高考数学讲义随机变量及其分布列参考教案

随机变量及其分布列

隹高考要求

要求层次重难点

取有限值的离散型⑴理解取有限个值的离散型随机变量及

随机变量及随机变量及其分布C其分布列的概念，了解分布列对于刻画

其分布列随机现象的重要性.

⑵理解超几何分布及其导出过程，并能

超几何分布A进行简单的应用.

要求层次重难点

条件概率A

二项分布-了解条件概率和两个事件相互独立的概

事件的独立性A

及其应用念，理解n次独立重复试验的模型及二

n次独立重复试验与

B项分布，并能解决一些简单的实际问题.

二项分布

要求层次重难点

离散型随-

理解取有限个值的离散型随机变量均

机变量的

取有限值的离散型随值、方差的概念，能计算简单离散型随

均值与方B

机变量的均值、方差机变量的均值、方差，并能解决一些实

差

际问题.

要求层次重难点

正态分布利用实际问题的直方图，了解正态分布

正态分布A

曲线的特点及曲线所表示的意义.

隹知识内容

1.离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结

果的不同而坐化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母

X,Y,表示.

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.

⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X所有可能的取值x,与该取值对应的概率p,(i=l,2,,〃)列表表示：

X冗2Xi

pPlp?PiPn

我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.

2.几类典型的随机分布

⑴两点分布

如果随机变量X的分布列为

X10

ppq

其中q=\-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率

为80%,随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布.

X10

p0.80.2

两点分布又称0-1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分

布又称为伯努利分布.

⑵超几何分布

一般地,设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件,从所有物品中任取n件(nWN),

这«件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为

p(X=,")=(ow〃?W/,/为〃和M中较小的一个).

CN

我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N,

M,〃的超几何分布.在超几何分布中，只要知道N,"和”，就可以根据公式求出X

取不同值时的概率P(X=m),从而列出X的分布列.

⑶二项分布

1.独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及入，并且事件A发生的概率相同.在相同

的条件下，重复地做〃次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为〃次独

立重复试验.〃次独立重复试验中，事件A恰好发生人次的概率为

P.*)=C.pkQ-p)i(k=0,l,2,,n).

2.二项分布

若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为4=1-0,那么在〃次独立重复

试验中，事件A恰好发生*次的概率是P(X=Z)=C其中々=0,1,2,于

是得到X的分布列

X01kn

C：pkq“Y

pCp°q"C：pnq°

由于表中的第二行恰好是二项展开式

(q+P)"=CpW+C：p“i++c：pW-«+C：：PZ。

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为〃，p的二项分布，

记作X~B(n,p).

二项分布的均值与方差：

若离散型随机变量X服从参数为"和p的二项分布，则

E(X)=np,D(x)=npq(q=1-p).

⑷正态分布

1.概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变

量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线.

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X落在指定的两个

数。，匕之间的概率就是对应的曲边梯形的面积.

2.正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素

在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的年

随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布.x=n\

服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量.△

正态变量概率密度曲线的函数表达式为/\

yj2Tl.cy/N

xeR,其中〃，cr是参数，且cr>0,-oo<f,i<+oo./

式中的参数必和b分别为正态变量的数学期望和标准差.期望------------同-----T

为〃、标准差为b的正态分布通常记作N（〃，〃）.

正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.

⑵标准正态分布：我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布.

⑶重要结论：

①正态变量在区间（〃-cr,〃+cr）,（〃-2cr,〃+2cr）,（〃-3cr,〃+3cr）内，取值的概率分

别是68.3%,95.4%,99.7%.

②正态变量在（-8,+8）内的取值的概率为1,在区间（〃-3b,〃+3cr）之外的取值的概率

是0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x=〃三倍标准差之内，这就是正态分布的3b原

则.

⑷若g~N（",s）,f（x）为其概率密度函数，则称F（x）=pqwx）=fy（ry/f为概率分布

函数，特别的,尸),称/x)=L意"，为标准正态分布函数•

a

尸修<幻=。（土必）.

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得.

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可.

3.离散型随机变量的期望与方差

1.离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是百，声,…，演，这些

值对应的概率是Pi，P2，…，p„»则E（x）=x/i+x2P2++x“p”,叫做这个离散型随

机变量X的均值或数学期望（简称期望）.

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.

