考研数学高数基础讲义

考研基础班高等数学讲义

目录

第一章函数、极限、连续......................................................1

§1.1函数................................................................1

§1.2极限................................................................6

§1.3连续...............................................................20

第二章一元函数微分学.......................................................26

§2.1导数与微分.........................................................26

§2.3导数的应用.........................................................43

第三章一元函数积分学......................................................49

§3.2定积分和反常积分...................................................63

§3.3有关变限积分和积分证明题...........................................69

§3.4定积分的应用.......................................................72

第四章常微分方程..........................................................77

§4.1基本概念和一阶微分方程.............................................77

§4.2特殊的高阶微分方程.................................................83

,,§43微?方程的应用.....................................................90

§5.1多元函数的概念、极限与连续性.......................................91

§5.2多元函数的偏导数与全微分...........................................94

§5.4多元函数的极值与最值..............................................101

高等数学

第一章函数、极限、连续

§1.1函数

（甲）内容要点

一、函数的概念

1.函数的定义

设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规划/,对每一个xeD,都能对应惟一的

一个实数y,则这个对应规划，称为定义在D上的一个函数，记为月（x）,称x为函数的自

变量，y为函数的因变量或函数值，D称为函数的定义域，并把实数集

z={y\y=/de。}

称为函数的值域。

2.分段函数

如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以

上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。

例如

x+1%<-1

y=/'（x）=-1<%<1

xX>\

%

是一个分段函数，它有两个分段点，X=-l和x=l,它们两侧的函数表达式不同，因此讨

论函数词X）在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、

右连续性和左、右导数。需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域

内皆连续这个定理。

3.隐函数

形如y=/（x）的函数称为显函数，由方程F（x,y）=0确定的y=兆）称为隐函数，有些隐

函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数

如果产女工）可以解出x=qp（y）是一个函数（单值），则称它为负的的反函数，记以

X=。有时也用y=J-|（%）表示。

二、基本初等函数

1.常值函数y=C（常数）

2.第函数y=xa（a常数）

3.指数函数y=ax（a>0,常数）

y=ex（e=2.7182...,无理数）

4.对数函数y=|Ogx（a>o,a^\常数）

1

高等数学

常用对数y=bg

自然对数y=\ogex=\nx

5.三角函数y=sinx;y=cosx;y=tanx;y=cotx;y=secx;y=escx.

6反三角函数y~arcsinx\y=arccosx;y=arctanx;y=arccotx.

基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。例如以后经常会用

11

limarctanx；limarctanx:limex；limex；limInx等等，就需要对y=arctanx,

x->+Q0

xf。XTO+xf(TxfCT

y=ex,y=\nx的图像很清晰。

三、复合函数与初等函数

1.复合函数

设y=/(«)定义域u

〃=g(x)定义域x,值域u*

如果L/*uU,贝y=/静)]是定义在X上的一个复合函数，其中"称为中间变量。

2.初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称

为初等函数。

四、函数的几种性质

1.有界性：设函数月(x)在X内有定义，若存在正数M,使xeX都有/(x)<M，则

称y(x)在X上是有界的。

2.奇偶性：设区间X关于原点对称，若对xeX，都有/(-x)=-/(x),则称/(x)

在X上是奇函数；若对x，都有/(-x)=/(x),则称/(x址上是偶函数。奇函

X

数的图像关于原点对称；偶函数图像关于y轴对称。

3.单调性：设/(在X上有定义，若对任意x,eXx2eXx,<

x)x2都有

/'(lx)<f(x2)Iff(x)>,次(称/(X)在上是单调增加的U单调减少的」I；若

X)J1X

对任2意/eX,xqX,x都尊f(x)</(x)l[f(x)>/(*)」，则称/(x)在X

上是单调不减U单调不增」I。

(注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。)

4.周期性：设/(在X上有定义，如果存在常数7*0,使得任意xeX

x)2

高等数学

x+TeX，都有/(x+T)=/(，则称/(是周期函数，称7为/(x的周期。)

