人教版高中数学必修第二册8.2 立体图形的直观图 课件

8.2立体图形的直观图必备知识·自主学习1.直观图(1)定义:观察者站在某一点观察一个___________获得的图形.(2)本质:把不完全在同一平面内的点的集合,用同一平面内的点表示.立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.空间几何体【思考】图形的形状与其直观图一定一样吗?提示:图形的形状与其直观图往往不完全一样.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴与y′轴,两轴交于O′,且使∠x′O′y′=_____(或______),它们确定的平面表示水平面.(2)画线:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于______________的线段.(3)取长度:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持___________,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的_____.45°135°x′轴或y′轴原长度不变一半【思考】

x、y轴上的线段在直观图中的位置、长度是怎样的?提示:分别在x′,y′轴上,在x′轴上的长度不变;在y′轴上的长度变为原来的一半.3.空间几何体直观图的画法(1)画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面:平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中_______和_____都不变.(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为_____.平行性长度虚线【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)垂直的线段在直观图中仍然垂直. (

)(2)菱形的直观图仍然是菱形. (

)(3)梯形的直观图仍然是梯形. (

)提示:(1)×.垂直的线段在直观图中不一定垂直.(2)×.相等的线段在直观图中不一定相等.(3)√.平行的线段在直观图中仍然平行,因此梯形的直观图仍然是梯形.2.利用斜二测画法得到的:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;以上结论,正确的是 (

)

A.①② B.① C.③ D.①②③【解析】选A.由斜二测画法规则知①正确;平行性不变,故②正确;正方形的直观图是平行四边形,③错误.3.(教材二次开发:综合运用改编)如图,正方形ABCD的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是 (

)

A.4+2 B.8C.2(1+) D.2(1+)【解析】选A.依题意,AD=1,AC=,建立如图直角坐标系xA′y,在y轴上截取A′D′=2,在x轴上截取A′C′=,过C′作y轴的平行线,截取C′B′=2,则四边形A′B′C′D′为正方形ABCD的原图.A′B′=C′D′=所以原图形的周长是2×2+2×=4+2.关键能力·合作学习类型一平面图形的直观图(直观想象)【题组训练】1.如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,其中A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,且A′B′=A′C′,那么△ABC是 (

)

A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.钝角三角形2.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,则原图形是 (

)A.正方形B.矩形C.菱形D.不是矩形或菱形的平行四边形3.画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图.【解析】1.选B.由斜二测画法,得∠x′O′y′=135°,因为A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,故∠B′A′C′=135°,所以∠BAC=90°,并且横不变,纵减半,所以AC=2AB.2.选C.如图,在原图形OABC中,应有OD=2O′D′=2×2=4(cm),CD=C′D′=2cm,

所以OC==6(cm),所以OA=OC,故四边形OABC是菱形.3.四边形ABCD的直观图如图所示:【解题策略】关于斜二测画法作图

(1)首先在原图中建立直角坐标系,一般采用对称建系,或尽可能将图形中的边、顶点落在坐标轴上.(2)建立斜二测坐标系,先作坐标轴上的点、与坐标轴平行的线段,原则是“横不变,纵减半”.(3)对于不与坐标轴平行的线段,可通过在原图中作辅助线的方法确定在直观图中的位置.类型二空间几何体的直观图(直观想象)【典例】如图是一个空间几何体的三视图,试用斜二测画法画出它的直观图.【思路导引】首先根据三视图想象出几何体的形状,再利用图中尺寸作图.【解析】由题图可知图中几何体是正六棱台,画法如下:(1)画轴:画x′轴、y′轴、z轴,使∠x′O′y′=45°,∠x′O′z=90°(如图1)(2)画底面:以O′为中心,在x′O′y′坐标系内画正六棱台下底面六边形的直观图ABCDEF.在z轴上取线段O′O1等于正六棱台的高;过O1画O1M、O1N分别平行于O′x′、O′y′,再以O1为中心,画正六棱台上底面六边形的直观图A′B′C′D′E′F′.(3)成图:连接AA′,BB′,CC′,DD′,EE′,FF′,并且加以整理,就得到正六棱台的直观图(如图2).【解题策略】画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可.【跟踪训练】已知某几何体的三视图如图,请画出它的直观图(单位:cm).【解析】画法:(1)建系:如图①,画x轴,y轴,z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底:在x轴上取线段OB=8cm,在y轴上取线段OA′=2cm,以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.(3)定点:在z轴上取线段OC=4cm,过C分别作x轴,y轴的平行线,并在平行线上分别截取CD=4cm,CC′=2cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.(4)成图:连接A′C′,BD,B′D′,并加以整理,就得到该几何体的直观图(如图②).类型三斜二测画法的应用(数学运算)角度1计算原图中的量

【典例】(2020·石嘴山高一检测)如图所示,四边形ABCD为一平面图形的直观图,AB=2,AD=2BC=4,AD∥BC,AB∥y轴,AD∥x轴,则原四边形的面积为 (

)A.4 B.8 C.12 D.10【思路导引】先按照已知数据还原出原图形,再求面积.【解析】选C.画出四边形ABCD的原图形,如图所示,

由直观图中,AB=2,AD=2BC=4,AD∥BC,则原四边形A′B′C′D′为直角梯形,且A′B′=2AB=4,A′D′=2B′C′=4,所以原图形的面积为S=×(A′D′+B′C′)×A′B′=×(4+2)×4=12.

【变式探究】将本例中的直观图变为如图的正方形A′B′C′D′,边长为1,试求出原图形的面积.【解析】依题意得,直观图A′B′C′D′的面积S直=1,设原图形面积为S原,则所以,所以S原=2.角度2计算直观图中的量

【典例】(2020·衢州高一检测)已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为 (

)

【思路导引】根据原图与直观图中横、纵线段的比例关系求值.【解析】选D.如图所示,直观图△A′B′C′的高为h=C′D′sin45°=CDsin45°=×2×sin60°×sin45°=,底边长A′B′=AB=2,

所以△A′B′C′的面积为:S=A′B′·h=×2×=.【解题策略】1.直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.2.直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′=S或S=2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.【题组训练】1.(2020·厦门高一检测)用斜二测画法表示水平放置的△ABC的直观图,得到如图所示的等腰直角△A′B′C′.若点O′是斜边B′C′的中点,且A′O′=1,则原图形△ABC中BC边上的高为 (

)A.1 B.2 C. D.2

【解析】选D.由直观图是等腰直角△A′B′C′,∠B′A′C′=90°,A′O′=1,所以A′B′=;根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半,如图所示,

所以△ABC的高为AB=2A′B′=2.2.(2020·南昌高一检测)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD=BO=1,△AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点,试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积

.

【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1,梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形,且上底CD和下底AB的长度都不变,如图所示,

在直观图中,O′D′=OD,梯形的高为D′E′=,于是梯形A′B′C′D′的面12×2×64=64.积为S=

答案:立体图形的直观图核心知识方法总结核心素养易错提醒1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：画轴——取点——连线成图2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：画轴——画底面——画侧棱——连线成图在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．

(1)作直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变(2)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且长度画成原来的一半(3)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．1.数学抽象：斜二测画法的理解；2.数学运算：与直观图还原的有关计算；3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.课堂检测·素养达标1.对于用斜二测画法所得的直观图,以下说法正确的是 (

)A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.相等的角在直观图中仍相等D.正三角形的直观图一定为等腰三角形【解析】选B.根据斜二测画法的要求知,正方形的直观图为平行四边形.2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图,正确的是图中的 (

)

【解析】选C.正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.3.(教材二次开发:复习巩固改编)