江西省2020年高二数学上学期期中考试卷（八）

江西省2020年高二数学上学期期中考试卷（八）

（文科）

（考试时间120分钟满分150分）

一、单项选择题（共12题，每题5分，共60分）

1.命题“存在x（）GR,2*040"的否定是（）

A.不存在x（）GR,2x0>0B.存在x（）GR,2xo>0

C.对任意的xeR,2x<0D.对任意的xeR,2x>0

2.椭圆的长轴为2,离心率为J,则其短半轴为（）

A.立B.aC.爽D.6

22

3.若x>0,y>0,则“x2+y2>「是"x+y>l”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.己知数据X],X2,X3，…，Xn是武汉市n（n>3,n6N*）个普通职工的2014年的年收入，设这n

个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上比尔.盖茨的2014年的年收入Xn+i（约80

亿美元），则这n+1个数据中，下列说法正确的是（）

A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

5.经过抛物线y2=4x的焦点且垂直于直线3x-2y=0的直线1的方程是（）

A.3x-2y-3=0B.6x-4y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0

6.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两

个球同色的概率为（）

1112

A-2C-4D-5

7.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将

椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是（）

8.如图是11月6日下午高安二中红歌会比赛中七位评委为某班级打出的分数的茎叶图，去掉一个最

高分和一个最低分后所剩数据的平均分为85分，衅*的最小值为（

)

78

83a6b8

94

A.6B.7C.8D.9

9.某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：

x3456

y2.5344.5

据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为07

则这组样本数据的回归直线方程是（）

A.v=0.7x4-0.35B.v=0.7x+1C.y=0.7x+2.05D.；=0.7x4-0.45

10.如图，过抛物线x2=4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2+（y-1）2=1于点A、B、C、D,则|AB冈CD|

的值是（）

11.程序框图如图，如果程序运行的结果为S=132,若要使输出的结果为1320,则正确的修改方法是

A.在①处改为k=13,s=lB.在②处改为K<10

C.在③处改为S=Sx(K-1)D.在④处改为K=K-2

2v2

12.如图，已知双曲线C：鼻-二厂1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点，以A为圆心的

ab2

圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q,若NPAQ=60。且加=3而，则双曲线C的离心率为()

二、填空题(共4题，每题5分，共20分)

13.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为

14.直线y=x+3与曲线工!-江江=1交点的个数为

94

15.如图，平行光线与水平地面成30。角，已知足球在地面上的影子是椭圆形，则该椭圆的离心率

16.高安二中高中年级早上7点早读，假设该校学生小x与小y在早上6：30-6：50之间到校且每

人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小x比小y至少早5分钟到校的概率为.

三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）

17.已知命题p：对1],不等式a2-5a-恒成立；命题q：不等式x2+ax+2<0有

解.若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围.

18."世界睡眠日”定在每年的3月21日.2015年的世界睡眠日主题是“科学管理睡眠"，以提高公众

对健康睡眠的自我管理能力和科学认识.为此某网站2015年3月13日到3月20日持续一周的在线

调查，共有200人参加调查，现将数据整理分组如题中表格所示.为了对数据进行分析，采用了计算

机辅助计算.分析中一部分计算见算法流程图.

序号分组组中值频数频率

(i)睡眠时间(m,)（人数）（储

1[4,5)4.580.04

2[5,6)5.5520.26

3[6,7)6.5m0.30

4[7,8)7.5560.28

5[8,9)8.520n

6[9,10]9.540.02

（1）求表格中m与n的值

（2）求输出S的值

（3）S的统计意义是什么？

19.已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2-4bx+l.

（1）设集合P={1,2,3}和、={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,

求函数y=f（x）在区间［1,+8）上是增函数的概率；

'x+y-8<0

（2）设点（a,b）是区域x〉0内的随机点，求y=f（x）在区间［1,+-）上是增函数的概率.

卜y>0

20.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5.甲先从箱

子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小

球.

（I）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同为平局），求甲获胜的概率；

（II）若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

22I-

21.已知椭圆二7=1（a>b>0）的右焦点为F,椭圆过（2,72）且离心率为乂2,

2,2v乙9

ab4

（1）求椭圆的标准方程;

（2）A为椭圆上异于椭圆左右顶点的任意一点，B与A关于原点O对称，直线AF交椭圆于另外一

点C,直线BF交椭圆于另外一点D,

①求直线DA与直线DB的斜率之积

②判断直线AD与直线BC的交点M是否在一条直线上？说明理由.

