，故θ=π／3为积分下限．解积分区域D如下图所示．由于x2+y2=2x的极坐标方程为的极坐标方程为，故D的极坐标表示为于是7、要使α1=[1，一1，1，1]T，α2=[8，一6，1，0]T是齐次方程组AX=0的基础解系，则系数矩阵A可以是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵的方法如下：(1)以所给的基础解系为行向量作矩阵B；(2)解方程组BX=0，求出其基础解系；(3)以(2)中所求出的基础解系中的向量为行向量，作矩阵C，则该矩阵C即为所求．因基础解系不唯一，在选项中如果没有矩阵C，这时也可用他法(如排他法)求之．解一令矩阵求BX=0的基础解系．因取基础解系为α1=[5，7，2，0]T，α2=[3，4，0，1]T，则所求的矩阵A为解二用排除法确定选项．因α1，α2为AX=0的基础解系，故N一秩(A)=4一秩(A)=2，即秩(A)=2．而秩(B)=秩(A)，故秩(B)=2．排除(A)、(B)．又α2=[8，一6，1，0]不满足(D)中第2个方程4x1+5x2+x4=0，也应排除(D)．8、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22一4x32一4x1x3—2x2x3的标准形为()．A、2y12+y22一7y32B、一2y12一y22一3y32C、一2y12+y22D、2y12+y22+3y32标准答案：A知识点解析：解一因f(0，0，1)=一4＜0，故f不正定．又因f(1，0，0)=2＞0，故f不负定．所以(B)、(D)不能入选．又因二次型f的矩阵为而∣A∣≠0，故秩(A)=3，所以(C)不正确．解二用配方法求之．令则f(x1，x2，x3)=2yx12一yx22一7yx32．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：lnx知识点解析：对于同底数的两指数函数差的函数为求其极限，先用提公因式等法将其化为乘积形式，再用等价无穷小代换求之．解10、设y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，则标准答案：知识点解析：利用复合函数求导法则求之．解11、已知函数在x=0有一阶导数，则A=_______，B=_______．标准答案：1，一1知识点解析：利用函数在一点连续的定义及函数在一点可导的必要条件，可建立A与B的两个方程．联立解之，即可求得A与B的值．解因连续是可导的必要条件，所以f(0一0)=f(0+0)=f(0)，而f(0—0)=2A，f(0+0)=一2B，f(0)=一2B，故A=一B．又由．f′-(0)=f′+(0)，可得1+2A=9+6B．又因A=一B，故9—6A=1+2A，于是A=1，B=一1．12、设f′(1nx)=1+x，则f(x)=_______．标准答案：x+ex+c知识点解析：先作变量代换：lnx=t，再求不定积分．求解时要注意，结果中的任意常数c不能丢掉．解令lnx=t，则x=et，于是f′(t)=1+et．又即f(x)=x+ex+c．13、积分标准答案：知识点解析：可用调换积分次序法求之．解积分区域D如图所示．改换原积分的积分次序得到14、设A是三阶可逆矩阵，如果A-1的特征值是1，2，3，则∣A∣的代数余子式A11+A22+A33=_______．标准答案：1知识点解析：注意到A11+A22+A33；为三阶伴随矩阵A*的主对角线上的元素之和，它就是A*的迹，它等于A*的三个特征值之和，因而只需求出A*的三个特征值即可．解因为A-1的特征值为1，2，3，所以∣A-1∣=1×2×3=6，从而．又则，故A*的特征值为．故三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、标准答案：先将函数之差化为乘积，再用等价无穷小量代换求之．解根据有界函数乘无穷小仍为无穷小的结论，有知识点解析：暂无解析16、设a，b＞0，证明存在ξ∈(a，b)，使aeb一bea=(1一ξ)eξ(a一b)．标准答案：将左边的分子、分母同除以ab，归结证明可用柯西中值定理证之．证设f(x)=ex／x，g(x)=1／x．显然f(x)，g(x)在[a，b]上满足柯西中值定理的条件，故存在ξ∈(a，b)，使即aeb一bea=(1一ξ)eξ(a一b)．注意为找到使用柯西中值定理的两函数，有时需用两端点坐标的乘积(或其函数乘积)同除分子、分母，使之能化成两函数在端点处的差值比．知识点解析：暂无解析17、设(1)f(x)在[a，b](a＞0)上有连续的非负导数，且f(a)=1；(2)对任意x∈[a，b]，在曲线y=f(x)上从a到x这一段的弧长为求由x=a，x=b，y=0及y=f(x)所围图形绕z轴旋转的旋转体体积．标准答案：先由弧长的关系式求出f(x)的表示式，再由旋转体的计算公式求出其图形绕x轴旋转的旋转体体积．解先求出f(x)的表示式．由曲线弧长公式，有将上式两边对x求导，得到因而f′(x)=1(舍去f′(x)=一1，因题设f′(x)≥0)，解得f(x)=x+c．将f(a)=1代入上式得c=1—a，因而f(x)=x+1一a．故所求旋转体体积为知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)在(0，+∞)内连续，，且对所有x，t∈(0，+∞)，满足条件，求f(x)．标准答案：先利用变上限积分求导法，在所给方程两边对x求导，得到关于f(x)的阶微分方程，解之即可求得f(x)．解因在上式两端关于x求导得令x=1，得又，将其代入上式，有在等式两端再对t求导，得又t∈(0，+∞)，即得，于是将代入上式，得，则于是知识点解析：暂无解析19、解微分方程y2dx一(y2+2xy—x)dy=0．标准答案：可化为以x为因变量，y为自变量的一阶微分方程求之．解原方程可变形为解此一阶线性方程：知识点解析：暂无解析20、作出函数的图形．标准答案：先求y′得出函数的增减区间及极值，再求出二阶