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文档简介
新疆阿克苏地区阿瓦提县第四中学2025届高三下学期3月适应性检测试题数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设m,n为直线,、为平面,则的一个充分条件可以是()A.,, B.,C., D.,2.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是18人,则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.603.已知非零向量,满足,,则与的夹角为()A. B. C. D.4.如图,在正四棱柱中,,分别为的中点,异面直线与所成角的余弦值为,则()A.直线与直线异面,且 B.直线与直线共面,且C.直线与直线异面,且 D.直线与直线共面,且5.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.6.已知各项都为正的等差数列中,,若,,成等比数列,则()A. B. C. D.7.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为2,则输出的值为A. B. C. D.8.已知平面向量满足与的夹角为,且,则实数的值为()A. B. C. D.9.把函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,若函数是偶函数,则实数的最小值是()A. B. C. D.10.设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.设双曲线的一条渐近线为,且一个焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的方程为()A. B. C. D.12.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量满足,,则______________.14.在中,角的平分线交于,,,则面积的最大值为__________.15.双曲线的左焦点为,点,点P为双曲线右支上的动点,且周长的最小值为8,则双曲线的实轴长为________,离心率为________.16.已知点M是曲线y=2lnx+x2﹣3x上一动点,当曲线在M处的切线斜率取得最小值时,该切线的方程为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线的焦点为,点,点为抛物线上的动点.(1)若的最小值为,求实数的值;(2)设线段的中点为,其中为坐标原点,若,求的面积.18.(12分)2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出的最小值.(结论不要求证明)19.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?附:线性回归方程,其中,.768381252620.(12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.()求与平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.21.(12分)已知分别是椭圆的左、右焦点,直线与交于两点,,且.(1)求的方程;(2)已知点是上的任意一点,不经过原点的直线与交于两点,直线的斜率都存在,且,求的值.22.(10分)某商场以分期付款方式销售某种商品,根据以往资料统计,顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为:2340.4其中,(Ⅰ)求购买该商品的3位顾客中,恰有2位选择分2期付款的概率;(Ⅱ)商场销售一件该商品,若顾客选择分2期付款,则商场获得利润l00元,若顾客选择分3期付款,则商场获得利润150元,若顾客选择分4期付款,则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为(单位:元)(ⅰ)求的分布列;(ⅱ)若,求的数学期望的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】对于A选项,当,,时,由于不在平面内,故无法得出.对于B选项,由于,,所以.故B选项正确.对于C选项,当,时,可能含于平面,故无法得出.对于D选项,当,时,无法得出.综上所述,的一个充分条件是“,”故选:B本小题主要考查线面垂直的判断,考查充分必要条件的理解,属于基础题.2.D【解析】
根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率,再根据样本容量求出班级人数.【详解】根据频率分布直方图,得:低于60分的频率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴样本容量(即该班的学生人数)是60(人).故选:D.本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率的应用问题,属于基础题3.B【解析】
由平面向量垂直的数量积关系化简,即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.【详解】根据平面向量数量积的垂直关系可得,,所以,即,由平面向量数量积定义可得,所以,而,即与的夹角为.故选:B本题考查了平面向量数量积的运算,平面向量夹角的求法,属于基础题.4.B【解析】
连接,,,,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性质可知,直线与直线共面.,同理易得,由异面直线所成的角的定义可知,异面直线与所成角为,然后再利用余弦定理求解.【详解】如图所示:连接,,,,由正方体的特征得,所以直线与直线共面.由正四棱柱的特征得,所以异面直线与所成角为.设,则,则,,,由余弦定理,得.故选:B本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质,还考查了推理论证和运算求解的能力,属于中档题.5.C【解析】
利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。6.A【解析】试题分析:设公差为或(舍),故选A.考点:等差数列及其性质.7.C【解析】
由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值.【详解】解:初始值,,程序运行过程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循环,输出的值为其中①②①—②得.故选:.本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到,的值是解题的关键,属于基础题.8.D【解析】
