空间向量及其运算（第二课时） 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算(第二课时)学习目标1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律．3.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.4.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.5.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题。新知探究共线向量与共面向量思考1回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义．答案:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．思考2空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案:正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．新知探究梳理

(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb点P在直线l上的充要条件存在实数t满足等式＝＋tɑ在直线l上取向量＝ɑ，则＝＋t向量ɑ为直线的方向向量新知探究定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y对空间任一点O，有＝＋x＋y(2)共面向量小试牛刀向量共线问题

提示：判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找到x，使a＝xb即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．小试牛刀向量共线问题

小试牛刀向量共面问题

考点：空间向量的运算.提示：利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系小试牛刀向量共面问题跟踪训练

若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．解析:设c＝λ1a＋λ2b，则

新知探究空间向量数量积的概念

解析:新知探究梳理

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c新知探究(3)空间向量的夹角

新知探究空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|²或|a|＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④|a·b|≤|a|·|b|小试牛刀空间向量的数量积运算

【答案】6【解题技巧】本题根据垂直向量的数量积为0，进行运算，主要考察空间向量的数量积运算，考察运算能力.小试牛刀空间向量的数量积运算跟踪训练

如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(

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【答案】D小试牛刀利用数量积求夹角

提示：两向量的数