考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷3（共252题）

考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷3（共9套）（共252题）考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、若事件A和B同时出现的概率P(AB)=0，则()A、A和B不相容(互斥)．B、AB是不可能事件．C、AB未必是不可能事件．D、P(A)=0或P(B)=0．标准答案：C知识点解析：本题考查的知识点是不可能事件与概率为0的随机事件之间的区别和联系．这两者之间的关系为：不可能事件的概率，但概率为零的随机事件A未必是不可能事件，也就是说，由P(A)=0不能推出A=，所以选项C正确．2、已知事件A发生必导致B发生，且0＜P(B)＜1，则P(A|)=()A、0．B、C、D、1．标准答案：A知识点解析：3、在全概率公式中，除了要求条件B是任意随机事件及P(Ai)＞0(i=1，2，…，n)之外，我们可以将其他条件改为()A、A1，A2，…，An两两独立，但不相互独立．B、A1，A2，…，An相互独立．C、A1，A2，…，An两两互不相容．D、A1，A2，…，An两两互不相容，其和包含事件B，即标准答案：D知识点解析：如果A1，A2，…，An两两互不相容，则A1B，A2B，…，AnB亦两两互不相容，且因应用加法与乘法两个公式可得出全概率公式，即应选D．4、设A、B、C是三个相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系．由A,B、C相互独立可知，事件A、B的和、差、积(或其逆)与事件C或必相互独立，因此选项A、C、D均被排除，选项B正确．5、连续型随机变量X的分布函数则其中的常数a和b为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：为连续型X的分布，故F(x)必连续，那么F(x)在x=0连续．6、设随机变量X的密度函数为φ(x)，且φ(一x)=φ(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有()A、F(一a)=1一∫0aφ(x)dxB、C、F(一a)=F(a)．D、F(一a)=2F(a)一1．标准答案：B知识点解析：7、已知随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|一1＜x＜1，一1＜y＜1}上服从均匀分布，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据题设知(X，Y)的概率密度函数为所以选项A、B、C都不正确，故选D．8、设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则()A、X与Y一定独立．B、(X，Y)服从二维正态分布．C、X与Y未必独立．D、X+Y服从一维正态分布．标准答案：C知识点解析：因为只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X与Y不相关X与Y相互独立．本题已知X和Y服从正态分布，不能推得(X，Y)服从二维正态分布，因此由不相关推不出X与Y一定独立，故排除选项A．若X和Y都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但由题设并不知道X和Y是否相互独立，故排除选项B．同样，当X和Y都服从正态分布且相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，又排除选项D．综上可知，选择C．9、已知随机变量X与Y均服从0一1分布，且E(XY)=，则P{X+Y≤1}=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为X与Y均服从0一1分布，所以可以列出(X，Y)的联合分布如下：故选C．10、假设二维随机变量(X1，X2)的协方差矩阵为，其中σij=Cov(Xi，Xj)(i，j=1，2)，如果X1与X2的相关系数为p，那么行列式|∑|=0的充分必要条件是()A、ρ=0．B、C、D、|ρ|=1．标准答案：D知识点解析：故选择D．11、设总体X服从正态分布N(0，σ2)，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值、方差分别为，S2．则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：12、设X1，X2，…，Xn是来自X～P(λ)的简单随机样本，则可以构造参数λ2的无偏估计量()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)13、从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=________．标准答案：知识点解析：由于事件{X=1}，{X=2}，{X=3}，{X=4}是一个完备事件组，且P{X=i}=，i=1，2，3，4．所以条件概率P{Y=2|X=1}=0，P{Y=2|X=i}=，i=2，3，4．根据全概率公式14、口袋中有n个球，从中取出一个再放人一个白球，如此交换进行n次，已知袋中自球数的期望值为a，那么第n+1次从袋中取出一个白球的概率为________．标准答案：知识点解析：本题主要考查事件的设定、全概概率，题中有一个完备事件组：n次交换后袋中存有白球数X(X=1，2，…，n)，因此是全概概型．设B为第n+1次从袋中取白球，Ak(k=1，2，…，n)表示n次交换后袋中的白球数，则n次交换后袋中的白球数的期望值为15、设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，已知P{X≤2}=0．062，P{X≥9}=0．025，则概率P{|X|≤4}=________．(Ф(1．54)=0．938，Ф(1．96)=0．975)标准答案：0．2946知识点解析：要计算正态分布随机变量在某范围内取值的概率，首先必须求出分布参数μ与σ．根据题意有16、设随机变量X服从正态分布N(μ，1)，已知P{X≤3}=0．975，则P{X≤一0．92}=________．标准答案：0．025知识点解析：由=Ф(3一μ)=0．975，可知3一μ=1．96，μ=1．04，于是P{X≤一0．92}=Ф(一0．92一μ)=Ф(一1．96)=0．025．17、已知随机变量X1，X2，X3相互独立，且都服从正态分布N(0，σ2)，如果随机变量Y=X1X2X3的方差则σ2=________．标准答案：知识点解析：已知随机变量X1、X2、X3相互独立，则X12、X22、X32相互独立．又因E(Xi)=0，E(X12)=D(Xi)=σ2．