高等代数研究生入学考试试题-按学校分类(一)

高等学校攻读硕士学位

研究生入学考试高等代数试题集锦

陈德华编

嘉应学院数学学院

二00九年七月

目录

bjsfdx北京师范大学(2003,2004)

gxdx广西大学(2004,2005,2006,)

gxsfdx广西师范大学(2003,2004,2005,)

gzdx广州大学(2003,2004,2005,)

hebgydx哈尔滨工业大学(2009,)

hnlgdx华南理工大学(2005,2006,2009,)

hnsfdx华南师范大学(2002,2003,2007,)

hnsfdx湖南师范大学(2000,2001,2002,)

hzkjdx华中科技大学(2004,)

hzsfdx华中师范大学(2006,)

kmlgdx昆明理工大学(2008,)

Izdx兰州大学(2002,)

nkdx南开大学(2003,2005,2006)

stdx汕头大学(1998,1999,2000,2002,2003,2004,2005,)

sxdx三峡大学(2006,)

sxsfdx陕西师范大学(2005,)

szdx深圳大学(2004,)

xadzkjdx西安电子科技大学(2001,)

xbdx西北工业大学(1999(1),1999(2),2000(1),2000(2),2004,)

xmdx厦门大学(2004,)

xndx西南大学(2006,)

zgkxy中国科学院(1996,1997,2003)

2

北京师范大学

2003年

1.(1)计算排列87162534的逆序数，并依次写出将上述排列变成12345678

的所有对换。

(2)设〃个数码的排列…I；-,/；的逆序数是3那么排列…曲的逆

序数是多少？请说明理由。

2.设

(A10.-001

021­•00

002.-00

J„w=

000.-21

1°00••0

是数域F上的一个"阶若当块，试写出与O可交换的域F上的全体〃阶矩阵。

3.一个大于1的整数若其因子只有1和本身，则称之为素数。证明p是素

数当且仅当任取正整数a,6,若pl时，则pla或pl。。

4.已知

axax

ft-ecosbx,f2=esinbx,f3=xe"cosbx

2ax2ax

f4=xe"*sinbx,人=gxecosbx,f6-xesinhx

是六个实函数，它们生成的子空间记作V。说明维商。是V上的一个线性变换，

并求。在基九力，力///下的矩阵。

5.设域产上的〃维线性空间V的一个线性变换b在基底%,a?，…,«„下的矩

阵为

10•••00

~a201•••00

A=

~an-\00•••01

<~an00•••00

3

(1)求b的特征多项式；

(2)〃维向量空间V有循环基底吗？若有，试求之；

(3)求b的极小多项式并说明理由。

6.设歹是一个数域，4是尸上的未定元，二阶力-矩阵

%。)。|2(几)

AQ)=

的。)“22(')

其中囱G丹福,14i,jW2,网幻是域产上的一元多项式环。运用带余除法证明

42)可通过行与列三种初等变换(其中第三种变换允许将某行(列)乘以网眼中

的多项式加到另一行(列)上)化为

的形式，且平⑷匕⑷。

2004年

1.试用〃元初等对称多项式£王…X,,攵=1,2,…，〃表述下列多项式

/*1*k

2

(1)n=2,(X]-x2)；

(2)Z小2,此处Z表示对脚标进行所有可能的〃元置换后对不同的项求

2?:。

2.设变换a:*一史定义为

(1)证明。是一个线性变换;

(2)求出b在下述基底下的矩阵:

0

0

4

(3)求出。在下述基底下的矩阵：

T|(1]⑼

a.=],a,=-1,a,=1

(4)写出从a1,必，%到勺勺，色的过渡矩阵。

3.已知线性方程组

%)+x2=a]

x+x=a

<342

X|+%3=瓦

x2+x4=b2

(1)求出系数矩阵的秩；

(2)给出方程组有解的充分必要条件。

4.令实二次型。(和%…,％)=XAX,其中A=A=(叫*“,X=(x.2…/

设4与々分别是A的最大与最小特征值。则对任意的八个实数

匕\，》2,…，,均有

4(仇~+%2---也2(4)2,•也)A(8仇…%")2+匕2~----1"仇「)