2.离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x，与，・・・，相，这些值对应的

概率是Pi,p2>P„>则o（x）=（西-E（X）7PI+电-E仅）力2++觞一££）舫“叫

做这个离散型随机变量X的方差.

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散

程度）.

o（x）的算术平方根辰y叫做离散型随机变量x的标准差，它也是一个衡量离散型随

机变量波动大小的量.

3.X为随机变量，为常数，则E(aX+%)=〃E(X)+8,D(aX+力="2£>(X)；

4.典型分布的期望与方差：

⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为°,在〃次二

点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为即.

⑵二项分布：若离散型随机变量X服从参数为〃和p的二项分布，则E(X)=叩，

0(x)=npq(q=\-p).

⑶超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N,〃的超几何分布，

则£(%)=—,=——

N储(N-1)

4.事件的独立性

如果事件A是否发生对事件3发生的概率没有影响，即尸(0A)=P(B),

这时，我们称两个事件A,8相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.

如果事件A,&A.相互独立，那么这〃个事件都发生的概率，等于每个事件发

生的概率的积，即p(4&4)=尸(A)xP(4)xxP(4),并且上式中任意多个事

件A换成其对立事件后等式仍成立.

5.条件概率

对于任何两个事件A和3,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概

率，用符号“P(8|A)”来表示.把由事件A与8的交(或积)，记做O=AB(或。=M).

■tte典例分析

版块一：离散型随机变量及其分布列

【例1】以下随机变量中，不是离散型随机变量的是：

(1)某城市一天之内发生的火警次数X;

⑵某城市一天之内的温度Y.

【考点】离散型随机变量的定义

【难度】1星

【题型】解答

【关键词】无

【解析】略

【答案】⑴X是随机变量，其取值为0,1,2,;

⑵丫不是随机变量，它可以取某一范围内的所有实数，无法一一列举.

【例2】抛掷两颗骰子，所得点数之和为g,那么g=4表示的随机试验结果是()

A.一颗是3点，一颗是1点

B.两颗都是2点

C.两颗都是4点

D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点

【考点】离散型随机变量的定义

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】对A,B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4,

而D是彳=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试险

的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键.

【答案】D:

【例3】如果g是一个离散型随机变量，则假命题是()

A.J取每一个可能值的概率都是非负数；

B.J取所有可能值的概率之和为1;

C.J取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；

D.4在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和.

【考点】离散型随机分布列的性质

【难度】1星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】略

【答案】D:

【例4】有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回,

直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数J为随机变量，求J的分布列.

【考点】离散型随机分布列的性质

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】无

【解析】略

【答案】容易知道§=2,3,4,5.

A21

：4=2表示前2只测试均为次品，尸(§=2)=+=—

A：15

4=3表示前两次中一好一坏，第三次为坏,尸片一3)—一^一百

•.♦《=4表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏,

A：।_1।14

P片=4)=

父415515

4=5表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好

.C；CM_8

・・-5)-丁+丁-百

分布列为

g2345

P1248

15Isis

【例5】设随机变量J所有可能取值为1,2,3,4,且已知概率P(J=&)与Z成正比，求4

的分布.

【考点】离散型随机分布列的性质

【难度】2星

【题型】解答

【关键词】无

【解析】略

【答案】=k)=ak(a为常数)，由分布列的性质有a+2a+3a+4a=1,解得a=\.

b

因此g的分布为尸«=幻=历.

【例6】一批产品分为一、二,三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的

从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量

年代|卜()

123

A.-B.-C.-D.-

7777

【考点】离散型随机分布列的性质

【难度】3星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】设二级品有A个，一级品有2A个，三级品有4个,总数为爻个.

22

4123

421

P-77一

二分布列为1____L2_L2_L_7_

154

P(严W?=PC=1)=,

【答案】D：

【例7】随机变量X的分布列尸(X=舟=P(k,1,2,3,p为常数，则

k(k+1)

【考点】离散型随机分布列的性质

【难度】3星

【题型】选择

【关键词】无

【解析】X的分布列为

【答案】D：

【例8】在第1,3,6,8,16路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽

车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车.假定当时各路汽车首先到站的可

能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于.

