22.3 实际问题与二次函数 初中数学人教版九年级上册教学课件

第3课时拱桥问题和运动中的抛物线第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数数学人教版九年级上册教学目标1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.(重点）2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题.（难点）

我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！情景引入如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型.xyxyxy（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k（4）y=ax2+bx+cOOO复习回顾例1要使运动员坐船从拱形桥下面穿过，现已知拱形桥顶部离水面2m,水面宽4m,为了船能顺利通过，需把水面下降1m,问此时水面宽度增加多少?利用二次函数解决实物抛物线形问题建立函数模型这是什么样的函数呢？

拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数你能想出办法来吗？合作探究怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为例1要使运动员坐船从拱形桥下面穿过，现已知拱形桥顶部离水面2m,水面宽4m,为了船能顺利通过，需把水面下降1m,问此时水面宽度增加多少?xyO-3(-2,-2)●

●(2,-2)4米利用二次函数解决实物抛物线形问题当时，所以，水面下降1m，水面的宽度为m.所以水面的宽度增加了m.解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得所以，这条抛物线的解析式为当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3xyO(-2,-2)●

●

(2,-2)设二次函数解析式为合作探究解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.

归纳总结例1某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？例题讲解解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25)数学化●B(1,2.25)

(0,1.25)●C●Doxy例题讲解A

根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.

当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理，点D的坐标为(-2.5,0).

设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－(x-1)2+2.25.●B(1,2.25)

(0,1.25)●DoAxy●C例1.有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米；

（1）在如图的坐标系中，求抛物线的表达式．

（2）若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？（水位以每小时0.2米的速度上升）例题讲解解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2．

设D（5，b），则B（10，b-3），

把D、B的坐标分别代入y=ax2得（2）∵b=-1，

∴拱桥顶O到CD的距离为1，

小时．

所以再持续5小时到达拱桥顶．例题讲解例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？例题讲解解：如图，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.xyO例题讲解解得

a=－0.2，

k=3.5，设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为y=a(x-0)2+k，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5.当x=－2.5时，y=2.25.故该运动员出手时的高度为2.25m.

2.25a+k=3.05，

k=3.5，xyO例题讲解巩固训练1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在

s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为

，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为

米.2xyO3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A.50mB.100mC.160mD.200mC巩固训练4.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；巩固训练yxO-450450解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5），对称轴为y轴，设抛物线的函数表达式为y=ax2+0.5.抛物线经过点（450,81.5），代入上式，得81.5=a•4502+0.5.解得故所求表达式为(1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式；yxO-450450(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.yxO-450