5.令V是一个〃维欧氏空间，药,g2,…,a”是V的一个标准正交基，b是丫的

一个线性变换，A=(与),*“是b关于这个基的矩阵，证明

%=<crQ),%>,i,J=1,2,…，儿

6.设o•是〃维向量空间V的一个线性变换，p(x)=(x-2y(x-〃),是。的极

小多项式，此处4和〃是不同的复数。令

rrr

VA=ker(cr-2)={aeV\(a-A.)a=0},匕,=ker(cr-//)={aeV\(cr-〃)'a=0}

证明：(1)匕和V"都是。的不变子空间；

(2)丫=匕㊉匕,；

(3)内心的极小多项式是。-/1丫，bl-的极小多项式是(x-〃)'。

2vP

5

广西大学

2004年

1.计算行列式

xxa2a3•••afJ

axx2a3・••an

D„=/Q,Xy,•,Q“

%a2a3…

其中，巧w=1,2,…。

2.已知8是一个非零矩阵，且3的每一个列向量都是方程组

X]+2X2-2X3-0

<2x,-x2+2X3=0

3》|+x2-x3=0

的解。（1）求力的值；（2）证明I31=0。

3.设q,%,…,凡是两两互异的整数，试证明多项式

/(x)=(x-«!)(x-a2)•­•(%-a,,)-1

在有理数域上不可约。

4.设A,5是〃x〃矩阵，且A?=炉=E（E是〃级单位矩阵），IAI+1B1=0,

证明A+8不是可逆矩阵。

5.设V是一个〃维欧氏空间，a*0是V中一个固定的向量，证明

（1）匕=楂1（1团=04€^｝是丫的一个线性子空间；

(2)dim%="-1。

6.设4为〃级实对称矩阵，A2=A,A的秩等于*0＜厂4〃）。

（1）证明存在正交矩阵T,使

E0、

T''ATr

O0,

其中已是尸级单位矩阵;

6

(2)计算IA-2纥2

7.设为两个〃x〃矩阵，A的"个特征值两两互异，若A的特征向量恒

为8的特征向量，证明AB=BA。

8.证明数域F上的〃维线性空间V的任一子空间都是某一线性变换的核。

9.设V是数域尸上的〃维线性空间，。是V的线性变换，匕,匕是V的两个

非平凡子空间，且丫=匕㊉匕，试证明。是可逆线性变换的充要条件是

V=叩”(7"2)。

2005年

1.计算行列式

a0-10•••00

a1x一1・・・00

D“=

a〃_200**,x—1

%00...0x

2.已知矩阵

31-1](21、

A=002,8=-10

1T2)131,

\

矩阵X满足AX+8=2X,求)(0

3.当a,b为何值时，线性方程组

axx+x2+x3=4

<+bx2+/=3

%1+2bx2+x3=4

有唯一解，无解，有无穷多组解？在有无穷多组解时求其全部解。

4.设有s个〃维向量%=…,。加)(1KiKs4，其分量满足

证明这S个向量线性无关。

7

5.设叱,%是〃维线性空间丫的两个子空间，证明

(1)若％,叫均是V的两个非平凡子空间，则存在aeV,使名定吗,电史卬2

同时成立。

(2)若dim(W1+%)=dim(吗c%)+l，则吗=%或%=%。

6.设

={(Xpx2,­•■,%„)ePTk/i+k2x2+•••+knxn=0,k；eP,i=1,2,…,〃}

V2={(xl,x2,---,xn)eP"Ixj=x2=•••=%„)

证明，若匕+&+…+匕,/0，则F=匕㊉匕。

7.设/(x)=d(x)j\(x),g(x)=d(x)g](x),且/(x)与g(x)不全为零,证明d(x)

