2025届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题39填空题的解法含解析

PAGEPAGE1专题39填空题的解法一、题型特点近几年来，在新课标全国卷Ⅰ数学试题中选择题始终是12道题，填空题始终是4道题，所占分值为80分，约占数学试题总分数的53%.且在高考题中属于中低难度的试题，仅有个别题属于较高难度试题，在一般的状况下分别按由易到难的依次排列，在高考数学中选择题和填空题是一种只要求得到结果，不要求写出解答过程的试题．具有概括性强、小巧敏捷、学问覆盖面广，其中融入多种数学思想和方法等特点，可以有效地检验考生的数学思维层次及分析问题、推断问题、推理问题和解决问题的实力．二、解题思路做选填题的步骤为：1．首先，审题．能很好的把数学的三种语言(文字语言、图形语言、数字符号语言)之间快速转化并发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，快速领悟题目的真正含义．2．其次，要留意选填题的解题技巧．小题小做、巧做，简洁做，要多用数形结合、特别值法等技巧，节约时间．3．最终，细致检查答卷不能有漏填的现象(遇到不会做的，也不要空着不做，确定要写一个答案)，不能有把答案抄错的现象．三、解题方法与技巧(一)干脆演绎法所谓干脆演绎法，就是干脆从题设条件动身，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等学问，通过变形、推理、运算等过程，干脆得到结果．例1(2015课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________【解析】由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4，0)，(0，2)，(0，－2)，设圆心为(a，0)，其中a>0，由4－a＝eq\r(a2＋4)，解得a＝eq\f(3,2)，所以该圆的标准方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)【反思】干脆演绎法是解选择填空题最基本的方法，涉及概念、性质的辨析或运算较简洁的题目，充分挖掘题设条件，通过严谨的推理，正确的运算必能得出正确的答案．因此，学会娴熟运用基本学问，并能快速分析题目，抓住主干，吃透题意是用干脆演绎法解题的不二法宝．(二)特例(值)法所谓特例(值)法，就是利用满意题设条件的一些特别数值、特别函数、特别方程、特别数列、特别点、特别角、特别图形、特别位置等进行求解，从而得出正确答案． 例2(2015课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________．【反思】特例(值)法是高考数学解选择填空题的最佳方法，能降低解题难度，提高解题效率．当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的状况下，用特例(值)法(取得越简洁越好)进行探究，从而清楚、快捷地得到正确答案，即通过对特别状况的探讨来推断一般规律．(三)极限化法在一些选择填空题中，有一些随意选取或者改变的元素，我们对这些元素的改变趋势进行探讨，分析它们的极限状况或者极端位置，并进行计算，以此来推断结果．这种通过动态改变，或对极端取值来解选择填空的策略是一种极限化法．例3(2015课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是__________．【反思】用极限化法是解选择填空题的一种有效方法，也是在选择填空题中避开“小题大做”的有效途径．它依据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小做题难度，计算简便，能快速得到答案．(四)数形结合法所谓数形结合法是把抽象的数学语言同直观的图形结合起来，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来探讨和解决数学问题．例4(2015课标全国Ⅰ)若x，y满意约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))则eq\f(y,x)的最大值为______【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，在点A(1，3)处，eq\f(y,x)取得最大值3.【反思】“数”与“形”是数学的重要基石，二者在内容上相互联系，在方法上相互渗透，在确定条件下可以相互转化，假如在解答选择填空题的过程中能够很好的运用这一数学解题中最重要的方法之一，就能够使困难的问题简洁化，抽象的问题详细化，进而简化解题过程，从而达到事半功倍的效果．(五)构造法所谓构造法就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式；或者利用详细问题的特别性，为待解决的问题设置一个框架，从而使问题转化并得到解决的方法． 例5如图，已知球O的球面上有四个点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝eq\r(2)，则球O的体积等于________．【解析】eq\r(6)π如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CD))＝eq\r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2＋（\r(2)）2)＝2R，所以R＝eq\f(\r(6),2)，故球O的体积V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\r(6)π.【反思】构造法是一种创建性思维，是综合运用各种学问和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．四．题型演练1．若数列是正项数列，且，则______．【答案】【方法总结】：本题主要考查的学问点是数列的概念及简洁表示法。通过已知的条件求出数列的通项公式，然后化简所求的数列的各项，最终再利用等差数列求出数列的和。2．在中，是线段的中点，，，则__________．【答案】【解析】设，则，3．在平面上，，且，．若，则的取值范围是____________________．【答案】.【解析】分别以、为、轴建立直角坐标系，设，由得.设，由得，，两式相加得，即，于是，又，故，即的取值范围是.4．在的绽开式中，的系数为______(用数字作答)．【答案】31【解析】绽开式中含有的项有：五项，的系数为.5．在中，内角所对的边分别为,已知，且，则面积的最大值为________．【答案】.6．甲、乙、丙三名同学参与某高校组织的自主招生考试的初试，考试成果采纳等级制（分为三个层次），得的同学干脆进入其次轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得．三名同学预料谁能干脆进入其次轮竞赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得或；乙说：我确定得；丙说：今日我的确没有发挥好，我赞同甲的预料．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预料不精确，那么得的同学是_____．【答案】甲.【解析】若得的同学是甲，则甲、丙预料都精确，乙预料不精确，符合题意；若得的同学是乙，则甲、乙、丙预料都精确，不符合题意；若得的同学是丙，则甲、乙、丙预料都不精确，不符合题意。综上，得的同学是甲.7．已知实数满意约束条件，则的最小值是_____．【答案】.【解析】约束条件表示的平面区域为封闭的三角形，求出三角形的三个顶点坐标分别为、、，带入所得值分别为、、，故的最小值是.另，作出可行域如下：由得，当直线经过点时，截距取得最大值，此时取得最小值，为.【方法总结】：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.须要留意的是：一、精确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要留意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避开出错；三、一般状况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.8．已知点圆上,点在椭圆上移动,则的最大值为_________.