“)由此可见，周期函数有无穷多个周期1)一般我们把其中的最小正周期称为周期。

(乙)典型例题

一、求函数的定义域

【例1】求函数/(x)=lnlnlnx+100-x2的定义域。

解InInInx要有定义，x>e,

100-x2要有定义，X2<100,X<10,

因此，/(的定义域为e,

x)(]

[例2]£?=x-U的定义域。

x+nx-5

解x-x要有定义，工之1和1=

0

1要有定义，xw5,xw4,xw6,

Inx-5

因此，定义域为0D1,u4,u5,u6,oo

{}[4)(5)(6)(+)

2

【例3】设/(x)的定义域为[-a,司(a>0),求/(x-)1的定义域。

解要求一。工工-1<a,PWl-a<x<\+a,

当a>IW,V1-<0,/.x«1+Q,则x<1+a

当0<a<1时，1-a>0,/.l-a<x<1+a

也即1一1+a或一-1-a

.10,<x<2

设式求/(x)=g(2x)+g(x-1的定义域，并求)

122,<x<4

解g(的定义域为04,,要求042x44,则04x42；要求OWx-144,

3

高等数学

二、求函数的值域

1

【例1】求歹=/、的值域。

解我们先求出反函数，它的定义域就是原来函数的值域。

2131,

331MT=3

WTin

y

1

x=31+3，它的定义域歹＞0,且ywl

Iny

所以原来函数的值域为（0,l）D（l,E）

三、求复合函数有关表达式

1.已知兀0和g（x）,求f[跃x)].

X1

[例I]已知求/

-/(x)-lJ

(%)=x—1

x11=x-l(xw1)

解/(x)-l=

x-1x-1

1x-1X-1

于是，J/(1)=(xH1,"2)

./(x)-lJ(1)—1x-2

X

【例2J设/(x)=，求/"("/(x))]=f"(x)

1+N

n重复合

f(x)XNX

解fx)=f[.f%+x2

1+/14-X22/

(x)]1+

2((x)

X

X(x)

若A，则A1w=k—1+

+2

221+kx

(x)\+kxi+z1+kx

(x)

X

2

l+(%+l)X

X

根据数学归纳法可知，对正整数

2

]+nr

2.已知以刈和y[g（x）]，求yU）.

【例1】设/(e*+l)=e2x+e+X,求兀V）.

4

高等数学

解令，x=ln(w-1)

f(u)=(w-1)4(w-1)+ln(w-1)="2一〃+]n(〃-1)

于是/(x)=x2-x+ln(x-l)

【例2】已知/'(e*)=xeT，且/(1)=0,求於).

解令七=/,x=ln/,因此/'(e、)=f\t)=ln?,

t

112

f(x)-/(1)="J，力=।诏tt

，In212

1

,:/(l)=0，二/(x)=ln2x

2

四、有关四种性质

【例1】设尸(x)=/(x),则下列结论正确的是().

(A)若/(x)为奇函数，则尸(x)为偶函数

(B)若於)为偶函数，贝IJ尸(x)为奇函数

(C)若/(x)为周期函数，则尸(x)为周期函数

(D)若｛丫)为单调函数，则尸(x)为单调函数

解(B)不成立，反例/(x)=x2,尸(X)=+1

3

(C)不成立，反例f(x)=cosx+1,F(x)=sinx+x

2

(D)不成立，反例/(x)=2x,F(x)=x在(-oo,+oo)内

(A)成立。

证明F(x)=F(0)+f/⑺血,/为奇函数，

F(-x)=F(0)+』。f(t)dt=F(O)+J；/(_”)/_“)

=？(0)+〕。fWdu=F(x)如)为偶函数。

1f5x-x2

【例2】求/=_Jx[x+(e-e)ln(x+

x+l)]dx.