是/(x),g(x)的一个最大公因式的充分必要条件是(/(x),g(x))=1o

8.设4,8都是〃阶实对称矩阵，证明

(1)若A,3都是正定矩阵且A8=8A,则A3是正定矩阵；

(2)如果A-B与B-A均为半正定矩阵，则4=B。

9.设叱，%是〃维线性空间V的两个子空间，且其维数之和为〃，证明存在

V的线性变换。，使Kercr=W「b(V)=%。

2006年

1.设a于b,证明(了一〃)(％-。)"(工)当且仅当/(〃)=/0)=0。

2.设A为4阶方阵且IA1=6,4=(。”%，%，%)，求

I%-2a2+a\，4%，3%,2%।。

3.设4为〃阶方阵，%,%,%是〃维列向量且％。0，

Aa2=%+02，A%=a?+%，试证明a1,%,火线性无关。

4.设A为〃阶方阵，证明秩(4〃)=秩(A"?。

5.求齐次线性方程组

8

Xj-x3+x5=0

x-x=0

V24

Xj-x2+x5=0

再一区4+=0

的解空间的一组标准正交基。

6.若出“*”=&，则称々曲是A,“x”的一个左逆，证明

(1)A,,*“有左逆的充要条件是Amxn的列向量线性无关；

(2)A,“*"的左逆唯一当且仅当人…可逆。

7.设为”阶方阵，且存在可逆阵尸使8=尸"尸，证明

(1)A,8有相同的特征值；

(2)A,8相同的特征值的特征子空间的维数相等。

8.设丫为〃维线性空间，。是V上的线性变换，证明o■是数乘变换充要条

件是丫中每个一维子空间都是。-子空间。

9.设A为实满秩方阵，求证

(1)AA'正定；

(2)存在正交阵P,。使「"。二力稣区人,…其中4>0』=1,2厂,〃。

10.设A为〃阶方阵，则存在与对角矩阵相似的矩阵8与幕零矩阵。使

A=8+C且8C=CB。

9

广西师范大学

2003年

1.计算题

1)求〃阶行列式2的值

Xyy…y

ZXy...y

2=ZZX…y

ZZ…X

’1-1-1、

2)令尸表示数域F上三元列空间，取A=113设。是尸的一个

J37,

线性变换，对任意ae尸)有cr(a)=Aa,求Ker(cr),Im(cr)及它们的维数。

3)设矩阵A=5b3，又IAl=-1,A*有一个特征值4,且属于“

、l-c0-a,

’-1、

的一个特征向量为-1，求a,"。,乙的值。

、1>

2.下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。

1)设4,6,C是三个〃x〃矩阵，若CR。，且AC=8C,则A=8；

2)若〃阶行列式0=0,则。中一定有一行是其余各行的线性组合；

3)若欧氏空间中的向量构成一个正交组，则%,。2,…’%一定线

性无关；

4)用正交变换方法将一个实二次型/(七,/，…，Z)化为标准型，此标准型是

唯一的。

3.设/(x),g(x)是有理数域上的多项式，已知/(x)不可约且/(x)的一个根

(在复数域内的根)也是g(x)的根，证明/(X)的所有根都是g(x)的根。

10

4.设在实平面上有三条不同的直线

6:〃x+Z?y+c=0,4：0x+c>+〃=°，/3:cx+ay+b=0

证明它们相交于一点的充要条件是a+b+c=O。

5.设b是向量空间丫的线性变换，且/=/,但。不是恒等变换,。令

U={v€VIcr(v)=v],W={veVIcr(v)=-v}

证明都是V的子空间，且v=u㊉w。

6.证明每个循环群都同构于整数加群Z的一个商群。

7.假定“WG,NVG,令HN={hn\heH,nwN],证明“N4G。

8.证明整数环Z的一个理想/是最大理想当且仅当/是由一个素数生成的。

9.设/和/是环R的两个理想，且/三1,令，={a+/lae/},证明,

是%的理想且//=%。

2004年

1.填空题

1）若（x—l）2整除4/+艮，+1,则4=,B=；

‘101、

2）已知A=020及A2S-A-8=E（E为单位矩阵），则

「201,

IBI=；

3）设%,%，是线性方程组AX=6的3个解向量，bwO,秩A=2,又

’0、

00

0

则AX=b的通解为o

4）若向量组％,4中的每个向量都可以由它的一个部分向量组

%,%2,唯一地线性表示，那么向量组即％，%的秩是°

11

2.计算题

1)计算〃阶行列式的值

a+bbh…b

aa+bb…b

D„=aaa+b…h

aaaa+/?