故D(y)=D(X1X2X3)=E(X1X2X3)2一E2(X1X2X3)=[E(X12X22X32)]一[E(X1)E(X2)E(X3)2=E(X12)E(X22)E(X32)=(σ2)3=18、设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从的0一1分布，则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为________．标准答案：知识点解析：根据题意显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且19、设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则E(X)=________．标准答案：知识点解析：则X=X1+X2+…+Xm．事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，所以有20、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1服从区间[0，6]上的均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为3的泊松分布，则D(X1一22+3X3)=________．标准答案：46知识点解析：根据题设可知，D(X1)==3，D(X2)=22=4，D(X3)=3，于是D(X1一2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46．21、设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥________．标准答案：0．928知识点解析：因为E(X)=4，D(X)=0．8，E(Y)=1，D(Y)=1，所以E(X+Y)=E(X)+E(Y)=5，D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1．8．根据切比雪夫不等式，可得P{0＜x+Y＜10}=P{|X+Y一5|＜5}≥即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．22、设X1，X2，…，X9是来自总体X～N(μ，4)的简单随机样本，而X是样本均值，则满足P{|X一μ|＜μ}=0．95的常数μ=________．(Ф(1．96)=0．975)标准答案：1．3067知识点解析：根据题意可知23、设总体X～N(μ，σ2)，u未知，x1，x2，…，xn是来自该总体的样本，样本方差为．S2，对H0：σ2≥16H←→H1：σ2＜16，其检验统计量为________，拒绝域为________．标准答案：χ2统计量；{χ2＜χ1一α2(n—1)}．知识点解析：u未知，对σ2的检验使用χ2检验，又根据题设知，假设为单边检验，所以统计量为χ2=三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)24、已知随机变量X的概率密度(Ⅰ)求分布函数F(x)．(Ⅱ)若令Y=F(X)，求Y的分布函数FY(y)．标准答案：直接根据F(x)=P{X≤x}，FY(y)=P|F(X)≤y}求解．知识点解析：暂无解析25、设随机变量X与Y独立，X在区间[0，2]上服从均匀分布，Y服从指数分布e(2)，求：(Ⅰ)二维随机变量(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)概率P(X≤Y)．标准答案：(Ⅰ)已知X在区间[0，2]上服从均匀分布，y服从指数分布e(2)，因此可得(Ⅱ)当x＜0或者x＞2时，f(x，y)=0，因此区域x≤y为y轴和x=2之间，且在直线y=x上方的无界区域，所以其对概率密度在积分区域上进行二重积分，所以可表示为知识点解析：暂无解析26、在时刻t=0时开始计时，设事件A1，A2分别在时刻X，Y发生，X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为求A1先于A2发生的概率．标准答案：根据X和Y的独立性，可知X和Y的联合概率密度为按题意需求概率P{X＜Y}，如图3—3所示知识点解析：暂无解析27、设随机变量且P{|X|≠|Y|}=1．(Ⅰ)求X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性；(Ⅱ)令U=X+Y，V=X—Y，讨论U与V的独立性．标准答案：(Ⅰ)由P{|X|≠|Y|}=1知，P{|X|=|Y|}=0．由此可得X与Y的联合分布律为即可验证U与V独立．知识点解析：暂无解析28、已知总体X的数学期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，X1，X2，…，X2n是来自总体X容量为2n的简单随机样本，样本均值为，求E(Y)．标准答案：因为总体分布未知，所以需将Y化简，并且根据数字特征性质计算E(Y)．因为知识点解析：暂无解析29、设总体X的概率分布为其中是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3．求θ的矩估计和最大似然估计值．标准答案：E(X)=0×θ2+1×2θ(1—θ)+2×θ2+3×(1—2θ)=3—4θ，知识点解析：暂无解析30、设总体X的概率密度为其中参数λ(λ＞0)未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本．(Ⅰ)求参数λ的矩估计量；(Ⅱ)求参数λ的最大似然估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、对于任意两个事件A和B，有P(A一B)=()A、P(A)一P(B)．B、P(A)一P(B)+P(AB)．C、P(A)一P(AB)．D、标准答案：C知识点解析：如图1—1所示，可知A=(A—B)+AB，(A—B)∩(AB)=．所以P(A)=P(A一B)+P(AB)，进而P(A—B)=P(A)=P(AB)．故C选项正确．2、设A，B是任意两个随机事件，又知BA，且P(A)＜P(B)＜1，则一定有()A、P(A∪B)=P(A)+P(B)．B、P(A—B)=P(A)一P(B)．C、P(AB)=P(A)P(B|A)．D、P(A|B)≠P(A)．标准答案：D知识点解析：由于BA，则A∪B=B，AB=A．当P(A)＞0，选项A不成立；当P(A)=0时，条件概率P(B|A)不存在，选项C不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设P(A)＜P(B)，故选项B不成立．对于选项D，根据题设条件0≤P(A)＜P(B)＜1，可知条件概率P(A|B)存在，并且故应选D．3、将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”；B=“正面最多出现一次”；C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是()A、A与B独立．B、B与C独立．C、A与C独立．D、B∪C与A独立．