由已知可得,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得由,得即,解得.故选:.本题考查向量的数量积运算,向量垂直的应用,考查计算求解能力,属于基础题.9.A【解析】
先求出的解析式,再求出的解析式,根据三角函数图象的对称性可求实数满足的等式,从而可求其最小值.【详解】的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为,故.令,,解得,.因为为偶函数,故直线为其图象的对称轴,令,,故,,因为,故,当时,.故选:A.本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质,注意平移变换是对自变量做加减,比如把的图象向右平移1个单位后,得到的图象对应的解析式为,另外,如果为正弦型函数图象的对称轴,则有,本题属于中档题.10.D【解析】令,可得.在坐标系内画出函数的图象(如图所示).当时,.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点,则有,解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时,有,解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时,实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时,实数的取值范围是.选D.点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.11.C【解析】
求得抛物线的焦点坐标,可得双曲线方程的渐近线方程为,由题意可得,又,即,解得,,即可得到所求双曲线的方程.【详解】解:抛物线的焦点为可得双曲线即为的渐近线方程为由题意可得,即又,即解得,.即双曲线的方程为.故选:C本题主要考查了求双曲线的方程,属于中档题.12.A【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
首先根据向量的数量积的运算律求出,再根据计算可得;【详解】解:因为,所以又所以所以故答案为:本题考查平面向量的数量积的运算,属于基础题.14.15【解析】
由角平分线定理得,利用余弦定理和三角形面积公式,借助三角恒等变化求出面积的最大值.【详解】画出图形:因为,,由角平分线定理得,设,则由余弦定理得:即当且仅当,即时取等号所以面积的最大值为15故答案为:15此题考查解三角形面积的最值问题,通过三角恒等变形后利用均值不等式处理,属于一般性题目.15.22【解析】
设双曲线的右焦点为,根据周长为,计算得到答案.【详解】设双曲线的右焦点为.周长为:.当共线时等号成立,故,即实轴长为,.故答案为:;.本题考查双曲线周长的最值问题,离心率,实轴长,意在考查学生的计算能力和转化能力.16.【解析】
先求导数可得切线斜率,利用基本不等式可得切点横坐标,从而可得切线方程.【详解】,,=1时有最小值1,此时M(1,﹣2),故切线方程为:,即.故答案为:.本题主要考查导数的几何意义,切点处的导数值等于切线的斜率是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)的值为或.(2)【解析】
(1)分类讨论,当时,线段与抛物线没有公共点,设点在抛物线准线上的射影为,当三点共线时,能取得最小值,利用抛物线的焦半径公式即可求解;当时,线段与抛物线有公共点,利用两点间的距离公式即可求解.(2)由题意可得轴且设,则,代入抛物线方程求出,再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由题,,若线段与抛物线没有公共点,即时,设点在抛物线准线上的射影为,则三点共线时,的最小值为,此时若线段与抛物线有公共点,即时,则三点共线时,的最小值为:,此时综上,实数的值为或.因为,所以轴且设,则,代入抛物线的方程解得于是,所以本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题,属于中档题.18.(Ⅰ)万;(Ⅱ)分布列见解析,;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ)的可能取值为,计算概率得到分布列,再计算数学期望得到答案.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为,故,解得答案.【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人,故人数为:万人.(Ⅱ)8名男生中,测试成绩在70分以上的有人,的可能取值为:.,,.故分布列为:.(Ⅲ)英语测试成绩在70分以上的概率为,故,故.故的最小值为.本题考查了样本估计总体,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.(1)不同的样本的个数为.(2)①分布列见解析,.②线性回归方程为.可预测该同学的物理成绩为96分.【解析】
(1)按比例抽取即可,再用乘法原理计算不同的样本数.(2)名学生中物理和数学都优秀的有3名学生,任取3名学生,都优秀的学生人数服从超几何分布,故可得其概率分布列及其数学期望.而线性回归方程的计算可用给出的公式计算,并利用得到的回归方程预测该同学的物理成绩.【详解】(1)依据分层抽样的方法,24名女同学中应抽取的人数为名,18名男同学中应抽取的人数为名,故不同的样本的个数为.(2)①∵7名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为3名,∴的取值为0,1,2,3.∴,,,.∴的分布列为0123∴.②∵,.∴线性回归方程为.当时,.可预测该同学的物理成绩为96分.在计算离散型随机变量的概率时,注意利用常见的概率分布列来简化计算(如二项分布、超几何分布等).20.(1).(2).【解析】分析:(1)直接建立空间直角坐标系,然后求出面的法向量和已知线的向量,再结合向量的夹角公式求解即可;(2)先分别得出两个面的法向量,然后根据向量交角公式求解即可.详解:()∵是矩形,∴,又∵平面,∴,,即,,两两垂直,∴以为原点,,,分别为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,由,,得,,,,,,则,,,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,∴,∴,故与平面所成角的正弦值为.()由()可得,设平面的一个法向量为,则,即,令,得,,∴,∴,故二面角的余弦值为.点睛:考查空间立体
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