2)设V=R4,叱=£(四,。2，。3)，=£(/?,,^2),其中

%=(1020)。2=(2o11)a3=(10-11)力=(331-2)

区=(130-3),求吗c%与明+电的基和维数。

3)已知实二次型/(再,》2，33)=2x；-2x/2-2/》3+2x；-2%》3+2x；,求!11

正交变换乂=〃丫，化二次型为标准形，进而写出此二次型的典范形。

3.下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。

1)尸是数域，如果/(x)在尸中没有根，则/(x)在P[x]中是不可约多项式。

2)A,8是两个机义〃矩阵，如果齐次线性方程组Ax=0的解都是齐次线性方

程组5》=0的解，则秩42秩3。

3)如果向量组的每个向量都可以由向量组四，四,…，氏线性表

示，当r<s时，％,a2,…,%一定线性相关。

4)V是一个欧氏空间，如果/是V的一个线性变换，且保持内积不变，即

对于任意a,/?eV,有(/(a),/(夕))=(a,尸),则/一定是正交变换。

4.证明题

1)证明多项式/a)和g(x)互素的充分必要条件是对任意的正整数〃，

尸(x)和g"(x)都互素。

2)V是数域尸上的〃维向量空间，/是丫的线性变换。

(1)取丫的一个基%,%，…,%，/在这个基下的矩阵为A，定义1/1=1Al,

证明I/I的值与基的选择无关；

12

(2)I/h0«Kerf={0}o

3)设A,8都是正定矩阵，证明

(1)方程IXA-81=0的根都大于零；

(2)方程1X4-81=0的根都等于loA=8。

2005年

1.填空题

1)i^f(x)=x4-2x3+3x2-4x+2eQ[x],/(x)在。[幻中的所有不可约因

式是；

2)已知实3阶方阵A=(%)满足旬=-A4,i,j=1,2,3(A°表示元素%的代数

余子式)，且a”H0,则detA=；

3)设％,02，。3,。4线性无关，则向量组%+。2，。2+23,。3+%，%+。1的秩

等于;

4)设b是向量空间V的一个线性变换，如果。在V的一组基%,%，下的

’010、

矩阵是001,写出V的所有O•不变子空间o

、000,

2.计算题

1)计算〃阶行列式的值

X1+a{X|X|

x2+a2•••X2

4=

Z-1%

X”x“x„x„+a

其中/电N0。

2)试求作一个齐次线性方程组，使它的解空间由下列4个向量生成:

T111.T

%=(-1,-11,2,0),a2—,6,4)

13

%=(!。0,3，11，%=(—1,—229,4)7

44

其中，，•表示。的转置。

3)已知二次型f(x},x2,x3)=2x；+3x；+3x；4-2ax2x3(a>0),通过正交变换

化成标准型/(%,力，兀)=皿+2无+5y；,求出参数。及所用的正交变换矩阵。

3.判断下列命题的正确性，并请说明理由或举出反例。

1)设(/(x),g(x))=d(x),则满足等式f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)的u(x)和