标准答案：B知识点解析：试验的样本空间有8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}．显然B与C为对立事件，且依古典型概率公式有即P(AB)=P(A)P(B)．因此A与B独立，类似地A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立，用排除法应选B．4、设A、B、C三个事件两两独立，则A、B、C相互独立的充分必要条件是()A、4与BC独立．B、AB与A∪C独立．C、AB与AC独立．D、A∪B与A∪C独立．标准答案：A知识点解析：经观察，即可知由选项A能够推得所需条件．事实上，若A与BC独立，则有P(ABC)=P(A)P(BC)，而由题设知P(BC)=P(B)P(C)．从而P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．故选A．5、假设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是()A、如果F(a)=0，则对任意x≤a有F(x)=0．B、如果F(a)=1，则对任意x≥a有F(x)=1．C、D、标准答案：D知识点解析：由于F(x)是单调不减且0≤F(x)≤1，F(x)=P{x≤x}，因此A、B、C都成立，而选项D未必成立，因此选D．6、设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜x}=α，则x等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：根据标准正态分布上α分位数的定义及条件P{X＞uα}=α与P{|X|＜X}=α，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图2—3所示图形．由图(b)，根据标准正态分布的上Q分位数的定义，可知故选项C正确．7、设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)，独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为()A、一1．B、0．C、D、1．标准答案：B知识点解析：8、设相互独立的两随机变量X和Y分别服从E(λ)(λ＞0)和E(λ+2)分布，则P{min(X，Y)＞1}的值为()A、e一(λ+1)．B、1一e一(λ+1)．C、e一2(λ+1)．D、1一e一2(λ+1)．标准答案：C知识点解析：P{min(X，Y)＞1}=P{x＞1，Y＞1}=P{X＞1}P{Y＞1}=e一λ．e一(λ+2)=e一2(λ+1)故选项C正确．9、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于()A、一1．B、0．C、D、1标准答案：A知识点解析：根据题意，Y=n一X，故ρXY=一1．应选A．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1．若Y=aX+b(a，b为常数)，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=一1．10、已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差，则X与Y的相关系数等于1的充分必要条件是()A、Cov(X+Y，X)=0．B、Coy(X+Y，Y)=0．C、Cov(X+Y，X—Y)=0．D、Cov(X—Y，X)=0．标准答案：D知识点解析：直接根据定义通过计算确定正确选项，已知D(X)=D(Y)，故选择D．其余选项均不正确，这是因为当D(X)=D(Y)时必有Coy(X+Y，X—Y)=Coy(X，X)一Coy(X，Y)+Cov(Y，X)一Cov(Y，Y)=D(X)一D(Y)=0，选项C成立，不能推出ρ=1．选项A、B可推出Cov(X，Y)=一Coy(X，X)=一D(X)或Cov(X，Y)=一Coy(Y，Y)=一D(Y)，11、设总体X与Y都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn是分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从t(n)分布，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：根据t分布典型模式来确定正确选项．由于～N(0，1)且相互独立，所以，U与V相互独立，根据t分布典型模式知，12、设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，D(Xi)=σ2，则()A、S是σ的无偏估计量．B、S是σ的最大似然估计量．C、S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D、S与相互独立．标准答案：C知识点解析：本题主要考查统计量的评价标准．因为S2是σ2的无偏估计，即E(S2)=σ2，但未必有E(S)=σ，故排除选项A．若X1，X2，…，Xn来自正态总体，则是σ的最大似然估计，又排除选项B．同样，当X1，X2，…，Xn来自正态总体时，S与才相互独立，选项D也不正确．因而应选C．下面证明选项C正确．设X表示总体，根据切比雪夫大数定律此时显然有S依概率收敛于σ，即S是σ的相合估计量．因而选C．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)13、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球与1个白球，第二个箱中有3个黑球和3个白球，第三个箱子中有3个黑球与5个白球．现随机地选取一个箱子，从中任取1个球，则这个球为白球的概率是________；若已发现取出的这个球是白球，则它不是取自第二个箱子的概率是________．标准答案：知识点解析：设事件Ai=“取到第i箱”，i=1，2，3，B=“取到白球”，则第一个空应为P(B)，第二个空应为显然A1，A2，A3是一完备事件组，由题意可得根据全概率公式和贝叶斯公式，可得14、如果用X，Y分别表示将一枚硬币连掷8次正反面出现的次数，则t的一元二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率是________．标准答案：知识点解析：15、已知随机变量Y服从[0，5]上的均匀分布，则关于x的一元二次方程4x2+4Yx+Y+2=0有实根的概率p=________．标准答案：知识点解析：所以所求的概率为P=P{方程有实根}=P{A≥0}=P{16Y2—16(Y+2)≥0}=P{16(Y一2)(Y+1)≥0}=P{(Y≥2)∪(Y≤一1)}=P{Y≥2}+P{Y≤一1}16、设随机变量X的概率密度为Y表示对X三次独立重复观察中事件出现的次数，则P(Y=2)=________．标准答案：知识点解析：由题设可知17、一批元件其寿命(单位：小时)服从参数为λ的指数分布．