高一第二学期必修第二册-平面向量单元综合（解析版）

高一第二学期必修第二册

巩固提升篇一平面向量单元综合

一、选择题

1.已知点A(1,0),向量标=(3,-2)，若族=2亚，则点P的坐标为()

A.(6,-4)B.(7,-4)C.(-5,4)D.-1)

【答案】B

【解析】设点P(x,y),^B=(3,-2)，A(1，0),^p=(x-1,y),AP=2AB，

(x-1,y)=2(3,-2)=(6,-4),

•••(xT=6,解得

ly=-4｛总

，P点坐标为(7,-4).

故选：B.

2.已知向量方=(O,l),向量B=1芋QJ,则汗-5与方的夹角为()

■兀c兀八2兀5兀

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

rr「豆

因为。―6=一千，设所求角度为巴

卜_八r1

则cosL又。«。，句，所以6=f

"a：-b\-^\1x123

故选:B.

3.已知向量万=(T,2),B=(X,4),且］J_B，则|同=()

A.275B.473

C.475D.8

1

【答案】c

【解析】因为方=（T，2）,B=（X,4）,万，B，.•.x=8,1=（8,4），W=4指

4.已知而，正是非零向量，（AB-2.AC）±AB,（AC-2.AB）±AC,则&45c的

形状为（）

A.等腰（非等边）三角形B.直角（非等腰）三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】V（AB-2AC）±AB,:.（AB-2AC）AB=Q,

即ABAB-2ACAB=0.

•.­(AC-2AB)±AC,(AC-2AB)-AC=0,

BPAC-AC-2AB-AC=0.

:.ABAB=ACAC=2ABAC,BP|AB|=|AC|.

--C°S&=橙器W'"60°'AABC为等边三角豚

5.设£,另为非零向量，则“|£+©=同+忖”是“z与石共线”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

若K+q=MI+W，则）与石共线，且方向相同，充分性；

当£与石共线，方向相反时，K+4阳+艮故不必要.

故选：A.

【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.

6.已知同=3,a与6的夹角为120。，则a在6方向上的投影向量的模为（）

A.-B.巫C.2D.2m

22

【答案】A

【解析】

,.•阿=3,a与6的夹角为120°,;.|a|cosl200=3x]-=在6方向上的投影

向量的模为3.

2

2

a+b+c

7.在中，A=60°,a=V13,则等于（

sinA+sinB+sinC)

2739C26b

A随B.D.2V3

•333

【答案】B

abcV132V39

【解析】由正弦定理sinAsinBsinC3

2V39..j2V39.2V39.「

a=---sinA^b=---sinBn，c=---sinC

333

则a+b+c(sinA+sinB+sinC)

sinA+sinB+sinCsinA+sinB+sinC

2V39

3

故选B.

8•向量Q,上c在正方形网格中的位置如图所示，若c=及+〃伙2,〃eR），则乙_（

A.2B.4C.5D.7

【答案】B

【解析】根据题意不妨取如图所示的两个互相垂直的单位向量4,电，则

a=-e1+e2,b=6e}+2e2,c=-et-3e2,因为c=及+〃伙X,〃eR),所以

J—A+6〃=—1

-ex-3e,=2(-%+e2)+〃(6q+2e,)=(-2+6//)^+(2+2//)e2,所以[2+2〃=-3解

3

9.在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,^.b2+c2=a2+bc^

sinB-sinC=sin2A,则AABC的形状是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰

直角三角形

【答案】C

【解析】在△力/中，角4、B、。所对的边分别为a、b、c,

JI

由于：0<NVn,故：.

由于:sin6sinC=sinM,利用正弦定理得：bc—d,

所以：Z）2+c2-2bc—^>,故：b—c,

所以：△力6。为等边三角形.故选:C.