v(x)只有一对，其中(/(x),g(x))表示/(x)与g(x)的首项系数为1的最大公因式。

2)设有〃个未知量〃+1个方程的线性方程组

a]}x]+6f12x2+—=b[

ax+ax+•••+ax=b

<2}}2222nn2

a“+i,内+〃角,2冗2+..•+%+],/〃=b〃+i

有解，则行列式

a\\a\l…a\n"1

a2\a22…a2n%

=U

•••••••••••••••

%+lJan+r,2…%+l,"b"+l

反之也成立。

3)A,8都是〃阶实对称矩阵，且有相同的特征多项式，则A与8相似。

4)设实二次型人匹/2,…,x,)的秩为〃，则/5,》2,…,x")一定是正定的。

4.证明题

1)设/(x)是整系数多项式，/⑴=/(2)=/(3)=p(p是整数)，证明不存

在整数小,使得/(〃?)=2p。

2)设A是一个〃阶方阵，则A?=/的充分必要条件是秩(A+/)+秩

(A-/)=〃(其中/为”阶单位阵)。

3)设%,_,人，…，凡是"维欧氏空间V中的两组向量，证明存在

14

正交变换了,使得/(%)=%=1,2,…,1n的充分必要条件是

(%,%)=(以血)「"=1,2,…，m,其中(«,/7)表示向量a与向量月的内积。

15

广州大学

2003年

1.令b是数域尸上向量空间V的一个线性变换，如果京42,…，女分别是属

于＜7的互不相同的特征根4,4，…,4的特征向量，那么2，…，女线性无关。

2.设/（X）=0-4）（工一42）…，其中41,出，…,凡为互异的整数，

求证/（X）在。㈤中不可约。

3.数域/上〃维向量空间V的一个线性变换o•满足〃=/（单位变换），证

明V=匕㊉匕1,这里V,和V,分别是属于特征根土1的特征子空间。

4.已知实矩阵A=（%）3X3满足条件

（1）%=\（Z,j=1,2,3）其中为为%的代数余子式；

（2）a”工0；

试求行列式IAI。

5.设a…为AX=#0）的〃-r+1个线性无关的解向量，秩

A=r,求对应的齐次线性方程组AX=0的一个基础解系。

6.上取怎样的数值时，线性方程组

kx}+x2+x3=1

＜+x2+kxj-k

2

+x2+kx3=k

有唯一解，没有解，有无穷多解？

’61r

7.设A=161,求正交矩阵U,使UAU为对角矩阵。

U13

8.设〃元实二次型/区七,…,X,）=x4x,A为实对称矩阵，

X=（x„x2,-,x,,）,,证明/在条件5＞；=i下的最大（小）值恰为A的最大（小）的

16

特征值。

2004年

1.设于(X)=x4+3%3-x2-4x-3,g(x)=3x3=10x2+21-3求(/(x),g(x))及

〃(x),u(x)使(/(x),g(x))=〃(x)/(x)+v(x)g(x)o

2.计算行列式

12n

23…1

n1…n—1

3.a/为何值时，实数域火上的线性方程组

X]+々+%3+工4+%5=1

3项+2X4-x+x-3X=a

<2345

x2+2X3+2X4+6鼻=3

5x,+4X2+3X3+3X4-x5=b

有唯一解，无穷多解，无解？

4.求齐次线性方程组

2xI-4X2+5X3+3X4=0

〈3X]-6X2+4X3+2X4=0

4天一8^2+17^3+1IX4=0

的基础解系，并写出解空间。

5.判断下列矩阵

'11-2'

A=-101

1-1-1

的可逆性，如可逆，用初等变换法求其逆矩阵。

6.设%=(1,2,1,0)，a2=(-1,1,1,1)，=(2-1,0,1)，△=(1，T，3,7)，

匕=£(%,%)，%=L(4,夕2)，求匕与匕的交的维数及一组基。

7.线性空间V的线性变换。在基马,心,£3下的矩阵为

17

122

A=212

221

求6的特征值及特征向量。

8.设b是〃维线性空间V的一个线性变换，/=1,证明b的特征值只能

为±1。

9.设4是正交矩阵且141=-1,证明-1是4的一个特征值。

10.设A是一个〃阶可逆实矩阵，证明存在一个正定对称矩阵S和一个正交

矩阵U，使得A=US。

2005年

1.机,p,q适合什么条件时，有

(1)x2+mx-\\+px+q；

(2)x2+mx-\\x4+px+q»

2.计算行列式

abed

-ba-dc

(1)D=

-cda-b

-d-cba

1+xy0•••00

zl+xy…00

0z1+x•••00

⑵D”=,其中x=yz。

000•••1+xy

000■■■z1+x

3.假设向量可以由向量组四,。2,…,明线性表出，证明表示法是唯一的充

分必要条件是%,22,…,见线性无关。

4.讨论4涉取何值时，下列方程组无解、有唯一解，有无穷多解，有解时

求出其解。

18

X]+2X2+3X3-x4=1

xt+x2+2X3+3X4=1

3^1—x,一=a

2X|+3X2-x3+bx4--6

5.设〃级方阵48满足条件4+8=46,/为单位矩阵。

(1)证明A-/为可逆矩阵;

(2)证明48=84；

1-30

(3)已知8=210求A。

002

1002

6.设4=0001求3级可逆阵P,4级可逆阵。，使

-3000

1000

A=P0100Q

0000

7.设%,…,凡是〃维线性空间V的一组基，A是以〃xs矩阵,

3&…冉=)4,证明L(几尸2,…，氏)的维数等于A的秩。

8.