X-X-XX

2

网fG)=e-《是奇函数，•・./1(-x)=e-e=-f(x),/(x)=ln(x4-

x+1)12

是奇函数，22

•・//。匕\2八(x+l)-x

,((2-9=ln(-x+x+1)=,

In人1人•i

5

高等数学

=In1-ln(x+x+1)=-/2(x)

因此x(ex-e)ln(x+2x+1)是奇函数。

于是/=f]X&+O=?Jx7

【例3]两个甯通函数芝和是否仍是周期函数？

解不一定

xx

(1)f(x)=sin+cos

123

xx

x

fx)=sin周期为4n,/2()=cOS周期为6n

1(23

4兀和6兀的最小公倍数为12K,，f(x)是以12n为周期的函数

(2)f(x)=sin2x+cosnx

f(lx)=sin2x周期为ir,f2(x)=c周期为2

OSTtX

和2没有最小公倍数，/./(x)不是周期函数

(3)/(x)=sin2x+(1-sin2x)

f(lx)=sin周期为n,/2(x)=l-sin2x周期为兀

2x

虽然f./2(x)不但都是周期函数，面且它们的周期有最小公倍数。

但是/(x)=f](x)+/2(x)=1,却不是周期函数。(因为没有最小正周期。)

【例4]设/(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f\x)g(x)-f(x}g'(x)<0,则

当a<x<h时，下列结论成立的是()

(A)f(x)g(h)>f(b)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>〃b)g(b)(D)f(x)g(x)>/(a)g(a)

/WI；,

解/、f="、"'a)ga)_/(x)g'(x)]<°,；♦J(x单调减少

...Lg(x)Jg2(x)g(x)

f(x)f(b)

于是x<b,则有/>小，故(A)成立。

g(x)g(b)

§1.2极限

（甲）内容要点

6

一、极限的概念与基本性质

1.极限的定义

(1)limx.=(称数列{x}„收敛于

AA)

任给£>0,存在正整数N,当n>N时，就有x〃一力<£.

(2)limf(x)=A

X->+0O

任给£>0,存在正整数X,当x>X时，就有f(x)-A<E.

(3)1沛f(.x)=A

X—>-«>

任给£>0,存在正整数X,当x<-X时，就有/(x)—4<8.

(4)Hm/(%)=4

.r-^oo

任给£>0,存在正整数X,当|x|>X时，就有f(x)-A<s.

(5)lim/"(x)=A

XT%

任给£>0,存在正数B,当0<x-x<5时，就有<£。

o

(6)limf(x)=A(用f(x0+0表

f+

示))

任给£>0,存在正数3,当0<x—x午3时，就有f(x)-A<€

(7)limf(x)=A(用/(x-0表

・f

示))

任给£>0,存在正数3,当-6<x-x5,0时，就有f(x)-A<£o

其中/(#+称为/(无)在。处右极限值,/(研一称为/(*)x

0)X0)n处左极限值°°

有时我们用lim./(x)=J表示上述六类函数的极限，它具有的性质，上述六类函数极

限皆具有这种性质。有时我们把x行，即数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特)

例，以便于讨论。

2.极限的基本性质

定理(极限的惟一性)设lim/(x)=/l,lim/(x)=8,即A=B.

1

(极限的不等式性质)设lim/(x)=/,limg(x)=8

定理

2若x变化一定以后，总有/(x)>g(%),贝|J428

7

高等数学

反之，4>8,则x变化一定以后，有-/(x)>g(x)

(注：当g(x)=0,8=°情形也称为极限的保号性)

定理3(极限的局部有界性)设lim/(x)=4,则当x变化一定以后，f(x有界的。)

定理设lim/(x)=y4,limg(x)=8

4

<1)lim[[/(x)+g(J)1=A+B

则

(2)lim[[/(x)-g(x])]=

⑶lim[[/(x)ig(x])]=A\B

/(x)z、

(4)limA(BH0)

g(x),

⑸lim的(“]=11(4>0)

A

二、无穷小量/

1.无穷小量定义：若lim/(x)=0>则称/(x为无穷小量)

11

(注：无穷小量与x的变化过程有关，hm，当x-8时为无穷小量，而xf%

x-»»X=0X0

1

或其他时，不是无穷小量)

