课标专用5年高考3年模拟A版2024高考数学第八章立体几何2空间点线面的位置关系试题文

PAGEPAGE13空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预料热度考题示例考向关联考点点、线、面的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解四个公理及推论;②会用平面的基本性质证明点共线、线共点以及点线共面等问题;③理解空间两直线的位置关系及判定,了解等角定理和推论2024浙江,2,5分直线、平面的位置关系线面垂直的性质★★☆2024山东,6,5分直线、平面的位置关系充分条件与必要条件2024课标全国Ⅰ,11,5分异面直线所成的角面面平行的性质2024课标全国Ⅱ,9,5分异面直线所成的角线面垂直的性质分析解读高考对本节内容的考查主要体现在两个方面:一是以四个公理和推论为基础,考查点、线、面之间的位置关系;二是考查两直线的位置关系.考查形式以选择题和填空题为主,也可能在解答题中出现,本节内容主要考查学生的空间想象实力,所以在备考时应加强训练.破考点【考点集训】考点点、线、面的位置关系1.(2025届黑龙江顶级名校11月联考,4)若m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列说法中正确的是()A.α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥nB.α⊥γ,β⊥γ⇒α∥βC.α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥βD.α∩β=m,β∩γ=n,m∥n⇒α∥β答案C2.(2024湖南益阳、湘潭两市联考,10)如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④答案C3.(2025届四川顶级名校10月联考,6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线DC1和B1C所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C4.下列说法中,正确的个数是()①假如两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,它就和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条直线与一个平面平行,则另一条直线肯定与这个平面平行.A.0 B.1 C.2 D.3答案C5.若P是两条异面直线l,m外的随意一点,则()A.过点P有且仅有一条直线与l,m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l,m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l,m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l,m都异面答案B6.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,则异面直线CD1与EF所成的角的大小为.

答案90°7.求证:假如两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.解析已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:直线a,b,c,l共面.证明:如图所示,因为a∥b,所以由公理2的推论3可知直线a与b确定一个平面,设为α.因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.又因为A∈l,B∈l,所以由公理1可知l⊂α.因为b∥c,所以由公理2的推论3可知直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由公理2的推论2知,平面α与平面β重合,所以直线a,b,c,l共面.炼技法【方法集训】方法1证明点共线、线共点及点线共面的方法1.(2024河南濮阳一高10月月考,18)如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB,BC,CD上,且满意AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E,F,G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH,FG,BD三线共点.解析(1)∵AEEB=CF又∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴AHHD=CG∴AH∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF∥GH,且EFAC=13,GHAC∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂平面ABD,∴P∈平面ABD,同理,P∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH,FG,BD三线共点.2.(2024四川成都联考,18)如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一:∵A,C,E不共线,∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l3⊂α,同理,l4⊂α,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:∵点A,C,E不共线,∴它们确定一个平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又∵F,D,E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l3⊂β,l4⊂β.而不共线的三点B,C,D可确定一个平面,又B,C,D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.方法2异面直线所成角的求解方法1.(2025届广东七校9月联考,10)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AA1=2AB,D是AA1的中点,则BD与A1C1所成角的余弦值为()A.12 B.24 C.2答案B2.(2024湖南永州三模,7)三棱锥A-BCD的全部棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A.13 B.24 C.3答案D3.如图,已知在三棱锥A-BCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,则直线AB与MN所成角的大小为.

答案60°或30°

过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点点、线、面的位置关系1.(2024课标全国Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.22 B.32 C.5答案C2.(2024课标全国Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.3答案AB组自主命题·省(区、市)卷题组考点点、线、面的位置关系1.(2024浙江,2,5分)已知相互垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满意m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n答案C2.(2024山东,6,5分)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A3.(2024广东,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D4.(2024四川,18,12分)一个正方体的平面绽开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)推断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,于是四边形BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.C组老师专用题组考点点、线、面的位置关系1.(2024浙江,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥β B.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥β D.若α∥β,则l∥m答案A2.(2024广东,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满意l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论肯定正确的是()A.l1⊥l4 B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定答案D3.(2010全国Ⅰ,6,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°答案C4.(2011全国,15,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.

答案25.(2024陕西,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.解析(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V=13×12×2×2×1=(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,BC⊂平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.6.(2013课标Ⅰ,19,12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C=6,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.解析(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,所以AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1=3.又A1C=6,则A1C2=OC2+OA12,故OA因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.又△ABC的面积S△ABC=3,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC·OA1=3.【三年模拟】时间:45分钟分值:50分一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2025届宁夏银川一中11月月考,6)设α、β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是()A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥βD.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α答案D2.(2025届辽宁顶级名校10月联考,10)设m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中不正确的是()A.m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m⊥nB.m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥nC.m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥nD.m⊥α,n⊥β且α∥β,则m∥n答案B3.(2024山西临汾模拟,5)如图,在三棱台ABC-A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α,设α∩平面ABC=l,若l∥A1C1,则这3个点可以是()A.B,C,A1 B.B1,C1,A C.A1,B1,C D.A1,B,C1答案D4.(2025届陕西四校期中联考,9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,则异面直线A1B1与AC1所成角的余弦值为()A.1414 B.8314 C.答案A5.(2024广东珠海模拟,8)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处,若M为线段A'C的中点,则异面直线BM与PA'所成角的正切值为()A.12 B.2 C.1答案A6.(2025届福建四地七校10月联考,10)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满意AP=B1Q,则下列命题错误的是()A.存在P,Q在某一位置时,AB∥PQB.△BPQ