10.八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所

示的正八边形ABCDEFG7/,其中|&|=1，给出下列结论：

FE

AB

①（51与质的夹角为?；②6D+6F=6E；③1&-。。1=与前1；④改在

JN

力上的投影向量为（其中1为与向同向的单位向量）.其中正确结论为

A.①B.②C.③D.④

【答案】C

【分析】

根据图形的特征进行判断即可.

【解析】

由图：正八边形ABCDEFGH,

因为&与质的夹角为十，故①错误;

4

ffA历f

因为OD+OE=±OE,故②错误；

2

因为|O4-0。|=|04|=5-|。〃|,故③正确；

因为&在ob上的投影向量与向量力反向，故④错误；

故选：c

【点睛】

本题主要考查向量的加减法及向量的投影向量等，属于简单题.

二、填空题

H.在△4?。中，若力=60。，a=4^3,b=4：y[2,则8等于.

【答案】45°

4镜X声「

.ARIL,r—4、abm.bsin/丫2\2「、，

[解析]由正弦定理知~-j——•/贝！Jsin夕==~~~r=-.又a）,,

sinAsinDa4g329

则给民所以方为锐角，故8=45°.

12.已知在平面直角坐标系中，A,B,。三点的坐标分别为（0,0）,（1,0）,

（2』），若品=亚，则点。的坐标为.

【答案】（U）

【分析】

设D（x,y）,求出面，而，即可根据向量相等求出点。的坐标.

【解析】

设D（x,y）,

则拓二（x,y）,前=（1,1）；

__X-1/、

因为配=诟，故=];即。（1,1）.

故答案为：（1,1）.

【点睛】本题考查向量的坐标表示，属于基础题.

13.已知向量I与石的夹角为120°,且同=忖=4,那么对3Z+B）的值为

5

【答案】-8

【分析】

先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得

【解析】

b-（3a+b^=3a-b+b=3x4x4xcos120°+42=-8.

故答案为：-8.

【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来

处理，本题属于基础题.

14.在△［阿中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c.若a=巾，A=60°,则sin

B=,c=.

【答案】手3

【解析】

由正弦定理号=段,得尊=告,

smAsmB组smB

2

所以sin^X红.

7

由余弦定理，cosA~a

得；喑，

所以c=3.

15.在AABC中，内角4B,。所对的边分别是a,b,c,若

c-2a,bsmB-asmA--asmC,贝！Jcos3=.

【答案】-

4

【解析】

因为Z?sin3-asinA='asinC,所以由正弦定理可得b1-a1=—ac.又c=2a,所以

22

b2=a2-\--ac=2〃,所以cosB="十°——-=—.

2lac4

16.已知正方形/为⑦的边长为2,点P满足第=g（黑+浅），贝!J|防|=

ULIULIU

PBPD=

【答案】非;-1

【解析】

6

方法一如图，由题意及平面向量的平行四边形法则可知，点户为理的中点,

,._UU1U1

在三角形分⑦中，|P0|=j5.cosZDPB=-cosZDPC=一一产，

uuruumuuruuw

/.PBPD=\PB\\PD\cosZDPB=lx

方法二以力为坐标原点，AB,助所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示

的平面直角坐标系，则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)，

uuniuunuumuuw

/.AP=-(AB+AC)=(2,1),P(2,l),PD=(-2,1),

UULUUU1_ULULILUU

PB=(0,-1),PD[=区PBPD=(0,-1).(-2,1)=-1.

三、解答题

17.已知a=(1,2),b=(1,-1).

(i)若夕为2M+5与汗-B的夹角，求e的值;

(2)若2N+5与妨-B垂直，求左的值.

7T

【答案】(1)0=-.(2)k=0；

4

【分析】

7

(1)因为万=(1,2),—)，求得2N+B=(3,3),万—6=(0,3),根据

八（2M+B）•（万一5）口口~r4/日生生

cos6=：二,即可求得答案；

|2a+b\\a-b\

（2）因为2N+5与妨-B垂直，可得（2M+5）•（依-5）=0,结合已知条件，即可

求得答案.