X

2.无穷大量定义：任给M>0,当x变化一定以后，总有/(x),则称/(x

为)

无穷大量，记lim/(x)=oo。

3.无穷小量与无穷大量的关系：在x的同一个变化过程中，若/(x为无穷大量，则)

,,为无穷小量，若/(x)为无穷小量且/(X)H0,则:、为无穷大量。

ff\x)

X)

(4.无穷小量与极限的关系

limf{x)=A/(x)=J+6r(x)其中limx)=0

5.两个无穷小量的比较

/、/\/(x)

设lim/(x)=0,limg(工)=0,Ji.lim-I

g(x)

(1)/=o,称/(x)是比g(x)高阶的无穷小量，记以/(x)=o[|y&/)]

8

高等数学

称8（是比/（x低阶的无穷小量，）

x）

⑵/*0,称/（x）与g（x是同阶无穷小量。）

⑶/=1,称/（X）与g（是等价无穷小量，记以./'（X）~g（

X）X）

6.常见的等价无穷尔量7

sinx~xtan,arcsinxF'i呼用寸~

〜1x

1-«）sx~22x：e-1~x]n,（1+x）~x",（1+x）Gia为实常数）。

7."无穷小量的重要性质

有界变量乘无穷小量仍是无穷小量。

三、求极限的方法

1.利用极限的四则运算和轻指数运算法则

2.两个准则

即阴其罪颗邨然颇海度与。,2，〃（n为正整数），则limx„=A存在且A>

m

x+ln

（2）若>x„（n为正整数），又x„<w（n为正整数），wnimxn=A存在且A<

准则2（更逼定理）设g（x）4/（x）<h（x,）

若limg（x）=Z,limh{x）=A,贝Ulim/（x）=A

3.两个重要公式

sinx

公式

lim

「J

公式;limkIrl-e；lim(l+v)'=e

H-4OO\Iv-M)

1+

u/

4.用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换

5.用泰勒公式（比用等价无穷小量更深刻）

x2X

当x->o时el+x++”++o

2!n\

3^2n+l

xx、/、+o2/1+1)

sinx=x-++”+(T)

3!5!⑵+1)!x

2n

x2X4x

+O

cosx=1-+

(2〃)！

2!4!

23

xV,»+1X

ln(l+x)=x-+")+O

23n

9

高等数学

2M+1

XXZX

arctanx=x-+—+(—1)

35

/、a

aa-1)2,n

(1+x)=1+ax+(x+++o((a为实常数)

2!

6.洛必达法则

I。型设(1)lim/(x)=0limg(x)=

法则

\oo/

1

(2)X变化过程中，/'(X)，，g(x)皆存

在

f(x)

(3)lim=A(或8)

g'(x)

则lim(或00)

g(x)

/<x)/(x)

(注：如果lim):不存在且不是无穷大量情形，则不能得出lim不存在且不是

g'(x)g(x)

无穷大量情形)

00.

法则型|设(1)lim/(x)=oolimg(x)=oo

2

I00

x/化过程中，f'(x)''g(x)

(2)皆存

在

lim7,？=1

(或8)

g'(x)

/(x)_.

则(或00)

limg(x)

7.利用导数定义求极限

基本公式」1mz'«+&)-/⑴

/'1)u■如果存在

—AxJ1

8.利用定积分定义求极限

1”k1

基本公式：lim〃Z/•

/(x)如果存在

"T0°k=■\\\n//dx

9.其他综合方法0

10.求极限的反问题有关方法

(乙)典型例题

10

高等数学

一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限

1]设4H0,b片0,求lim""'"+4r+"+a,x+a

【例xlu

mnXT8n-1

b,A+初+”+b]X+Z>o

X

加m-

解lima/+

x—bxn+b

nn-\t+”+6俨+4

X

-I-m

X+“+Q

=limxl

XT8b"+b.i+“+6JI

(0当初<〃时

当机=〃时

口仞

loo

当用>〃时

【例2]设。。0,尸<1,求lim(a+ar+H4-ar)