系统初始先由一个元件工作，当其损坏时立即更换一个新元件接替工作，那么到48小时为止，系统仅更换一个元件的概率为________．标准答案：48λe一48λ知识点解析：记事件A=“到48小时为止，系统仅更换一个元件”，用元件的寿命来表示A．如果用Xi表示第i个元件的寿命，根据题意Xi相互独立且有相同的密度函数即事件A=“第一个元件在48小时之前已经损坏，第一个、第二个元件寿命之和要超过48小时”=“0≤X，＜48，X1+X2＞48”，所以题意要求P(A)，如图3—1所示，P(A)=P{0≤X1＜48，X1+X2＞48}18、已知随机变量X与Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，记Z=max(X，Y)，则(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=________．标准答案：知识点解析：已知X与Y独立且有相同分布F(x)，所以(X，Z)的联合分布函数F(x，z)=P{X≤x，max(X，Y)≤z}=P{X≤x，X≤z，Y≤z}19、设随机变量X的概率密度为则随机变量X的二阶原点矩为________．标准答案：知识点解析：依题设，即求E(X2)．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有20、设随机变量X和Y的联合概率分布为则X和Y的相关系数ρ=________．标准答案：0知识点解析：根据题意X与Y的边缘分布分别为E(X)=0．6，D(X)=0．24，E(Y)=0．2，E(Y2)=0．5，D(Y)=0．46，E(XY)=一0．08+0．20=0．12，Cov(X，Y)=0．12—0．6×0．2=0．所以ρ=0．21、设随机变量X1，X2，…，Xn，Y1，Y2，…，Yn相互独立，且λ服从参数为λ的泊松分布，Yi服从参数为的指数分布，i=1，2，…，n，则当n充分大时，近似服从________分布，其分布参数为________与________．标准答案：知识点解析：X1+Y1，X2+Y2，…，Xn+Yn相互独立同分布．因E(Xi)=D(Xi)=λ，E(Yi)=λ，D(YI)=λ2，故E(Xi+Yi)=2λ，D(Xi+Yi)=λ+λ2，则当n充分大时，近似服从正态分布，其分布参数22、设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从________分布，分布参数为________．标准答案：F；(10，5)知识点解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，X15相互独立，且均服从正态分布N(0，σ2)，所以X12+X22+…+X102与X112+X122+…+X152，相互独立，由于所以23、假设X1，X2，…，X16是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，如果P{X＞μ+aS}=0．95，则a=________．(t0．05(15)=1．7531)标准答案：一0．4383知识点解析：因此由可知，4a是t(15)分布上α=0．95的分位点为t0．95(15)，所以4a=t0．95(15)，由于t分布密度函数是关于x=0对称的，故一tα=t1一a，4a=t0．95(15)=一t0．05(15)=一1．7531，解得a=一0．4383．24、Z检验、t检验都是关于________的假设检验．当________已知时，用Z检验；当________未知时，用t检验．标准答案：均值；方差σ2；方差σ2．知识点解析：根据Z检验、t检验的概念可知，Z检验、t检验都是关于均值的假设检验，当方差σ2为已知时，用Z检验；当方差σ2为未知时，用t检验．三、解答题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)25、已知一本书中每页印刷错误的个数X服从泊松分布p(0．2)，写出X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于1个的概率．标准答案：由题意可知，X～p(0．2)，X的概率函数为p(x；0．2)=，x=0，1，2，3…，将x=0，1，2，3…代入函数，可得p(0)≈0．8187，p(1)≈0．1637，p(2)≈0．0164，p(3)≈0．0011，p(4)≈0．0001，p(5)≈0．X的概率分布表如下：一页上印刷错误不多于1个的概率p=p(0)+p(1)≈0．9824．知识点解析：暂无解析26、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为(Ⅰ)求P{x＞2Y}；(Ⅱ)求Z=X+Y的概率密度．标准答案：(Ⅰ)已知X，Y的概率密度，所以(Ⅱ)先求Z的分布函数：(1)当Z＜0时，FZ(0)=0；(4)当z≥2时，FZ(z)=1．故Z=X+Y的概率密度为知识点解析：暂无解析27、设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0≤y≤x≤3一y，y≤1}上服从均匀分布，求边缘密度fX(x)及在X=x条件下，关于Y的条件概率密度．标准答案：如图3—4所示，区域D是一个底边平行于x轴的等腰梯形，(4)当x≤0或x≥3时，由于fX(x)=0，因此条件密度fY|X(y|x)不存在．注意在x≤0或x≥3时，fY|X(y|x)不是零，而是不存在．知识点解析：暂无解析28、已知随机变量X与Y相互独立且都服从参数为的0一1分布，即P{x=0}=P{X=1}=求Z的分布；(X，Z)的联合分布；并问X与Z是否独立．标准答案：由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得Z及(X，Z)的分布，进而判断X、Z是否独立．由题设知知识点解析：暂无解析29、设总体X服从几何分布：p(x；p)=p(1一p)x一1(x=1，2，3，…)，如果取得样本观测值为x1，x2，…，xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值．标准答案：已知总体X的概率函数的未知参数为p，且总体X的一阶原点矩为知识点解析：暂无解析30、设x1，x2，…，xn为来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中μ0已知，σ2＞0未知，x和S2分别表示样本均值和样本方差．(Ⅰ)求参数σ2的最大似然估计；(Ⅱ)计算标准答案：(Ⅰ)似然函数知识点解析：暂无解析考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是()A、8B、16C、28D、44标准答案：D知识点解析：由DX=4，DY=2，且X与Y独立，故D(3X-2y)=9DX+4DY=9×4+4×2=44二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)2、已知随机事件A的概率P(A)=0．5，随机事件B的概率P(B)=0．6及条件概率P(B|A)=0．