四川省成都实验中学2025年高三下学期二模考试数学试题试卷含解析

四川省成都实验中学2025年高三下学期二模考试数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（）A． B． C． D．2．已知各项都为正的等差数列中，，若，，成等比数列，则（）A． B． C． D．3．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（）A． B． C． D．4．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为()A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI（居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（）A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%6．（）A． B． C． D．7．在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A． B．6 C．4 D．58．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（）A． B． C． D．9．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．设为虚数单位，复数，则实数的值是（）A．1 B．-1 C．0 D．211．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．0112．设复数满足，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____14．如图，在矩形中，，是的中点，将，分别沿折起，使得平面平面，平面平面，则所得几何体的外接球的体积为__________.15．设α、β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，则m∥α；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；其中正确命题的序号为_____．16．已知，满足约束条件，则的最大值为________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，(其中，).（1）求函数的最小值.（2）若，求证：.18．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲线上，点满足.（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程；（2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值.20．（12分）如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.21．（12分）选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．22．（10分）已知函数，.（1）当时，求函数的值域；（2），，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.【详解】∵，∴．故选：本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.2．A【解析】试题分析：设公差为或（舍），故选A.考点：等差数列及其性质.3．A【解析】

由已知可得的单调性，再由可得对称性，可求出在单调性，即可求出结论.【详解】对于任意，函数满足，因为函数关于点对称，当时，是单调增函数，所以在定义域上是单调增函数.因为，所以，.故选:A.本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题..4．C【解析】

分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】（1）当时，，此时不存在图象；（2）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（3）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；（4）当时，，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；画出的图象，由图象可得：对于①，在上单调递减，所以①正确；对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误；对于③，由函数图象的对称性可知③错误；对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确.故选：C本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.5．D【解析】

A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，再判断.C.食品占19.9%，再看第二个图，分清2.5%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品占中19.9%，分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%，故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%，故错误.故选：D本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．A【解析】

分子分母同乘,即根据复数的除法法则求解即可.【详解】解:,故选:A本题考查复数的除法运算,属于基础题.7．D【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算．【详解】由题意．故选：D．本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．8．A【解析】

首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.【详解】根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，所以，所以．又，所以的最小值为．故选：A本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.9．D【解析】

由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解【详解】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解，令，则，则当时，；当时，，故时取得极大值，也即为最大值，当时，；当时，，所以满足条件．故选：D本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.10．A【解析】

根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.【详解】复数，由复数乘法运算化简可得，所以由复数定义可知，解得，故选：A.本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.11．D【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.12．D【解析】

根据复数运算，即可容易求得结果.【详解】.故选：D.本题考查复数的四则运算，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，一条渐近线的斜率为1，即，，，故答案为：．本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．14．【解析】

根据题意，画出空间几何体，设的中点分别为，并连接，利用面面垂直的性质及所给线段关系，可知几何体的外接球的球心为，即可求得其外接球的体积.【详解】由题可得，，均为等腰直角三角形，如图所示，设的中点分别为，连接，则，.因为平面平面，平面平面，所以平面，平面，易得，则几何体的外接球的球心为，半径，所以几何体的外接球的体积为.故答案为：.本题考查了空间几何体的综合应用，折叠后空间几何体的线面位置关系应用，空间几何体外接球的性质及体积求法，属于中档题.15．④【解析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于①，当m∥n时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m∥α，①错误；对于②，当m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误；对于③，当α∥β，且m⊂α，n⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m∥n，③错误；对于④，当α⊥β，且α∩β＝m，n⊂α，m⊥n时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n⊥β，④正确；综上知，正确命题的序号是④．故答案为：④．本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.16．【解析】

根据题意，画出可行域，将目标函数看成可行域内的点与原点距离的平方，利用图象即可求解.【详解】可行域如图所示，易知当，时，的最大值为．故答案为：9.本题考查了利用几何法解决非线性规划问题，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）.（2）答案见解析【解析】

（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合即可得证.【详解】（1），当且仅当时取等号，∴的最小值；（2）证明：依题意，，要证，即证，即证，即证，即证，又可知，成立，故原不等式成立.本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．18．（1）；（2）.【解析】

（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；（2）利用导数求得最大值即可.【详解】（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，，所以，同理，.（2）设，则，令，则，即.设，且，则当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增，所以当时，取得极小值，所以.因为，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.19．（1）（）；（2）【解析】

（1）由已知，曲线的参数方程消去t后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；（2）设，，由（1）可得，，相加即可得到证明.【详解】（1），∵，∴，∴，由题可知：，：（）.（2）因为，设，，则，，.本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.20．（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由题意可证得，，所以平面，则平面平面可证；（2）解法一：利用等体积法由可求出点到平面的距离；解法二：由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作的垂线，垂足，证明平面，计算出即可.【详解】解法一：（1）依题意知，因为，所以.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等边三角形，且为的中点，所以.因为，所以.又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在中，，，所以.由（1）知，平面，且，所以三棱锥的体积.在中，，，得，由（1）知，平面，所以，所以，设点到平面的距离，则三棱锥的体积，得.解法二：（1）同解法一；（2）因为，平面，平面，所以平面.所以点到平面的距离等于点到平面的距离.过点作的垂线，垂足，即.由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即为点到