贵州省遵义市2024届高三第一次质量监测统考数学试题含答案解析

遵义市2024届高三第一次质量监测统考试卷数学（满分：150分，时间：120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.2.若复数满足，则复数的虚部是（）A. B. C. D.3.已知均为实数，下列不等式恒成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则4.若，则（）A. B. C. D.5.若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（）A.2 B.3 C.4 D.56.今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（）（参考数据:）A.年 B.年 C.年 D.年7.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；则（）A. B. C. D.8.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，则与是终边相同的角B.若角的终边过点，则C.若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D.若，则角终边在第一象限或第三象限10.对于任意实数，函数满足：当时，.下列关于函数的叙述正确的是（）A.B.是奇函数CD.，使得11.已知，且，则下列选项正确的是（）A. B..C.的最大值为 D.12.数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，探究上述多项式，下列选项正确的是（）A.B.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题,则命题的否定为__________.14.若函数，则不等式的解集为__________.15.已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为__________.16.已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上恰有两个零点，求的值.18.已知数列的前项和为，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和.19.函数，其一条切线的方程为.（1）求值；（2）令，若有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.20.某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图：附：.0.10.050.0100.00500012.7063.8416.6357.87910.828（1）估计该校学生一周平均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；（2）将一周使用手机上网时间在内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表，若有以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.那么本次调查的人数至少有多少？近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机合计21.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：（1）求椭圆方程；（2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.22.已知函数.（1）求函数在上的单调区间；（2）若时，，求实数的取值范围.遵义市2024届高三第一次质量监测统考试卷数学（满分：150分，时间：120分钟）注意事项：1.考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码.2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其它选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分；在试卷上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合交集的运算可得.【详解】由，解得：或，故.故选：A2.若复数满足，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数除法法则计算出，从而求出虚部.【详解】，故复数的虚部是.故选：C3.已知均为实数，下列不等式恒成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】结合特殊值与不等式的性质可求.【详解】A，当时，，A错误；B，当时，没意义，B错误；C，由，知，所以，C正确；D，当时，不成立，D错误.故选：C4.若，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.5.若函数在区间上单调递增，则的可能取值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】由，结合题意在上恒成立求范围，即可判断所能取的值.【详解】由题设在区间上单调递增，所以恒成立，所以上恒成立，即恒成立，而在上递增，故.所以A符合要求.故选：A6.今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（）（参考数据:）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】B【解析】【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解.【详解】由题意得:,解得,所以,当时,得,即,两边取对数得,所以,即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年.故选:B.7.将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得的函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象的变换法则得出，再由和角公式求解.【详解】由题意可知，，.故选：B8.若，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构建函数，结合导数可得；构建，，结合导数可得，进而可得.【详解】令，则当时恒成立，则在内单调递增，可得，即，可得，故；令，则当时恒成立，则在内单调递增，可得，所以，令，则当时恒成立，则在内单调递增，可得，所以，可得，所以，故；综上所述：.故选：D.【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若，则与是终边相同的角B.若角的终边过点，则C.若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D.若，则角的终边在第一象限或第三象限【答案】CD【解析】【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D.【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误；对于B：，当时，，故B错误；对于C：由，得，故C正确；对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确；故选：CD10.对于任意实数，函数满足：当时，.下列关于函数的叙述正确的是（）A.B.是奇函数C.D.，使得【答案】ACD【解析】【分析】结合题中定义和特殊值即可.【详解】A，根据定义，，所以，A正确；B，取，，，取，，，不满足奇函数的定义，B错误；C，，则，C正确；D，当时，，D正确.故选：ACD11.已知，且，则下列选项正确的是（）A. B..C.的最大值为 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可判定A、B选项，利用排除法可判定C选项，利用柯西不等式可判定D选项.【详解】由题意可得，当且仅当时取得等号，即A正确；，当且仅当时取得等号，即B正确；先证柯西不等式，设，则，所以，由柯西不等式可知：，当且仅当，即时取得等号，即D正确；若，则，此时，故C错误.故选：ABD12.数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，探究上述多项式，下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用三角恒等变换即可判断A，据题意总结出时，，即可判断B，利用二倍角公式、三角恒等变换即可判断选项CD.【详解】对于A，.A正确；对于B，归纳可得时，，所以，B正确；因为，所以，即，即，解得，C错；有上述知，则，D正确.故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题,则命题的否定为__________.【答案】【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可写出答案.【详解】因为命题,所以命题的否定为:.故答案为:.14.若函数，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解.【详解】因，则有：当时，可得，解得；当时，可得，则，解得；综上所述：不等式的解集为.故答案为：.15.已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.【详解】如图，因为，所以，所以，则，，，解得.故答案为：16.已知函数，若关于不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由导数得出函数的图像，讨论与的关系，结合图像得出实数的取值范围.【详解】当时，，即函数在上单调递增函数的图像如下图所示：由得出，当时，显然不成立.但时，解得，使得不等式只有唯一整数解，此时.即时，唯一整数解是，当时，，使得不等式只有唯一整数解，此时，即时，唯一整数解是.综上，.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上恰有两个零点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合五点法作图，由周期得，结合最值点可得，代入点的坐标得A，即可得函数解析式；（2）由题意知和的图象有两个不同交点，作出函数在上的图象，结合函数的对称性可得的值．【小问1详解】设的最小正周期为，则，可得,且，解得，由图象可知：当时，取到最大值，且，则，可得，解得，又因为，可得，则，且的图象过点，则，解得，所以.【小问2详解】令，由，可得，可知的零点等价于与的图象交点横坐标，且，作出在内的图象，不妨设，如图所示：由图象可知：，且关于直线对称，所以.18.已知数列的前项和为，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与之间的关系，分和两种情况运算求解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】因为当时，，且，若，则，解得，若，则，两式相减可得：，整理得，即，可得；可知不符合上式，符合上式，所以.【小问2详解】由（1）可得：，当时，则；当时，则；可知符合上式，所以.19.函数，其一条切线的方程为.（1）求的值；（2）令，若有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）求导，设切点为，从而得到方程组，求出，；（2）求导，得到为的两根，由得到，得到两根之和，两根之积，计算出，由计算出不等式解集，得到实数的取值范围.【小问1详解】，设函数在切点处的切线的方程为，则，，解得，；【小问2详解】由（1）可知，，，即为的两根，故，解得或（舍去），且，，由可得，即，因为，所以，解得或（舍去），综上：20.某学校现有1000名学生，为调查该校学生一周使用手机上网时间的情况，收集了名学生某周使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.将数据分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图：附：.0.10.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）估计该校学生一周平均使用手机上网时间（每组数据以该组中点值为代表）；（2）将一周使用手机上网时间在内定义为“长时间使用手机上网”；一周使用手机上网时间在内定义为“不长时间使用手机上网”，在样本数据中，有名学生不近视.请补充完成该周使用手机上网时间与近视程度的列联表，若有以上的把握认为“该校学生一周使用手机上网时间与近视程度有关”.那么本次调查的人数至少有多少？近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机合计【答案】（1）小时（2）列联表见解析，有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关【解析】【分析】（1）利用平均数公式求解；（2）根据列联表已有的数据和频率分布直方图求解；【小问1详解】解：根据频率分布直方图得：；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为小时；【小问2详解】根据题意填写列联表如下，近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机合计由表中数据，计算，所以有的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．21.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上异于左､右顶点的任意一点，的周长为6，面积的最大值为：（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆的另一交点为，与轴的交点为.若，.试问：是否为定值？并说明理由.【答案】（1）（2），理由见解析【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；（2）根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方