8，则和事件A∪B的概率P(A∪B)=_______．标准答案：0.7知识点解析：由0．8=P(B|A)=，得P(AB)=0．8P(A)=0．8×0．5=0．4．故P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0．5+0．6-0．4=0．73、设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=_______．标准答案：知识点解析：由题意得得P(A)-P(AB)=P(B)=P(AB)，∴P(A)=P(B)∴=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]=1-2P(A)+[P(A)]2解得P(A)=4、设相互独立的两个随机变量X与Y具有同一分布律，且X的分布律为，则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为_______．标准答案：知识点解析：由已知知，Z可能取的值为0、1两个而P{Z=0}=P{max{X，Y}=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}．P{Y=0}=∴P{Z=1}=1=P(Z=0)=5、从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}=_______。标准答案：知识点解析：由题意，X的概率分布为：且P(Y=2|X=1)=0，P(Y=2|X=2)=，P(Y=2|X=3)=，P(Y=2|X=4)=，故由全概率公式得三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)6、将n个同样的盒子和，n只同样的小球分别编号为1，2，…，n。将这n个小球随机地投入n个盒子中，每个盒子中投入一只小球，问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?标准答案：知识点解析：暂无解析7、设事件A、B、C两两独立，且ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)=p，问p可能取的最大值是多少?标准答案：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3p-3p2，又P(A∪B∪C)≥P(A∪B)=P(A)+(B)-P(AB)=2p-p2，∴2p-p2≤3p-p2，解得(p=0显然无意思)；取Ω={w1，w2，w3，w4}，p(wi)=，i=1，…，4，A={w1，w2}，B={w1，w3}，C={w2，w3}，则P(A)=P(B)=P(C)=，而此A、B、C两两独立且ABC=φ，可见p可能取的最大值应为(后半部分在说明：这个可以“取到”，而非仅是一个“界”)知识点解析：暂无解析8、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)．标准答案：关于X的边缘概率密度为：当-∞＜x＜+∞时，知识点解析：暂无解析9、某种产品的次品率为0．1，检验员每天独立地检验6次，每次有放回地取10件产品进行检验，若发现这10件产品中有次品，就去调整设备(否则不调整)，记X为一天中调整设备的次数，试求X的分布列．标准答案：设检验员取出的10件产品中有Y件次品，则Y～B(10，0．1)而X～B(6，p)，其中p=P(Y＞1)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-C100．0．910-0-C101．0．11．0．910-1=0．2639，故P(X=k)=C6k．0．2639k．0．73616-k，k=0，1，2，…，6。知识点解析：暂无解析10、设随机变量X，Y，Z独立，均服从指数分布，参数依次为λ1，λ2，λ3(均为正)，求P{X=min(X，Y，Z)}．标准答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为知识点解析：暂无解析11、设一电路装有3个同种电气元件，它们工作状态相互独立，且无故障工作时间均服从参数为λ的指数分布(λ＞0)，当3个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作，求电路正常工作的时间T的密度f(t)。标准答案：记X1，X2，X3为这3个元件的无故障工作的时间，则T=min(X1，X2，X3)的分布函数为FT(t)=P(T≤t)=1-P{min(X1，X2，X3)＞t}=1-[P(X1＞t)]3=1-[1-P(X1≤t)]3知识点解析：暂无解析12、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2／5，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。标准答案：由题意，X～B(3，)分布函数F(x)=P(X≤x)．当x＜0时，F(x)=0当0≤x＜1时，F(x)=P{X=0}=当1≤x＜2时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)=当2≤x＜3时，F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=当x≥3时，F(x)=1知识点解析：暂无解析设随机变量X的概率密度为对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数．13、求Y的概率分布；标准答案：知识点解析：暂无解析14、求EY．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设随机变量X1，…Xn，Xn+1独立同分布，且P(X1=1)=p，P(X1=0)=1-p，记：标准答案：EYi=P(Xi+Xi+1=1)=P(Xi=0，Xi+1=1)+P(Xi=1，Xi+1=0)=2p(1-p)，i=1，…，n=2np(1-p)，而E(Yi2)=P(Xi+Xi+1=1)=2p(1-p)，∴DYi=E(Y22)-(EYi)2=2p(1-p)[1-2p(1-p)]，i=1，2，…，n．若l-k≥2，则Yk与Yl独立，这时cov(Yk，Yl)=0，而E(YkYk+1)=P(Yk=1，Yk+1=1)=P(Xk+Xk+1=1，Xk+1+Xk+2=1)=P(Xk=0，Xk+1=1，Xk+2=0)+P(Xk=1，Xk+1=0，Xk+2=1)=(1-p)2p+p2(1-p)=p(1-p)，∴cov(Yk，Yk+1)=E(YkYk+1)-EYk．EYk+1=p(1-p)-4p2(1-p)2，故=2np(1-p)[1-2p(1-p)]+cov(Yk，Yk+1)=2np(1-p)[1-2p(1-p)]+2(n-1)[p(1-p)-4p2(1-p)2]=2p(1-p)[2n-6np(1-p)+4p(1-p)-1]．