2024-2025学年新教材高中数学第三章指数运算与指数函数单元测试卷一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE1第三章指数运算与指数函数第三章单元测试卷第Ⅰ部分选择题(共40分)一、选择题(5分×8=40分)1.☉%#682@1@￥%☉(2024·枣庄高一月考)4-23+3(1-A.3-1B.1-3C.3-33D.33-3答案：A解析：由于4-23=(3-3(1-3)3=1-3,故原式=(3-1)+(1-3)+(3-1)=3-1。故选A。2.☉%@00##4#3%☉(2024·郑州高一质量检测)已知3a=5b=15,则a,b不行能满意的关系是()。A.a+b>4B.ab>4C.(a-1)2+(b-1)2>2D.a2+b2<8答案：D解析：由3a=5b=15,可得(3a)b=15b,(5b)a=15a,∴3ab=15b,5ab=15a,∴3ab·5ab=15a·15b=15a+b,即15ab=15a+b,∴a+b=ab,又a,b为不相等的正数,∴a+b>2ab,∴ab>2ab,即ab>4,故A,B正确;∵(a-1)2+(b-1)2>2等价于a2+b2>2(a+b),又a2+b2>2ab,且a+b=ab,故C正确;a2+b2>2ab,ab>4,∴a2+b2>8,故D错误。故选D。3.☉%@0#538#*%☉(2024·济宁二中月考)下列函数:①y=4x2;②y=6x;③y=32x;④y=3·2x;⑤y=2x+1(以上各函数定义域为x∈N*)。其中正整数指数函数的个数为()。A.0B.1C.2D.3答案：C解析：由题意可得y=6x,y=32x=9x为正整数指数函数,题中所给的其余函数不是正整数指数函数,即正整数指数函数的个数为2。故选C。4.☉%#@￥5￥490%☉(2024·邵阳一中检测)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax与g(x)=ax的图像可能是()。图3-5答案：B解析：由题意g(x)=ax,∴a>0,故f(x)=ax经过第一、三象限,∴A,D不正确。若g(x)=ax为增函数,则a>1,与C中y=ax的斜率小于1冲突,故C不正确,B中0<a<1,故B正确,故选B。5.☉%88@￥7#*9%☉(2024·广西玉林中学月考)若指数函数y=ax在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a等于()。A.1+52C.1±52答案：D解析：指数函数y=ax在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则|a-1-a|=1,解得a=5±126.☉%*68*￥72@%☉(2024·武汉中学高一月考)已知指数函数f(x)=(a-2)x满意f(2)>f(22),那么实数a的取值范围是()。A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(2,3)D.(1,2)答案：C解析：由题知,指数函数f(x)=(a-2)x,x∈R满意f(2)>f(22),因为22>2,f(2)>f(22),所以函数f(x)=(a-2)x在定义域上为减函数,所以0<a-2<1,即2<a<3,即实数a的取值范围是(2,3),故选C。7.☉%85#@82@*%☉(2024·山东师大附中检测)设函数f(x)=|2x-1|,x<2,-x+5,x≥2,若互不相等的实数a,b,c满意f(a)=f(bA.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)答案：B解析：画出函数f(x)的图像如图。不妨令a<b<c,则1-2a=2b-1,则2a+2b=2。结合图像可得4<c<5,故16<2c<32。∴18<2a+2b+2c<34。故选B。8.☉%*97#4#9*%☉(2024·江西吉安一中月考)若函数y=12|1-x|+m的图像与x轴有公共点,则A.m≤-1B.m≥1C.-1≤m<0D.0<m≤1答案：C解析：由已知函数y=12|1-x|+m有零点,即方程12|1-∵|1-x|≥0,∴0<12|1-x|≤1,∴第Ⅱ部分非选择题(共60分)二、填空题(5分×3=15分)9.☉%3￥3#6@*7%☉(2024·信阳一中月考)0.027-13--16-2+2560.75-125729答案：31解析：原式=0.3-1-36+25634-125729-13+95-93×(-1610.☉%#98@4*0￥%☉函数y=32-2x的定义域是答案：(-∞,5]解析：由32-2x≥0,得2x≤32,解得x≤5。∴y=32-2x的定义域为(-11.☉%6￥05*￥4￥%☉函数f(x)=-x+3-3a,x<0,ax,x≥0(a>0且a答案：0,解析：当x<0时,函数f(x)=-x+3-3a是减函数,当x≥0时,若函数f(x)=ax是减函数,则0<a<1;要使函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,需满意0+3-3a≥a0,解得a≤23。由0<a<1,a≤23三、解答题(共45分)12.(10分)☉%*2924￥￥@%☉(2024·保定模拟)化简:(1)(a3+a-3)(a3-a-3)÷[(a4+a-4+1)(a-a-1)];答案：解:原式=[(a3)2-(a-3)2]÷[(a4+a-4+1)·(a-a-1)]=(=(=a=a+a-1。(2)(124+223)12-2716+1634-2答案：原式=[(11+3)2]12-(33)16+(24)34-2×(2=11+3-3+8-8+2=13。13.(10分)☉%6*￥4*@81%☉(2024·浙江新高考探讨联盟高一联考)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,8),B(3,32)。(1)求f(x)的解析式;答案：解:把点A(1,8),B(3,32)代入函数f(x)=b·ax,可得ab=8,∴f(x)=4·2x。(2)若不等式1ax+1bx+1-2m≥0在x∈(-∞,1]上恒成立答案：不等式1ax+1bx+1-2m≥0,即m≤1212令t=12x,则m≤12t2+12记g(t)=12t2+12t+12=1由x∈(-∞,1],可得t≥12故当t=12时,函数g(t)取得最小值为7由题意可知,m≤g(t)min,∴m≤7814.(12分)☉%1*773*￥￥%☉(2024·广东六校教研协作体高一联考)设f(x)=-2x+m2x(1)当m=n=1时,求证:f(x)不是奇函数;答案：证明:因为当m=n=1时,f(x)=-2x+12x+1+1,f(1)=-15,f(-1)=14,f(-1)≠(2)设f(x)是奇函数,求m与n的值。答案：解:当f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),即-2-x+m2-x+1+n=--2x+m2x+1+n对定义域内随意实数x成立。化简整理得(2m-n所以2m-n=0经检验只有m=1,n=215.(13分)☉%#84@@3￥6%☉(2024·乐山检测)已知函数f(x)=13x,x∈[-1,1],函数g(x)=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值为h(a(1)求h(a);答案：解:因为x∈[-1,1],所以13x∈设t=13x∈则设φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2,当a<13时,g(x)min=h(a)=φ13=289当13≤a≤3时,g(x)min=h(a)=φ(a)=3-a2当a>3时,g(x)min=h(a)=φ(3)=12-6a。综上,h(a)=28(2)是否存在实数m,n同时满意下列条件:①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[