【答案】7【方法总结】：本题考查椭圆、圆的方程、二次函数的性质，考查学生分析解决问题的实力，考查计算实力以及转化思想，属于中档题；求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出，两点间的最大距离.9．已知函数,曲线在点处的切线方程为______.【答案】【解析】由函数可得，，∴即切线的斜率，∴切线方程为，故答案为.【方法总结】：本题考查导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，切线方程的求法，考查计算实力；我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；其次告知的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的状况下可以用点斜式把直线方程求出来.10．已知直线的参数方程为（为参数）,以平面直角坐标系的坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,则直线与曲线的位置关系是_________.【答案】相切11．已知定点,为抛物线的焦点,点在该抛物线上移动,当取最小值时,点的坐标为____________.【答案】【解析】由抛物线方程可知焦点，准线方程为，设在抛物线准线方程上射影为，∵点到准线的距离与到焦点距离相等，∴，当，代入抛物线方程求得，∴点抛物线的内部，当，，三点共线时，的值最小，此时，此时的纵坐标为4，，即的坐标为，故答案为.【方法总结】：本题主要考查了抛物线的基本性质，解题的关键是利用抛物线的定义；先由抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线方程，推断点在抛物线内部，设在抛物线准线方程上射影为，依据抛物线的定义可知，分析，，三点共线时，的值最小.12．小李从网上购买了一件商品，快递员安排在5:00-6:00之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，假如小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李须要去快递柜收取商品的概率等于__________．【答案】【解析】如图所示，轴表示快递员送货的试卷，轴表示小李到家的时间，图中的矩形区域为全部可能的时间组合，阴影部分为满意小李须要去快递柜收取商品的时间，结合几何概型公式可得小李须要去快递柜收取商品的概率：.【方法总结】：数形结合为几何概型问题的解决供应了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形精确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事务A满意的不等式，在图形中画出事务A发生的区域，据此求解几何概型即可.13．已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为10的球面上，则四棱锥的体积为__________．【答案】6或5414．已知半径为的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于__________．【答案】4【解析】如图，设四棱锥的侧棱长为，底面正方形的边长为，棱锥的高为．由题意可得顶点在地面上的射影为底面正方形的中心，则球心在高上．在中，，∴，整理得．又在中，有，∴．∴，∴．设，则，∴当时，单调递增，当时，单调递减．∴当时取得最大值，即四棱锥的体积取得最大值，此时，解得．∴四棱锥的体积最大时，底面边长等于4．答案:415．在中，角的对边分别为，设的面积为，若，则的最大值为___________．【答案】【解析】由题得【方法总结】:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,其次个难点是得到后，如何求tanA的最大值.转化成利用基本不等式求cosA的最大值.16．已知函数，由是奇函数，可得函数的图象关于点对称，类比这一结论，可得函数的图象关于点___________对称.【答案】【解析】由题得所以是奇函数，所以函数的图象关于点对称.故填.17．设函数，则使成立的的取值范围是_________.【答案】【方法总结】：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的实力，对于解函数不等式：首先依据函数的单调性和奇偶性把函数的“”去掉，转化为详细的不等式(组)，此时要留意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点.18．如图，在三角形中，、分别是边、的中点，点在直线上，且，则代数式的最小值为__________．【答案】【解析】不妨设为直角,且,以分别为轴,此时为点的坐标,表示到原点的距离,最短时为点到直线的距离,由于是中位线,故最短的等于点到距离的一半,即.19．已知函数，e(e是自然对数的底数)，对随意的R，存在，有，则的取值范围为____________.【答案】【解析】对随意的R，存在，有等价于.∵函数∴，令，得；令，得.∴函数在上为增函数，在上为减函数∴∵e∴的对称轴为①当，即时，，即，故无解；②当，即时，，即，此时的取值范围为；③当，即时，，即，此时的取值范围为.综上所述，的取值范围为.故答案为.20．上方右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图，请依据图形中的数据填空：(1)样本数据落在范围[5，9的可能性为__________；(2)样本数据落在范围[9，13的频数为__________．【答案】0.327221．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，，使得，，，重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】如图：连接OE交AB于点I，设E，F，G，H重合于点P，正方形的边长为x，则OI=，.因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得设该四棱锥的外接球的球心为Q，半径为R，则，，解得，外接球的体积22．已知数列，且，．①若，则__________．②设是数列的前项和，则__________．【答案】【解析】①由已知可得，，，∴，当时，，（舍去），当时，，解得，满意条件．故．②由，，，得：，当时，，故，∴，∴，当时，，则，，∴，∴，∴，故答案为(1)，(2)．23．执行如图所示的程序框图，若输入的，分别为，，则输出的__________．【答案】【解析】执行程序，可得，；，，，不满意条件，执行循环体，，，，不满意条件，执行循环体，，，，满意条件，推出循环，输出,故答案为．【方法】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时确定留意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)留意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)留意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时确定要正确限制循环次数；(5)要留意各个框的依次,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要依据程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.24．设，，称为，的平方平均数，为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作圆．过点，分别作的垂线，交圆于，两点．连结，．过点作的垂线，垂足为．已知图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数．则图中所示线段中，线段__________的长度是，的平方平均数，线段__________的长度是，的调和平均数．【答案】25．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为__________．【答案】【解析】如图，，在等腰三角形中，，∴，故山顶的海拔高度为．【方法总结】：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理