知识点解析：暂无解析16、利用中心极限定理证明：标准答案：引随机变量Xk～π(1)(参数为1的泊松分布)，k=1，2，…，且{Xk}相互独立，由泊松分布的再生性知令n→∞，由中心极限定理即知：知识点解析：暂无解析17、从一正态总体中抽取容量为10的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上的概率为0．02，求总体的标准差(Φ(2．33)=0．99)．标准答案：设总体X～N(μ，σ2)，则，由题意得：知识点解析：暂无解析18、设总体X的概率密度为其中θ＞-1是未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量．标准答案：矩估计：再求最大似然估计，似然函数L(x1，…，xn；θ)为当0＜x1，…，xn＜1时，lnL=nln(θ+1)+θln(x1…xn)由于，∴lnL，在θ0处取得唯一驻点、唯一极值点且为极大值，故知lnL(或L)在θ=θ0处取得最大值，故知θ的最大似然估计为知识点解析：暂无解析19、设总体X的概率密度为其中θ是未知参数(0＜θ＜1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数，求θ的最大似然估计．标准答案：似然函数而由题意，x1，x2，…，xn中有N个的值在区间(0，1)内，故知L=θN(1-θ)n-N∴lnL=Nlnθ+(n-N)ln(1-θ)故知θ的最大似然估计为知识点解析：暂无解析设总体X的概率密度为其中参数θ(0＜θ＜1)未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值．20、求参数θ的矩估计量标准答案：知识点解析：暂无解析21、判断是否为θ2的无偏估计量，并说明理由。标准答案：由DX≥0，θ＞0，可知E[4()2]＞θ2，有[4()2]≠θ2，即4()2不是θ的无偏估计量．知识点解析：暂无解析22、设总体的密度为：其中θ＞0，而θ和μ为未知参数，从X中抽得简单样本X1，X2，…，Xn，试求θ和μ的矩估计和最大似然估计．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66．5分，标准差为15分，问在显著性水平0．05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。[附表]：t分布表，P{t(n)≤tp(n)}=p标准答案：设这次考试全体考生的成绩为总体X，抽的36位考生的成绩为简单随机样本值x1，…，xn，而和s2分别为样本均值和样本方差，由题意，可设X～N(μ，σ2)，σ2未知．现要检验H0：μ=70，(H1：μ≠70)(α=0．05)故接受H0，即认为这次考试全体考生的平均成绩(即μ)与70分没有显著差异(在显著水平0．05下)知识点解析：暂无解析考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、已知A，B为随机事件，0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，则的充要条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：已知选项A、B是A与B相互独立的充要条件，因此不能选．由“对称性”可知选项C正确，故选C．2、设随机事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论中一定成立的有()A、A，B为对立事件．B、互不相容．C、A，B不独立．D、A，B相互独立．标准答案：C知识点解析：AB互不相容，只说明AB=，但不一定满足A∪B=Ω，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因A∪B=Ω不一定成立，故亦不一定成立，因此选项A、B都不成立。同时因为P(AB)=P()=0，但是P(A)P(B)＞0，即P(AB)≠P(A)P(B)，故A与B一定不独立，应选C。3、在最简单的全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+中，要求事件A与B必须满足的条件是()A、0＜P(A)＜1，B为任意随机事件．B、A与B为互不相容事件．C、A与B为对立事件．D、A与B为相互独立事件．标准答案：A知识点解析：4、设A、B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=P(B|)，则必有()A、P(A|B)=P(|B)．B、P(A|B)≠P(|B)．C、P(AB)=P(A)P(B)．D、P(AB)≠P(A)P(B)．标准答案：C知识点解析：化简整理上式可得P(AB)=P(A)P(B)．即A，B相互独立，故选项C正确．5、设随机变量X的分布函数为F(x)，其密度函数为A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：根据题意得f(x)关于6、设随机变量X—N(μ，σ2)，σ＞0，其分布函数F(x)的曲线的拐点为(a，b)，则(a，b)为()A、(μ，σ)．B、C、D、(0，σ)．标准答案：C知识点解析：X一N(μ，σ2)，其密度函数F(x)的拐点的x坐标a应满足F"(a)=f’(a)=0，故a=μ为f(x)的驻点，当x=μ时，故曲线拐点在，故选项C正确．7、已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布：P{Xi=一1}=P{Xi=1}=，则()A、X1与X1X2独立且有相同的分布．B、X1与X1X2独立且有不同的分布．C、X1与X1X2不独立且有相同的分布．D、X1与X1X2不独立且有不同的分布．标准答案：A知识点解析：根据题设知X1X2可取一1，1，且P{X1X2=一1}=P{X1=一1，X2=1}+P{X1=1，X2=一1}=P{X1=一1}P{X2=1}+P{X1=1}P{X2=一1}所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立，故选项A正确．8、设二维随机变量(X1，X2)的密度函数为f1(x1，x2)，则随机变量(Y1，Y2)(其中Y1=2X1，Y2=)的概率密度f2(y1，y2)等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设(X1，X2)的分布为F1(x1，x2)，(Y1，Y2)的分布为F2(y1，y2)．9、对任意两个随机变量X和y，若E(XY)=E(X)．E(Y)，则()A、D(XY)=D(X)．D(Y)．B、D(X+Y)=D(X)+D(Y)．C、X与Y独立．D、X与Y不独立．标准答案：B知识点解析：因为D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)一E(X)．E(Y)]，可见D(X+Y)=D(X)+D(Y)E(XY)=E(X)．E(Y)，故选择B．对于随机变量X与Y，下面四个结论是等价的．①Cov(X，Y)=0②X与Y不相关③E(XY)=E(X)．