新高考数学一轮复习第7章 第05讲 空间向量及其应用 讲（教师版）

第05讲空间向量及其应用(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：空间向量的线性运算题型二：共线、共面向量定理的应用题型三：空间向量的数量积及其应用角度1：求空间向量的数量积角度2：利用数量积求长度角度3：利用数量积求夹角角度4：利用向量解决平行和垂直问题角度5：向量的投影和投影向量题型四：利用空间向量证明平行与垂直第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：空间向量的有关概念1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．2、几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为SKIPIF1<0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量SKIPIF1<0长度相等而方向相反的向量，称为SKIPIF1<0的相反向量，记为SKIPIF1<0共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量知识点二：空间向量的有关定理1、共线向量定理：对空间任意两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要条件是存在实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（1）共线向量定理推论：如果SKIPIF1<0为经过点SKIPIF1<0平行于已知非零向量SKIPIF1<0的直线,那么对于空间任一点SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的充要条件是存在实数SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0①，若在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，则①可以化作：SKIPIF1<0（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点SKIPIF1<0，空间中三点SKIPIF1<0共线的充要条件是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<02、共面向量定理如果两个向量SKIPIF1<0不共线，那么向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0共面的充要条件是存在唯一的有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0（1）空间共面向量的表示如图空间一点SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0内的充要条件是存在有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．或者等价于：对空间任意一点SKIPIF1<0，空间一点SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0内（SKIPIF1<0四点共面）的充要条件是存在有序实数对SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，该式称为空间平面SKIPIF1<0的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．（2）拓展对于空间任意一点SKIPIF1<0，四点SKIPIF1<0共面（其中SKIPIF1<0不共线）的充要条件是SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．3、空间向量基本定理如果向量三个向量SKIPIF1<0不共面，那么对空间任意向量SKIPIF1<0存在有序实数组SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0知识点三：空间向量的数量积1、空间两个向量的夹角（1）定义：如图已知两个非零向量SKIPIF1<0，在空间任取一点SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则么SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的夹角，记SKIPIF1<0.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）（2）范围：SKIPIF1<0．特别地，（1）如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0互相垂直，记作SKIPIF1<0．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定SKIPIF1<0与任何向量SKIPIF1<0都是共线的，即SKIPIF1<0．两非零向量的夹角是唯一确定的．（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量SKIPIF1<0所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为SKIPIF1<0，(1)向量夹角的范围是0<<SKIPIF1<0><SKIPIF1<0，异面直线的夹角SKIPIF1<0的范围是0<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，(2)当两向量的夹角为锐角时，SKIPIF1<0；当两向量的夹角为SKIPIF1<0时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，SKIPIF1<0.2、空间向量的数量积定义：已知两个非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量积，记作SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.3、向量SKIPIF1<0的投影3.1．如图(1)，在空间，向量SKIPIF1<0向向量SKIPIF1<0投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面SKIPIF1<0内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量SKIPIF1<0共线的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0称为向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量．类似地，可以将向量SKIPIF1<0向直线SKIPIF1<0投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量SKIPIF1<0向平面SKIPIF1<0投影，就是分别由向量SKIPIF1<0的起点SKIPIF1<0和终点SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0称为向量SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影向量．这时，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角就是向量SKIPIF1<0所在直线与平面SKIPIF1<0所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数量积等于SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0的乘积或等于SKIPIF1<0的长度SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0的乘积.5、数量积的运算：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0(交换律)．（3）SKIPIF1<0(分配律).知识点四：空间向量的坐标表示及其应用设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，空间向量的坐标运算法则如下表所示：数量积SKIPIF1<0共线（平行）SKIPIF1<0SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均非零向量）模SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0夹角SKIPIF1<0SKIPIF1<0知识点五：直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量如图①,SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0的方向向量,在直线SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的任意一点,则点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的充要条件是存在实数SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<02、平面法向量的概念如图，若直线SKIPIF1<0，取直线SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，我们称SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量；过点SKIPIF1<0且以SKIPIF1<0为法向量的平面完全确定，可以表示为集合SKIPIF1<0．3、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0选向量：选取两不共线向量SKIPIF1<0列方程组：由SKIPIF1<0列出方程组解方程组：解方程组SKIPIF1<0赋非零值：取其中一个为非零值（常取SKIPIF1<0)得结论：得到平面的一个法向量.知识点六：空间位置关系的向量表示1、空间中直线、平面的平行设直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的方向向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线线平行SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)线面平行SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0面面平行SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<02、空间中直线、平面的垂直设直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方向向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则线线垂直SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0线面垂直SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0面面垂直SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0⇔SKIPIF1<0第二部分：课前自我评估测试第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·高二课时练习）若平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一个法向量分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交但不垂直

D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合【答案】A由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0//SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故选：A2．（2022·全国·高二课时练习）设平面SKIPIF1<0法向量为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则k等于()A．2