【考点】离散型随机分布列的计算

【难度】1星

【题型】填空

【关键词】无

【解析】略

【答案】-；

5

【例9】（2010广东高考）

已知随机量X服从正态分布N（3,1）,且P（2WXW4）=0.6826,则P（X>4）=

（）

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

【考点】离散型随机分布列的计算

【难度】2星

【题型】选择

【关键词】2010年，广东高考

X—3

【解析】当XN(3,l)时，有1N(0，l)即p(-iwx-3W1)=0.6826

P(0vX-3W1)=g.0.6826-0.3413

p（X>4）=P（X-3>l）=0.5-0.3413=0.1587

于是

【答案】B:

【例10】袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为L现有甲、

7

乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，

直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能

的，用X表示取球终止所需要的取球次数.

⑴求袋中所有的白球的个数；

⑵求随机变量X的概率分布；

⑶求甲取到白球的概率.

【考点】离散型随机分布列的计算

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】无

【解析】略

n(n-1)

【答案】⑴设袋中原有"个白球，由题意知』=£=一^=弛二12,

7C,7x6

可得〃=3或〃=-2(舍去)即袋中原有3个白球.

(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4,5,

3P（X=2）=非号,尸（X=3）=黑!=*

p(X=l)=-9

尸(X=4)=尘巨x2x33n/v—4x3x2xlx31

--------=—,r（X=5）=------------=—.

7x6x5x4357x6x5x4x335

所以X的分布女为：

X12345

32631

P

77353535

(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次，第三次和第5次上汉球,记“甲取到白球”

为事件A,

则P（A）=P（X=1）+P（X=3）+P（X=5）=—.

【例11】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现

红球与绿球的概率都是工，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次

2

出现红球、绿球的概率分别为1,2；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿

33

球的概率分别为记第〃(〃eN*)次按下按钮后出现红球的概率为4.

⑴求鸟的值；

⑵当〃wN,〃22时，求用月一表示Pn的表达式；

⑶求P"关于n的表达式.

【考点】离散型随机分布列的计算

【难度】5星

【题型】解答

【关键词】无

【解析】略

【答案】⑴鸟是“第二次按下按钮后出现红球

若第一次，第二次均出现红球，则概率为：---=-

236

133

第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：.

2510

137

故所求概率为：P,=-+—=一.

-61015

⑵第〃-1次按下按钮出现红球的概率为：21（〃22）,则出现绿球的概率为：1一加

若第〃一1次，第w次均出现红球，其概率为：9T.

若第〃一1次，第”次依次出现绿球，红球，其^率为：（1一匕_1）］.

1343

于是口=尹+（1-^.）-=--^,+-;

1343

⑶由⑵E,=§EI+（1_CI）7=-EEI+W，

4

引入代定参数x,使得Pn+x=-—（^_j+x）.

4IQ1Q39

上式即为乙=一1月1一］尤，与月的表达式对比=因此,x=---

19

Q4Q4941

于是勺_历=―石区--历）==（一话）"历）=（一百）"'

38

41Q

=(——产——+—(〃eN,心2).

153819

版块二：几类典型的随机分布

1.超几何分布

【例12】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取

到新球的个数的期望值是.

【考点】超几何分布

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】超几何分布，忙=2.8.

10

【答案】2.8;

【例13】以随机方式自5男3女的小群体中选出5人组成一个委员会，求该委员会中女

性委员人数的概率分布、期望值与方差.

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】设女性委员的人数为X,则X服从参数为(8,3,5)的超几何分布，其概率分布

为尸(X=o)=-L尸(X=l)="，尸(X=2)=的，尸(X=3)=W,

56565656

期望E(X)="=—,方差£>(X)=1=经“0.5022.

8882X(8-1)448

【答案】概率分布：P(X=O)=—,P(X=1)=—,P(X=2)=—,P(X=3)=—,

56565656

期望：—,方差：0.5022.

8

【例14】在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且

取出不再放回，若以J和〃分别表示取出次品和正品的个数.求J，77的期望值

及方差.

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】抽取样本连续抽取3次，也可认为一次抽取3个，所以自服从参数为12,2,3的

超几何分布.7；服从参数为12,10,3的超几何分布.且J+〃=3.

于是―舒斗助=3_喏4”=3(12-3)x2(12-2)15

122(12-1)~44

015

Dz7=(-1)2^=—.

44

【答案】E^=-,Erj=~,D^=—

2244

【例15】某人可从一个内有2张100元，3张50元的袋子里任取2张，求他获得钱数的

期望值.

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】方法一：设他取得100元的张数为X,则X服从参数为5,2,2的超几何分布.