E(Y)④D(x+Y)=D(X)+D(Y)10、设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)是X和Y()A、不相关的充分条件，但不是必要条件．B、独立的充分条件，但不是必要条件·C、不相关的充分必要条件．D、独立的充分必要条件·标准答案：C知识点解析：11、设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其均值和方差分别为X，S2，则可以作出服从自由度为n的χ2分布的随机变量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于总体X～N(μ，σ2)，故各选项的第二项独立，根据χ2分布可加性，仅需确定服从χ2(1)分布的随机变量．因为故选择D．12、已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ2已知)，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，均值为，如果记，则由P{a＜u＜b}=1一α，可以求得μ置信度为1一α的置信区间，其中a、b是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为a、b应使P{a＜μ＜b}=1一αa、b应满足P{μ≥b}+P{μ≤a}=α，故选D．13、某员工以往的记录是：平均每加工100个零件，有60个是一等品，今年考核他，在他加工零件中随机抽取100件，发现有70个是一等品，这个成绩是否说明该员工的技术水平有了显著的提高(取(α=0．05)?对此问题，假设检验问题就设为()A、H0：p≥0．6H←→H0：p＜0．6．B、H0：p≤0．6H←→H0：p＞0．6．C、H0：p=0．6H←→H0：p≠0．6．D、H0：p≠0．6H←→H0：p=0．6．标准答案：B知识点解析：一般地，选取问题的对立事件为原假设．在本题中，需考察员工的技术水平是否有了显著性的提高，故选取原假设为H0：p≤0．6，相应的，对立假设为H1：p＞0．6，故选B．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)14、设每次射击命中概率为0．3，连续进行4次射击，如果4次均未击中，则目标不会被摧毁；如果击中1次、2次，则目标被摧毁的概率分别为0．4与0．6；如果击中2次以上，则目标一定被摧毁．那么目标被摧毁的概率p=________．标准答案：0．4071知识点解析：设事件Ak=“射击4次命中k次”，k=0，1，2，3，4，B=“目标被摧毁”，则根据4重伯努利试验概型公式，可知P(Ai)=C4i0．3i，0．74一i，i=0，1，2，3，4，则P(A0)=0．74=0．2401，P(A1)=0．4116，P(A2)=0．2646，P(A3)=0．0756，P(A4)=0．0081．由于A0，A1，A2，A3，A4是一完备事件组，且根据题意得P(B|A0)=0，P(B|A1)=0．4，P(B|A2)=0．6，P(B|A3)=P(B|A4)=1．应用全概率公式，有15、统计资料表明，男性患色盲的概率为5％，现有一批男士做体检．则事件“发现首例患色盲的男士已检查了30名男士"的概率α为________．标准答案：0．785知识点解析：设X表示发现首例色盲患者时已检查过的男士数，则X服从参数为0．05的几何分布．16、设随机变量X服从参数为1的指数分布，随机变量函数y=1—e一X的分布函数为FY(y)，则标准答案：知识点解析：17、设一次试验成功的概率为p，进行100次试验．当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．标准答案：知识点解析：若设进行100次试验成功的次数为X，则X—B(100，p)，X的标准差为18、假设随机变量X在[一1，1]上服从均匀分布，a是区间[一1，1]上的一个定点，Y为点X到a的距离，当a=________时，随机变量X与Y不相关．标准答案：0知识点解析：已知E(X)=0，依题意Y=|X—a|，a应使E(XY)=E(X)E(Y)=0．其中19、已知(X，Y)的联合概率密度为f(x，y)=标准答案：F(1，1)知识点解析：根据由题设可知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故X～N(0，22)，Y一N(1，32)，X与Y的相关系数p=0，所以X与Y独立，N(0，1)，根据F分布典型模式知20、已知某自动生产线一旦出现不合格产品就立即进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格产品的概率是0．1，如果用X表示两次调整之间生产出的产品数量，则E(X)=________．标准答案：10知识点解析：X是离散型随机变量，其可能的取值为1，2，…，令{调整后生产出的产品前后一1个为合格品，第k个为不合格品}=P{X=k}，其中Ai=“第i个生产出的产品为合格品”，Ai相互独立，P(Ai)=0．9，故21、将10双不同的鞋随意分成10堆，每堆2只，以X表示10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则E(X)=________．标准答案：知识点解析：将第i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的19只中唯一的一只才有可能，故22、设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16与32之间的概率α=________．(Ф(3)=0．9987，Ф(1)=0．8413)标准答案：0．84知识点解析：令X=“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20．且根据棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知随机变量近似服从标准正态分布N(0，1)．因此试验成功的次数介于16和32之间的概率23、设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P{X≤tα}=l一α(0＜0[＜1)．若已知P{|X|＞x}=b(b＞0)，则x=________．标准答案：知识点解析：根据t分布的对称性以及b＞0，可知x＞0．所以根据题干“tα满足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)”可知，三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)24、设离散型随机变量X服从参数p(0＜p＜1)的0一1分布．(Ⅰ)求X的分布函数F(x)；(Ⅱ)令Y=F(x)，求Y的分布律及分布函数G(y)．