B．SKIPIF1<0

C．4

D．SKIPIF1<0【答案】C由题可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：C3．（2022·全国·高二单元测试）若直线l的方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则直线l与平面SKIPIF1<0的位置关系是__________________．【答案】平行由题可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线l与平面SKIPIF1<0的位置关系是平行故答案为：平行4．（2022·全国·高二课时练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是直线SKIPIF1<0的一个方向向量．若SKIPIF1<0，则()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】D由题可知：SKIPIF1<0故选：D5．（2022·全国·高二课时练习）若SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，则下列向量中能作为平面SKIPIF1<0的法向量的是()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】D由题可知：SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，向量SKIPIF1<0故选：D第三部分：典型例题剖析第三部分：典型例题剖析题型一：空间向量的线性运算典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体SKIPIF1<0中，给出下列各式：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0SKIPIF1<0．③SKIPIF1<0SKIPIF1<0．④SKIPIF1<0SKIPIF1<0．其中运算结果为向量SKIPIF1<0的共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D对①，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；对②，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；对③，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；对④，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴以上4个算式运算的结果都是向量SKIPIF1<0．故选：D．例题2．（2022·四川省绵阳南山中学高二期末（理））如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由题意得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.故选：A题型归类练1．（2022·全国·高二期末）如图所示，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0可表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D解：因为在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D.2．（2022·全国·高二单元测试）如图所示，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.【答案】2解：因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：2.3．（2022·全国·高二开学考试）如图，在三棱锥P—ABC中，M是侧棱PC的中点，且SKIPIF1<0，则x＋y＋z的值为______．【答案】0在三棱锥P—ABC中，M是侧棱PC的中点，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案为0.题型二：共线、共面向量定理的应用典型例题例题1．（2022·天津·南开中学高一期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,因为B,P,D三点共线，所以SKIPIF1<0，故选：D例题2．（2022·山西太原·高一期中）在SKIPIF1<0中，点D在BC上，且SKIPIF1<0，过D的直线分别交直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：依题意SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；故选：C例题3．（2022·全国·高二专题练习）已知在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为空间任意两点，如果有SKIPIF1<0，那么点SKIPIF1<0必在平面_________内.【答案】SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四点共面，即点SKIPIF1<0必在平面SKIPIF1<0内．故答案为：SKIPIF1<0．例题4．（2022·全国·高二课时练习）对于空间任意一点SKIPIF1<0和不共线的三点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有如下关系：SKIPIF1<0，则（

）A．四点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必共面B．四点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必共面C．四点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必共面D．五点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必共面【答案】B因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以四点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面．故选：B题型归类练1．（2022·全国·高二）已知空间SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，且其中任意三点均不共线，设SKIPIF1<0为空间中任意一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四点共面，且其中任意三点均不共线可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0故选：D2．（2022·江苏·高二课时练习）A，B，C三点不共线，对空间内任意一点O，若SKIPIF1<0，则P，A，B，C四点（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断是否共面【答案】B因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由空间向量共面定理可知，SKIPIF1<0共面，则P，A，B，C四点一定共面故选：B3．（2022·全国·高二）若空间中任意四点O，A，B，P满足SKIPIF1<0，其中m＋n＝1，则（

）A．P∈AB B．P∉ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对【答案】A因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.故选：A.4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高一期中）在△ABC中，点M是SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，P为SKIPIF1<0上一点，向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立．所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：B题型三：空间向量的数量积及其应用角度1：求空间向量的数量积典型例题例题1．（2022·全国·高二）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D例题2．（2022·上海长宁·二模）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________．【答案】2因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故答案为：2例题3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A解：因为三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.例题4．（2022·福建·莆田第二十五中学高二期中）如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】BSKIPIF1<0SKIPIF1<0故选：B题型归类练1．（2022·广东·高三阶段练习）已知正四面体SKIPIF1<0的棱长为1，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.根据向量的减法法则，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由题意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D.3．（2022·全国·高二单元测试）已知SKIPIF1<0是长方体外接球的一条直径，点SKIPIF1<0在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D设外接球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0是球心，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D4．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面SKIPIF1<0内有两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：C.5．（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．-5【答案】C因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C6．（2022·吉林·长春市第二十九中学高二阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=________.【答案】SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．角度2：利用数量积求长度典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A．例题2．（2022·全国·高二课时练习）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0内的动点，且满足SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B如图所示，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以线段AM的长的最小值为SKIPIF1<0．故选：B．例题3．（2022·江苏常州·高二期中）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为3，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0如图所示，以点SKIPIF1<0为坐标原点，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.例题4．（2022·全国·高二课时练习）在空间直角坐标系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值是______.【答案】SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，-SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（当SKIPIF1<0时取最小值）故答案为：SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为（

）．A．6 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即AC1的长为SKIPIF1<0.故选：B2．（2022·河南平顶山·高二期末（理））在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B解：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B.3．（2022·江苏连云港·高二期中）已知空间中非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）．A．SKIPIF1<0 B．97 C．SKIPIF1<0 D．61【答案】C∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：C.4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．9 D．3【答案】D在平行六面体SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：D.5．（2022·贵州贵阳·高二期末（理））在空间直角坐标系中，已知点ASKIPIF1<0，若点P满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0解：设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<06．（2022·浙江·玉环市玉城中学高二期中）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________________【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022·全国·高二）设空间向量SKIPIF1<0是一组单位正交基底，若空间向量SKIPIF1<0满足对任意的SKIPIF1<0的最小值是2，则SKIPIF1<0的最小值是_________．【答案】SKIPIF1<0以SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0是任意值，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0是任意值，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.角度3：利用数量积求夹角典型例题例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为______________.【答案】SKIPIF1<0设SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0由题意得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0例题3．（2022·江苏宿迁·高二期中）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0故选：D题型归类练1．（2022·全国·高二）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C2．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二阶段练习）如图，在正方体SKIPIF1<0中，点P满足SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，SKIPIF1<0为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为3，则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，故选：B3．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，故选：A.4．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）在空间直角坐标系SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．17或SKIPIF1<0【答案】D由题意，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D.5．（2022·吉林·长春外国语学校高二开学考试）已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由题设，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：C.角度4：利用向量解决平行和垂直问题典型例题例题1．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是直线SKIPIF1<0