"->8

解lim(Q+ar+"+ar

〃一>cc

特例:

解例2中取a=，r=~

_33

4

3

解分子、分母用3滁之，原式=

(注：主要用当尸<1时，limr=0)

w-»(K

11

高等数学

1

[例4]设/是正整数，求limE

“T8A=1k(k+I)

”1

特例：(1)limZ>zr,n=13=1)

…k=ik(k+D

1I

=i(/=2)

或"+2)=[+

2/

4.11\+d„1+(M-1)(/I

[例6]设d>0为常数，求lim],2+“2++

解原式=lim/1+1(=

-2{[+〃一M}2

|।2I

特例：(<7=1)limI.2+2+"+I=

n1.

II3„2M-1I2

(d=2)limI24-2++

zt〃n

【例7】求下列各极限

1+x—l-x31+X-3l-X

(1)lim(2)lim

XTOxATOX

(+-2-1

解(1)解一原式=lim1x)-(l-x)-2

XTO

x(1+x+1-

x)

12

高等数学

解二原式=1

l+x-l)(IT）"交小谈代换［im

2xI

X-=1

.v->0xx->02

x

1

21+X1-x

解三用洛必达法则1,原式=lim=1

.v->0

（2）解一原式=“lim卜,+"+&+决\\匕।=3

解:类似（1）中解二用等价无穷小量代换

解三类似（1）中解三用洛必达法则

【例81求下列极限

(I)设r<1,lim(l+r)(l+r)"(1+r")

解（1）分子分母都乘1-r,则原式=lim

n->x1—r

(2)I郴

nn

二、用两个要要啥2

XxX

【例1】求limcos。cys

it〃e22”

COS

解当x=0时，原式=1

„XXX„X

2sin〃coscoscos

当xM时，原式=lim/2242"/

2”sin%

n

2

cos”x

cos

lim“cos24

x

sinx..sinxn

=hm=lim2

n—>oo.Xn-^x>Xxx

2sinn

T2n

13

高等数学

X

2n

Vlim=1

n-*x>.X

sin

2n

[例2]求、列极限

解⑴

lim(l-x)*lim[1+(-x)]

XT°=XfO

(2)解•i

lim(l+x)x(

x->0

4

(i)lim(l+tanx)co,x(2)limxX-1(3)lim(cosx)cot

XTOXT】x->0

解(1)令tanx=/则cotx=，当x->0时ff

0

81X

于是lim(l+tanx)=lim(l+=e

x->0iO

(2)令x-1=，贝ijx=1+7,当；r—>1时、/-»0

limxz=lim(l+/)尸lim|[(I+T)J

于是

Il/->0/->0L

COS2A：

(3)lim(cosx)=]im(l-sin,x严？*=Ij用111+(-si；2

三、用夹逼定理求极限

1352«-1

【例”求,即(21/6"2〃)

“135.2M-124.2n

解令AX=II,

'»"2462nn352〃+1

1

2

则°<nx<，于是°<x

2/7+1

〃<x„y„=

由夹逼定理可知limx„=0,于是原极限为0.

x-xo2

14

高等数学

[例2]求下列极限

1)(2)

2

limZ"2+kfA=l+n+k

n—xx)

k=\

1n

<

2421

n+n*=in+kn+1

解(1)V

nn1

而=lim1,=lim=1

limn2+n//—>>»1limn2+1“T81

1+1+

n-xx)，182

nn

由夹逼定理可知

n—>QO2

limX*=ln+k

1+2+”+〃k1+2+”+〃

(2)・・・区<

22/+〃+1

n+〃+〃k=\+n+k

〃(勿+1)

1+2+”+n1

而lim=lim2

n—X»n1+2n"->8H(/?+2)2

1+2+”+nn(n+1)1

limlim/722

/t-x»"2+%+1n->»+〃+12

则夹逼定理可知k

2

limZis*=in+n+k2

四、用定积分定义求数列的极限

n

[例1]求2

limZ"廿k=in~+k•

n2nn2

2<

分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑2n2