22.已知A,B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P.

（I）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A,B两点的纵坐标之积；

（II）若点P的坐标为（4,0）,弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在,

请说明理由.

参考答案

一、单项选择题

1.解：根据特称命题的否定是全称命题，得；

命题"存在x°eR,2x()40”的否定是

"对任意的xGR,都有2X>0”.

故选：D.

2.解：由已知可得：a=l,£金，

a2

.*.c=—.

2

.•.b2=a2-c2T

4

...b考，

故选：c.

3.解：若x2+y2>],因为x>0、y>0,所以(x+y)2=x2+y2+2xy>x?+y2>1,'x+y〉1成立，故充

分性成立，

可取x=y=1,使x+y>l成立，而x2+y2>l不能成立，故必要性不成立

综上所述，x2+y2>1"是"x+y>1”充分不必要条件

故选：B

4.解：•.•数据X],X2,x3,Xn是武汉市普通职工n(n>3,n£N*)个人的年收入,

而Xn+i为世界首富的年收入，则Xn+i会远大于X],X2，X3,…，xn,

故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，

但由于数据的集中程序也受到Xn+i比较大的影响，而更加离散，则方差变大.

故选：B.

5.解：设垂直于直线3x-2y=0的直线1的方程为2x+3y+c=0,

由于直线1经过抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),

所以c=-2.

故选C.

6.解：现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，共有4种结果(红，红)(红，白)(白，

红)(白，白)

记"取出的两个球同色”为事件A,则A包含的结果有(白，白)(红，红)2种结果

由古典概率的计算公式可得P(A)=]

故选：A

7.解：：M,N是双曲线的两顶点，M,O,N将椭圆长轴四等分

二椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍

•••双曲线与椭圆有公共焦点，

双曲线与椭圆的离心率的比值是2

故选B.

8.解：•.•由题意知，选手的分数去掉一个最高分和一个最低分有有83,80+a,86,80+b,88,87,

...选手的平均分是J(83+80+a+86+80+b+88)=85,

5

:.a+b=8,

[(a+b)(痔)=1(40+陶>1(40+2,为卜33=%

故选：D.

9.解：设回归直线方程；=0.7x+a,由样本数据可得，彳=4.5,y=3.5.

因为回归直线经过点0,y),所以3.5=0.7x4.5+a,解得a=0.35.

故选A.

10.解：方法一：特殊化，抛物线x2=4y的焦点是F(0,1),

取过焦点的直线y=l,依次交抛物线与圆x2+(y-1)2=1的点是

A(-2,1)、B(-1,1)、C(1,1)、D(2,1),

.e.|AB|x|CD|=lxl=l；

法二：•・,抛物线焦点为F(0,1),

设直线为y=kx+l,

直线与x2=4y联立得：

y2-(4k2+2)y+l=O；

V|AB|=|AF|-l=yA)

|CD|=|DF|-l=yB；

.•.|AB|.|CD|=yAyB=L

故选：D.

11.解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题,

第一次乘入的数是12,以后所乘的数依次减少1,

由于1320=10x11x12,

故判断框中应填ks9,或者k<10

故：B.

12.解：因为NPAQ=60。且了=3而，

所以4QAP为等边三角形，

设AQ=2R,则OP=R,

bI-ab|

渐近线方程为ylx,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=R-；

aVa'+b”

、I-ab|.

由勾股定理可得(2R)2-R2=(J2匕2)2，

所以(ab)2=3R2(a2+b2)①

在△OQA中，(殂)2+(2R)2一屋二，所以7R2=a2②

2-3R-2R2

①②结合c2=a2+b2,可得e-

a2

故选：B.

二、填空题

13.解：抛物线y=ax2的标准方程是x2」y,

则其准线方程为y=-*2,

所以a=-£.

故答案为：

O

22

14.解：当行0时一，曲线方程为g-fl,图形为双曲线在y轴的右半部分;

22

当x<0时，曲线方程为卷+三_=1，图形为椭圆在y轴的左半部分；如图所示,

由图可知，直线y=x+3与曲线工!-以让=1交点的个数为3.