【解析】

（1）«=（1,2）,=（1,-1）,

2M+5=（3,3）,a—b=（0,3）>

.c°s*3+»m-5)9_41

|2a+b||a-b\3718-2

•・.0G[0,7l\

.­.e=-.

4

(2)V«=(1,2),=(1,-1)

:.k@-B=(k—l,2k+l),2a+b=(3,3)

2a+b与ka-b垂直

（3,3）•（女一1,2左+1）=0,

•.3k—3+6k+3=0,

解得：k=0.

【点睛】

本题主要考查了求向量的夹角和根据向量垂直求参数，解题关键是掌握向量垂

直求参数的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

18.已知向量彳=（1,2）,b=（-3,2）.

（1）求la+bl与la-bl；

（2）当k为何值时,向量kZ+%与之+3］垂直?

（3）当k为何值时，向量kZ+E与彳+3E平行？并确定此时它们是同向还是反

向？

8

【答案】(1)2掂，4；(2)-5；(3)1

3

【解答】(1)Va=(1,2),b=(-3,2),

|Z|2=5，|b|2=13>aeb=l；

.•,1+》=厅+2a，b+b2R5+2X]+13=2巡,

22=

bl=V；-2；-b+b^-2Xl+13=4；

(2)当向量ka+b与a+3b垂直时,(ka+b)'(a+3b)=0，

.•.kJ(3k+l)3+3,=0,

即5k+(3k+l)Xl+3X13=0,

解得k=-5；

.,.当k=-5时，向量小+E与之+3石垂直；

(3)当向量kW+E与之+3芯平行时，

则存在入，使武+%=入(a+3b)成立，

于是[卜=入，解得k=工；

l3X=l3

当k=3时，ka+b=-ia+b=4(喜3芯)，

333

.•.k=」时，向量kZ+E与；+3%平行且同向.

3

19.已知A、B、C为AABC的三内角，且其对边分别为。、b、c,若

acosC+(c+2Z?)cosA=0.

(1)求A.

(2)若。=2若，b+c=4,求AABC的面积.

9

【答案】(1)y;(2)

【解析】(1),.,^cosC+(c+2Z?)cosA=0,

由正弦定理可得：

sinAcosC+(sinC+2sinB)cosA=0,

sinAcosC+sinCcosA+2sinSeosA=0,

sin(A+C)+2sinBcosA=0,

sinB+2sinBcosA=0,

sinBw0,

/.cosA=-—,AG(0,^-),

(2)由〃=Z?+c=4,

由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA,

12=(Z?+c)2-2bc-2bccos—,

即有12=16-be,

/.be=4,

故AABC的面积为

„1...1..27r/-

S=—PCsinA=—x4xsin——=.

223

20.在A4BC中，角4B,C所对的边分别为a”,c,已知向量而=(处8匕)与元=

(cos4sinB)平行.

(1)求角A的大小；

(2)若a=巾,b=2,求A4BC的面积.

【答案】(1).-.-41(2)在

X2

【解析】(1)••・记〃元，asiziB—gbeosZ=0,

由正弦定理，得sinAsinB—y/3sinBcosA=0，

又sinBW0,・•.tanA=V3?

io

由于力<；

0<TT,-J

(2)由余弦定理,得a?=b2+c2—2bccosA,

,：a=近,b=2,4=g，

7=4+c2-2c,即。2-2c-3=0,

解得c=3或—1,

vc>0,・•・c=3,・•・S^ABC=|besinA

1V33V3

=-x2nx3ox—=—.

222

21在AABC中，a,仇。分别是三个内角A,3,C的对边，若6=3,。=4,。=25,

且a】b.

(1)求cos5及〃的值；

(2)求cos[23+的值.

【答案】（1）cosB=~,a=~-（2）J’衣.

3318

【分析】

3