0

0

9.

10.

19

哈尔滨工业大学

2009年

1.设尸是一个数域，/(x),g(x)eP[x]。证明若(/(x),g(x))=l,则

(/(x)g(x),/(x)+g(x))=l。

2.在内中，线性变换。对于基

7,=(-1,0,2),72=(0,1,1),%=(3,-1,0)

的象为

四=(一5,0,3),“2=(0,—1,6),0-73=(-5,-1,9)

求。在〃上的矩阵A0

1-11200

3.设矩阵A24-2,B020。且A与B相似。

-3-3a00b

(1)求a,。；

(2)求一个可逆阵P,使=

4.称矩阵4为幕零矩阵，如果存在正整数机使得4"=0。试证

(1)若A为〃阶复幕零矩阵，则A"=0；

(2)若A为”阶复塞零矩阵，则对任意非零常数34+4右都可逆。

5.设向量组⑴%,%，…,火线性无关，并且可由向量组(2)4,夕2,…，色线性

表出。那么，并且，以适当地排列组(2)中向量的次序，使得组⑴替换组(2)

地前r个向量后所得到地向量组四,%，…,%，A，%…，民与组⑵等价。

~AR-

6.设乂=，其中A,B,C,O均为〃阶矩阵，且A是可逆对称矩阵，

CD

B=C。证明存在可逆矩阵T,使TXT为分块对角阵。

7.设匕、匕是〃维欧氏空间V的子空间，且K的维数小于匕的维数。证明匕

20

中必有一非零向量正交于匕中的所有向量。

8.令M“表示数域尸上一切〃阶方阵，所组成线性空间，设

S^{A&Mn\A^A},T={AeMn\A=-A],证明

(1)S,T都是M“的线性子空间；

(2)=S㊉T。

9.设A和8都是〃阶正定方阵，则方程144-81=()的根都是正的，并且当

且仅当4=8时;所有的根都等于1。

11.设A,5,CeP""",试证厂(A8C)2r(4B)+r(BC)—r(8)。

21

华南理工大学

2005年

1.证明，如果(/(x),g(x))=l,那么

(/(x)g(x)(/(x)+g(x)),/(x)+/(x)g(x)+g(x))=1

2.问/l取何值时，方程组有唯一解、无限多解、无解？并在有解时给出解

的结构。

AJC1+x2+x3=1

<X]+AX2+X3-A

2X|+(1++(1+a).=A+A-

3.判断下面的矩阵A是否可对角化

’366、

A=020

、一3-12-6,

4.证明秩为21)的矩阵可表示成「个秩为1的矩阵之和。

5.设A为”阶实对称矩阵，乙〃分别为其最大与最小特征根，证明对于任

意的XNXAX»4一，这里X,是X的转置矩阵。

6.设A为正交矩阵，A的特征根均为实数，证明A为对称矩阵。

7.设A、B为实对称矩阵，证明A、8的特征根全部相同的充要条件是存在

正交矩阵T,使得广弘了二台。

8.设是一实矩阵，A'是4的转置矩阵，证明

(1)齐次线性方程组AX=O与A'4X=O同解；

(2)秩(A)=秩(AA)；

(3)方程组A'AX=AA(其中8是任一s维列向量)一定有解。

9.设〃为欧氏空间V中的一个单位向量，定义

cr(a)=a-2<r),a>7

22

其中<77,a>表不〃与a的内积，证明

(1)b是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；

(2)对任意的若a,尸均为单位向量，则存在镜面反射。，使得

b(a)=P，并求这个镜面反射的特征值及所对应的特征子空间。

10.设A是一个〃阶矩阵，证明A与A'相似。

2006年

1.设/(x),g(x)是数域/上的多项式，证明/(x)lg(x)当且仅当对于任意的

大于I的自然数〃,尸(x)lg"(x)。

2.设A是一个〃阶实矩阵，证明(E-A)(£-A/是正交矩阵，当且仅当A是

反对称矩阵。

3.求下面的矩阵A的列空间在K中的正交补的一个标准正交基

‘1-11-T

1-1-11

A=

1-1-22