94

故答案为3.

15.解：已知桌面上有一个球，半径为R,一束平行光线与桌面成8(0/y)角,

则球在桌面上的投影椭圆的离心率e=cos0.

如图，h和12是两条与球相切的光线，分别切于点A和点C,分别与桌面交于点B和点D,则AC就

是球的直径，BD的长就是椭圆的长轴长.过点A作AE〃BD,交%于点E,则BD=AE.在RtaAEC

中，因为NAEC=8,所以AE-PR,即..R,

又因为b=R,所以c：

VsintJsinD

所以e=cos9=cos30°=^-^.

2

故答案为：吗

2

16.解：设小x到校的时间为x,小y到校的时间为y.

(x,y)可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Q={(X,y|0<x<20,04y<20}是一个矩

形区域，对应的面积S=20x20=400,

则小x比小y至少早5分钟到校事件A={x|y-X25}作出符合题意的图象,

则符合题意的区域为^ADE,联立MS得产产

即D(15,20),

[y=201y=20

y一x=5(x=0

联立1得,即E(0,5),

.x=0{y=5

则S△ADE=~1X[5X]5=2；§

225

几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=2—.

・'一

故答案为：

三、解答题

17.解：Vm£[-1,1],

3],

,对m£[-1,1],不等式a2-5a-32｛屋+8怛成立，可得a?-5a-323,

...a>6或aW-1.

故命题p为真命题时，a>6或aV-1.

又命题q：不等式x2+ax+2<0有解，

/.A=a2-8>0,

；.a>2加或a<-272-

从而命题q为假命题时，-2j%a42&,

二命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为-2后aS-1.

18.解：(1)m=200x0.30=60,n=4^7=0.1

(2)首先要理解直到型循环结构图的含义，输入m|,力的值后，

由赋值语句：S=S+mi・fi可知，流程图进入一个求和状态.

令药m畴(i=l,2,....6),数列出｝的前i项和为T”

即：T6=4.5x0.04+5.5x0.26+6.5x0.30+7.5x0.28+8.5x0.10+9.5x0.02=6.70,则输出的S为6.70.

(3)S的统计意义是参加调查者的平均睡眠时间或参加调查者的睡眠时间的期望值.

19.解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，

•••试验发生包含的事件是3x5=15,

函数f(x)=ax2-4bx+l的图象的对称轴为

a

要使f(x)=ax2-4bx+l在区间［1,+8)上为增函数，

当且仅当a>0且辿<1，即2b4a

a

若a=l则b=-1,若a=2贝ijb=-1,1；若a=3则b=-1,1；

・•・事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

...所求事件的概率为《

lbJ

(2)由(I)知当且仅当2bva且a>0时，

函数f(x)=ax2-4bx+l在区是间［1,+8)上为增函数,

a+b-8<0

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为｛(a,b)|a>0]

b>0

构成所求事件的区域为三角形部分

a+b-8=0

由a得交点坐标为(芋，T)，

933

20.解：用(x,y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本

事件，则基本事件有：(1,1),(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,1)、(2,2)、

(2,3)、(2,4)、(2、5)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3、5)、(4,1)、

(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)

共25个；

(1).则事件A包含的基本事件有：(2,1)、(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)、(4,3)、

(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、共有10个；

则P(A)=笑=4)

255

(2).设：甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有：事件B所包含的

基本事件有：(1,1),(1,2)、(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2.3),(3,1),

(3,2),(4,1)共有10个；

则p(B)-%2

255

所以P(C)=1-P(B)=1

因为P(B)wP(C),所以这样规定不公平.

21.(1):•离心率为迤，...£=^，a2=2b2…

2a2

将A(2,&)代入椭圆方程得告角=1

解得@2=8,b2=4

故所求椭圆的标准方程为(+*=1

(2)①设A(xi，yp,D(X2，y2)»

,y2*yiyo+yi

贝-yi)'kDA-kDB=,'77^-=—~2

x2X1x2x1X2x1

•:A,D都在椭圆上，二x；+2y；=8，x介2。=8

.亚-y源-统一(4-甘)=[(x：T)••,kDA・kDB=-,

②M在定直线x=4上....

y1xi+2

VkDB=kBF=7^+2，kDA=~

xi+2