卬…一的.3w-CC_6

i(A_U)-z———,i(X_1)_z———,i(A—2)-z———.

C；10C；10C；10

X=0,1,2时他所获得的钱数分别为100,150,200.

因此他获得钱数的期望值为：

100P(X=0)+150P(X=1)+200P(X=2)=140元.

方法二：设他取得100元的张数为X,则X服从参数为5,2,2的超几何分布.

由公式知EX=2x2=9.

55

44

因此他获得钱数的期望值为：100><弓+50乂(2-1)=140元.

【答案】140.

【例16】某人有一张100元与4张10元，他从中随机地取出2张给孙儿、孙女，每人一

张，求孙儿获得钱数的期望值.

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】方法一：设他取出100元的张数为X,则X服从参数为5,1,2的超几何分布.

C'C14

p(X=0)=^L=—,p(X=l)=^-±=—

C；10C；10

X=0,1时他所取出的钱数分别为20,110.

因此他取出钱数的期望值为：20P(X=0)+110P(X=1)=12+44=56.

孙儿获得钱数的期望值为」56=28.

2

方法二：设他取得100元的张数为X,则X服从参数为5,1,2的超几何分布.

由公式知EX—I、2=—.

55

22

因此他取出钱数的期望值为：100xy+10x(2-7=56元.

【答案】56.

【例17】甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中

的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行

测试，至少答对2题才算合格.

⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差;

⑵求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

【考点】超几何分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】⑴依题意，X可能取的值为0,1,2,3,k=0,1,2,3.

甲答对试题数X的分布列如下:

X0123

1311

P

301026

13119

甲答对试题数X的数学期望E(X)=0x—+lx—+2x—+3x-=-.

3010265

D(X)=[o-1

(注：X服从参数为10,6,3的超几何分布，故由公式得E(X)=4\xU6=]Q)

⑵设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,

11256+56_14

则P(A)=-+-=-,P(B)=六三~~工-

263jo120Ts

因为事件A、B相互独立，

法一：

二甲、乙两人考试均不合格的概率为

G历=隔)嗝+即一国*•

——144

甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P(A・B)=1——=—.

4545

法二：

甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P=P(A-5)+P(A•历+P(A-B)

——2111421444

=尸(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=-x—+-x—+-x—=—.

31531531545

【答案】⑴甲答对试题数X的分布列如下:______________

X0123

131_

P

301026

91444

£(X)=-.D(X)=—;⑵一.

52545

2.二项分布

【例18】已知随机变量4服从二项分布，4~8(4,4,则尸(4=2)等于-

【考点】二项分布

【难度】1星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】C^(1)2(I-1)2=A

【答案】—:

27

【例19】某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4,

则他能及格的概率为(保留到小数点后两位小数)

【考点】二项分布

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】他能及格则要解对4道题中解对3道或4道：解对3道的概率为

P(A)=C：•0.43.0.6,解对4道的概率为P(B)=C：0.44,且A与8互斥，

他能及格的概率为P(A+B)=C^-0.43-0.6+C*.0.44«0.18.

【答案】0.18;

【例20】从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件,

求恰好抽到两次次品的概率(结果保留2位有效数字).

【考点】二项分布

【难度】2星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】有放回地抽取5件，视为5重Bernoulli实验.

，1

设A表示“一次实验中抽到次品"，P(A)=-记X为抽到的次品数，则

124

X~B(5,；),于是P(X=2)=C式;)2(l-；)3=0.26.

【例21】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%,现从一批产品中的任意连续取出2

件，求次品数4的概率分布列及至少有一件次品的概率.

【考点】二项分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】J的取值分别为0、1、2

J=0表示抽取两件均为正品，F(^=0)=C(l-0.05)2=0.9025.

表示抽取一件正品一件次品，PC=1)=C；(1-0.05)・0.05=0.095.

g=2表示抽取两件均为次品，PC=2)=C；(0.05)2=0.0025.

，g的概率分布列为：

g012

P0.90250.0950.0025

PC>1)=0.095+0.0025=0.0975.

【例22】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券

一张，每张奖券中奖的概率为工，若中奖，则家具城返还顾客现金200元.某

顾客消费了3400元，得到3张奖券.

⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率；

⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.