2-21-1,

4.设4,凡为数域产上的互不相同的数而％，仇，…，a为数域F上的任意

的数。证明在尸上存在唯一的〃次多项式/(x)使得/(a,)=b,.,O<i<no

5.设A为〃阶复矩阵，证明A为对称矩阵的充要条件是存在〃阶复矩阵B,

使得4=这里"表示6的转置矩阵。

6.设A为正定矩阵，则存在正定矩阵S使得A=S、由此证明每一个可逆

实矩阵8都可以表示为一个正交矩阵与一个对称矩阵的乘积。

7.设K是欧氏空间而W是丫的有限维子空间，证明卬在V中一定有正交补。

8.设V=M“(F)表示数域F上的”阶矩阵的向量空间，对于AeV,定义

cr(A)=A(A'是A的转置矩阵)。

(1)证明o■是一个线性变换;

23

(2)求o■的全部特征子空间；

(3)证明b可以对角化。

9.设f(x),g(x)是数域F上的互素的多项式，A是尸上的〃阶矩阵，证明齐

次线性方程组/(A)g(A)X=0的解空间f(A)X=0的解空间与g(A)X=0的解空

间的直和(其中X表示〃维列向量)。

10.设小)=/+/+/+%+1。⑴将/(x)在实数域上分解因式;⑵证

明/(x)在有理数域上不可约。由此证明cos”不是有理数。

2009年

1.设/(x),g(x)是P[x]中的非零多项式，且g(x)=s"'(x)g|(x),这里用21,

(s(x),g](x))=l,s(x)"(x)。证明不存在(x),r(x)eP[x],且r(x)0,

5(r(x))<0(s(x))使得

/(x)_r(x)।一(X)

2.设表示数域P上所有次数<n的多项式及零多项式构成的线性空间，

令多项式力(x)=(x-%)…(x-a”)(x-《+|)…(X-%),其中i=l,2,…,〃，且

是数域2中〃个互不相同的数。

⑴证明/,(x),72(%),•.•,/„(x)是P[x]“的一组基;

(2)在⑴中，取4,心…，4为全体〃次单位根，求由基1,羽…,x"T到基

f⑶(尤)，…/(x)的过渡矩阵T。

3.设〃阶方阵A满足A?=A,且A的秩r(A)=r。

(1)证明"(A)=r,这里4的迹"(A)定义为4的主对角线上的元素之和；

(2)求I4+EI的值。

4.设后],e2,£r3是欧氏空间V的一组标准正交基，设%=0+s2-s3,

24

%=J，卬=LQ,%)。

(1)求W的一组标准正交基；

(2)求W1■的一组标准正交基；

(3)求£=£2+2%在W中的内射影(即求£eW，使a=£+y,/wWD,并

求a到W的距离。

5.设b是数域P上的〃维线性空间V的线性变换，f(x),g(x)eP[x],证明

(1)(0)+g"(0)=(f(。必(。)尸(0)；

(2)当/(x)与g(x)互素时，有

f"(0)©g(b)T(0)=(/(Gg(G)T(0)

6.设/(不,》2,…,x")=X'AX为"元实二次型，若矩阵A的顺序主子式

△«色=1,2「,〃)都不为零，证明/区,》2,…,乙)可以经过非退化的线性替换化为

下述标准型

这里4=A-,i=1,2,…，并且金=1。

△,--1

7.设数域A,5分别为数域P上的mxn与〃xs矩阵，又

W={Ba\ABa=0,aPsaeP'"}是〃维列向量空间尸网的

子空间，证明

dim(W)=r(B)—r(A3)

8.设/(x,y)为定义在数域p上的〃维线性空间v上的一个双线性函数，证

明f(X,Y)=XAX=附X，勺可以表示为两个线性函数力(X)=工二岸:，

/2(y)=Z：=£%之积的充要条件是f(X,Y)的度量矩阵A的秩V1。

25

华南师范大学

2002年

1.计算行列式

%

%

%a”

%a..

%。2。3。4

2.设/(x),g(x)是数域产上的多项式,/(x)=d(x)/；(x),g(x)=d(x)g|(x)。

证明d(x)是f(x),g(x)的最大公因式当且仅当(力(x),g|(x))=1O

3.设c是复