新教材人教a版必修第二册第七章复数

第七章复数

7.1复数的概念

7.数系的扩充和复数的概念

新课程标准解读核心素养

1.通过方程的解，了解引进复数的必要性数学抽象

逻辑推理

・3K>需酸葡知看梳理

b情境导入

数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：

因为类似x+4=3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成

整数，使得类似x+4=3的方程在整数范围内有解：

因为类似2x=5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理

数，使得类似2x=5的方程在有理数范围内有解；

因为类似/=7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成

实数，使得类似f=7的方程在实数范围内有解.

［问题］我们已经知道，类似f=-l的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一

样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？

均新知初探

知识点一复数的有关概念

1.复数

(1)定义：形如历(a,〃GR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足i2=」.复

数a+历的实部是心虚部是生

(2)表示：复数通常用字母z表示，代数形式z=a+历(a,Z>GR).

2.复数集

(1)定义：全体复数所构成的集合C={a+Mla,匕6R}叫做复数集；

(2)表示：通常用大写字母&表示.

6想一想

1.复数，〃+“i(机，“GR)的实部是相，虚部是〃i,对吗？

提示：不对.

2.复数z=a+从(a,6GR)可以是实数吗？满足什么条件？

提示：匕=0时，复数为实数.

。做一做

1.复数z=2+5i的实部等于,虚部等于.

答案：25

2.若复数z=(2a—l)+(3+〃)i(aGR)的实部与虚部相等，贝U。=

解析：由题意知2a—1=3+。，解得“=4.

答案：4

知识点二复数的分类

1.对于复数z=a+bi(a,匕GR)而言:

(l)z为实数㈡6=0;

(2)z为虚数O6W0；

4=0,

(3)z为纯虚数O二

力¥().

2.集合表示：

。做一做

1.在复数l+2i,小一也，0,4i,—3—也i中，不是虚数的为.

答案：小一血，0

2.若复数z=(,〃-2)+(,〃+l)i是纯虚数，则实数,〃=.

答案：2

知识点三复数相等

设a,b,c,d都是实数，那么a+8i=c+diU>a=c且b=d.

・•>点一点•

在两个复数相等的条件中，注意前提条件是“，b,c,"GR,即当a,b,c,dCR时,

a+bi=c+di^a—c且6=d.若忽略前提条件，则结论不能成立.

。做一做

已知x,yWR，若x+3i=(j—2)i,则x+y=

解析：由题意知x=0,y—2=3,即)，=5,

Ax+j=5.

较享・5

…忽)殿.典国精析

复数的概念

［例1］(i)(多选)下列说法中，错误的是()

A.复数由实数、虚数、纯虚数构成

B.若复数z=3/n+2wi,则其实部与虚部分别为3，〃，2n

C.在复数z=x+yi(x,ydR)中，若xHO,则复数z一定不是纯虚数

D.若aGR,aWO,则(a+3)i是纯虚数

(2)(链接教科书第70页练习1题)分别指出下列复数的实部和虚部，并指出哪些是实数，

哪些是虚数，哪些是纯虚数.

5+小i,-2,y［2—i,一/，i2.

(DI解析］A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.

B错，只有当,%〃GR时，才能说复数z=3m+2M的实部与虚部分别为3机，2n.

C正确，复数z=x+yi(x,yWR)为纯虚数的条件是x=0且y#0,只要x#0,则复数z

一定不是纯虚数.

D错，只有当“GR,且4/一3时，(“+3)i才是纯虚数.

［答案］(l)ABD

(2)［解］5+小i的实部是5,虚部是小.

-2=-2+0i,二一2的实部是一2,虚部是0.

也一i的实部是血，虚部是一1.

一*=0+(一%二一的实部是0,虚部是一；.

i2=-l=-l+0i,的实部是一1,虚部是0.

-2,i?是实数；5+小i,也一i,一去是虚数，一;i是纯虚数.

复数概念的几个关注点

(1)复数的代数形式：若z=a+加，只有当a,bdR时，。才是z的实部，〃才是z的虚

部，且注意虚部不是历，而是人;

(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分;

(3)如果两个复数都是实数可以比较大小，否则是不能比较大小的；

(4)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类

题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.

[跟踪训练]

下列说法中，正确的是()

A.l-ai(aeR)是一个复数

B.形如。+历(6GR)的数一定是虚数

C.两个复数一定不能比较大小

D.若a>b,则a+i>6+i

解析：选A由复数的定义知A正确；当"GR,b=0时a+bi(6CR)表示实数，故B

项错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C项错误；”+i与〃+i不能比较

大小，故D项错误.

复数的分类

7.2—m—6

[例2](链接教科书第69页例1)当m为何实数时，复数z=〃?+3—+(m2-2w—15)i

是下列数？(1)虚数；(2)纯虚数.

|w+3W0,

|解I⑴当,二即机"5且，〃#一3时，复数z是虚数.

[m--2〃?-15WO,

m2—m—6

।6=0，

(2)当，〃?+3即〃?=3或一2时，复数z是纯虚数.

,/M2—27w—15^0,

I母题探究I

1.(变设问)本例中条件不变，当相为何值时，复数z为实数？

[w+3#0,

解：当,即山=5时，复数z是实数.

[w2—2ZM—15=0,

2.(变设问)本例中条件不变，当机为何值时，z>0.

nz2-m—6

~>0，

解：因为z>0,所以z为实数，需满足，—〃?m+3解得团=5.

15=0,

解决复数分类问题的方法与步骤

(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bwR)的形式，以确定实部和虚

部;

(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需

把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可；

(3)下结论：设所给复数为z=a+bi(a,Z>eR)：

①z为实数06=0；②z为虚数仁坨WO；

③z为纯虚数㈡a=O且bWO.

I跟踪训练|

+m-6

实数m取什么值时，复数z=+("-2股是下列数？

⑴实数；(2)虚数；⑶纯虚数.

m2—2m=O,

解：(1)当即"7=2时，复数Z是实数.

m丰0,

(加2—2加K0,

(2)当彳即mW0且时，复数z是虚数.

机2+加一6

=0,

(3)当jm即加=-3时，复数z是纯虚数.

、加2—2加#0,

两个复数相等

[例3](1)(链接教科书第70页练习3题)已知(>+7m+10)+(小一5〃?-14)i=0,求实

数m的值；

(2)已知x+y—xyi=24i—5,其中x,y《R，求x,y的值.

[m2+7ni+10=0,

[解](1)由已知得,

[m—5m-14=0,

解得m=-2.

(2)因为x,y£R,所以x+y£R,xy£R,

x+y=-5,

依题意,得

「孙=24,

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解;

(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，

同时这也是复数问题实数化思想的体现.

[跟踪训练]

已知i是虚数单位，若(3+5i)x+(2-i)y=17—2i,x,yGR,则x+y=()

A.6B.7

C.8D.-7

解析：选C由(3+5i)x+(2-i)y=17-2i,可得(3x+2)，)+(5x-y)i=17-2i,所以

3x+2y=17,\x=1,

•解得则x+yC.

[5x-y=~2,[y=7,

冒髓堂检测

1.复数(2+小)i的实部是()

A.2B.小

C.2+小D.0

解析：选D复数(2+小)i的实部是0,故选D.

2.“a=-2”是“复数z=(〃2—4)+(a+l)i(a,6@R)为纯虚数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选Aa=-2时，z=(22—4)+(—2+l)i=-i是纯虚数；z为纯虚数时，a2—4

=0,且a+IWO,即〃=±2.

・・・%=2”可以推出“z为纯虚