【考点】二项分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】⑴家具城恰好返还给该顾客现金200元，即该顾客的三张奖券有且只有一张中

奖.所求概率为p=C；（g＞（§2=^.

⑵设家具城至少返还给该顾客现金200元为事件A,这位顾客的三张奖券有且

只有一张中奖为事件A,这位顾客有且只有两张中奖为事件&,这位顾客有且

只有三张中奖为事件则人=4+42+4，且A，4,A是互斥事件.

P（A）=P（A）+P（4）+P（A）=嘿）42+嗯）24）+c冲3嚏+蒜+击

61

-125,

_461

也可以用间接法求：P（A）=1-P（A）=1-（-）3=—.

【例23］（05浙江）

袋子A和3中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是

从8中摸出一个红球的概率为2.

3

⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.

①求恰好摸5次停止的概率；

②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为求随机变量g的分布.

⑵若A,8两个袋子中的球数之比为1:2,将4,8中的球装在一起后，从中摸出一

个红球的概率是:，求〃的值.

【考点】二项分布

【难度】4星

【题型】解答

【关犍字】2005年，浙江高考

【解析】略

【答案】（1）恰好摸5次停止，则第5次摸到的是红球，前面4次独立重复试验摸到两次

红球，所求概率为：C冲2（|）2义：=郎

随机变量J的取值为0,1,2.由〃次独立重复试验概率公式

P.（kpgYbT,得

g）9吟嗤,-=1）=令*1一*果,

pc=2）=c；x（+xaJ;幽，-担心

53324324381

⑵设袋子A中有m个球，则袋子3中有2加个球，且A中红球数为，3中红

m+2mp

球数为2rnp,由--------I,解得p塌.

3m

【例24】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1-P,且各发动机互不影

响.如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行.问对于多大

的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？

【考点】二项分布

【难度】3星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】分析：4台发动机中要有2台(或3、4台)正常运行，而这2台可以是任意的.故

属〃次独立重复试验问题.2台发动机的情形同理.建立不等式求解.

解：四发动机飞机成功飞行的概率为

C〉p2.(i_p)2+c：.p3.(l-P)‘+C；•尸=6P2(1-P)2+4^(1-P)+P4

二发动机飞机成功飞行的概率为C)P-(l-P)+C；p2=2P(1-P)+尸

要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要

6产(1_p)2+4尸(1—P)+户1>2P(1-P)+P2

nP(P-l)2(3P-2)>0,解得±<P<1.

3

答：当发动机不出故障的概率大于士时，四发动机飞机比二发动机飞机安全.

3

注：计算飞机成功飞行的概率时可从反而考虑：四发动机为

—C1P(1-P)3,二发动机为这样更简单.

【例25】已知X~8(10,0.8),求E(X)与£)(X).

【考点】二项分布

【难度】1星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】由二项分布的期望与方差公式得E(X)=，w=8,n(X)=〃p(l-p)=1.6.

【例26】已知随机变量X服从参数为6,0.4的二项分布，则它的期望或X)=,

方差O(X)=.

【考点】二项分布

【难度】2星

【题型】填空

【关键字】无

【解析】略

【答案】2.4,1.44.

【例27】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上

的次数为g,则g的数学期望是（）

A.20B.25C.30D.40

【考点】二项分布

【难度】3星

【题型】选择

【关键字】无

【解析】抛掷一次，4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的概率是与=3,故

248

3a

g~8（80，N，因此数学期望为8Ox—=3O,选C.

88

【答案】C:

【例28】某班级有〃人，设一年365天中，恰有班上的机（〃?W〃）个人过生日的天数

为X,求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.

【考点】二项分布

【难度】5星

【题型】解答

【关键字】无

【解析】略

【答案】〃个人在哪天过生日可看成〃次独立重复试验，设某天过生日的人数为y,则

y~8（"，・1），因此p（y=附=c;（白1）m（黑364厂=c：364"-'",

3o5Jo?JOJ303

365天每天有多少人过生日，又可看作365次独立重复试验，因此

X~8（365,P（Y=机））.

由二项分布的期望值公式知：

E(X)=365-P(y=〃?)=C：^3r

364"364"

没有人过生日的天数期望值为C；

365“T365"T

恰有一人过生日的天数期望值为c,"T=〃WrT

365"365"

364"364”T

因此至少有两人过生日的天数的期望值为：365-―n---------

365”T365"T

【例29】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入

口处，小球将自由下