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为求：(Ⅰ)系数A；(Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数；(Ⅲ)边缘概率密度；(Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率．标准答案：(Ⅰ)根据分布函数的性质解得A=6．(Ⅱ)将A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为所以当x＞0，y＞0时，F(x，y)=∫0y∫0x6e一(2x+3y)dxdy=6∫0xe一2xdx∫0ye一3ydy=(1一e一2x)(1一e一3y)，而当x和y取其它值时，F(x，y)=0．综上所述，可得联合概率分布函数为(Ⅲ)当x＞0时，X的边缘密度为fX(x)=∫0+∞6e一(2x+3y)dy=2e一2x，当x≤0时fZ(x)=0．因此X的边缘概率密度为同理，可得Y的边缘概率密度函数为已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为知识点解析：暂无解析26、设在一高速公路的某一路段，每年发生交通事故的次数X～P(20)．对每次交通事故而言，有人死亡的概率为p=0．05．设各次交通事故的后果是相互独立的，以Y记一年中发生的引起死亡的交通事故的次数，求Y的分布律．标准答案：根据题意X～P(20)，即有在X取特定值m时，Y的可能取值为0，1，…，m．因各次交通事故的后果是相互独立的，所以P{Y=k|X=m}=Cmk0．05k0．95m一k，k=0，1，2，…，m．于是得到X和Y的联合分布律为P{X=m，Y=k}=P{Y=k|X=m}P{X=m}知识点解析：暂无解析27、设二维离散型随机变量(X，Y)的联合概率分布为试求：(Ⅰ)X与Y的边缘分布律，并判断X与Y是否相互独立；(Ⅱ)P{X=Y}．标准答案：(Ⅰ)因为边缘分布律就是联合分布律表格中行或列中诸元素之和，所以假如随机变量X与Y相互独立，就应该对任意的i，j都有pij=pi．pj，而本题中p14=0，但是p1与p4均不为零，所以p14≠p1．p4故X与Y不是相互独立的．知识点解析：暂无解析28、设总体X～N(μ，σ2)，μ，σ2未知，X1，X2，…，Xn是来自X的样本，试确定常数C，使CY=C[(X1一X2)2+(X3一X4)2+(X5一X6)2]的期望为σ2．标准答案：E[(X1一X2)2]=D(X1一X2)+[E(X1一X2)]2=D(X1)+D(X2)=2σ2(因X1，X2独立)．同理E[(X3一X4)2]=E[(X5一X6)2]=2σ2，于是引C[(X1一X2)2+(X3一X4)2+(X5一X6)2]}=C{E[(X1一X2)2]+E[(X3一X4)2]+E[(X5一X6)2]}=C(2σ2+2σ2+2σ2)=6Cσ2，即有E(CY)=6Cσ2．根据题设，设E(CY)=6Cσ2=σ2，即得知识点解析：暂无解析29、设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x；θ)=其中θ＞0为未知参数．又设x1，x2，…，xn是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．标准答案：似然函数为由于0必须满足xi＞θ(i=1，2，…，n)，因此当θ取x1，x2，…，xn中最小值时，L(θ)取最大值，所以θ的最大似然估计值为知识点解析：暂无解析30、设X1，X2，…，Xn是总体为N(μ，σ2)的简单随机样本．记(Ⅰ)证明T是μ2的无偏估计量；(Ⅱ)当μ=0，σ=1时，求D(T)．标准答案：(Ⅰ)首先T是统计量．其次知识点解析：暂无解析考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设A、B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=，则必有()A、P(A|B)=B、P(A|B)≠C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(AB)≠P(A)P(B)标准答案：C知识点解析：由P(B|A)=化简得P(AB)=P(A)P(B)．2、设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A|B)+=1，则A与B必()A、不相容B、对立C、独立D、不独立标准答案：C知识点解析：由P(A|B)=，得P(AB)=P(A)P(B)，故应选(C)．3、设随机变量X的分布函数，则P{X=1}=()A、0B、C、D、1-e-1标准答案：C知识点解析：P(X=1)=F(1)-F(1-0)=(1-e-1)--e-1，故选(C)．4、设连续型随机变量X1与X2相互独立且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为f1(x)与f2，随机变量Y1的概率密度为[f1(y)+f2(y)]，随机变量Y2=(X1+X2)，则()A、EY1＞EY2，DY1＞DY2B、EY1=EY2，DY1=DY2C、EY1=EY2，DY1＜DY2D、EY1=EY2，DY1＞DY2标准答案：D知识点解析：由题意，X1与X2独立，且X1与X2均为连续型随机变量，故E[(X1-X1)2]＞0，即有E(X12)+E(X22)＞2E(X1X2)即E(Y12)＞E(Y22)，故得DY1＞DY2，选(D)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率为_______．标准答案：知识点解析：设在每次试验中A出现的概率为p，则，=P(A至少出现1次)=1-P(A出现0次)=1-C230p0(1-p)3-0=1-(1-p)3，解得6、设一批产品中一、二、三等品各占60％，30％，10％，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_______．标准答案：知识点解析：记Ai={取得i等品)，i=1，2，3．则=0．9，而=P(A1)=0．6，故P(A1|)=7、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则P{X+Y≤1}=_______．标准答案：知识点解析：其中区域G如如图所示(阴影部分)8、设随机变量X的概率密度为，-∞＜x＜+∞，问X服从什么分布(若有参数须答出)?且常数A=_______．标准答案：知识点解析：∵-x2+x=，与正态分布的概率密度相比较，得9、用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是次品的概率为，(i=1，2，3)，设这3个零件中有X个合格品(非次品即为合格品)，则P(X=2)=_______．标准答案：11/24知识点解析：设Ai={第i个零件是合格品}，i=1，2，3．则P(X=2)=10、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则E(X2)=_______。标准答案：18．4知识点解析：由题意，X～B(10，0．4)，∴EX=10×0．4=4DX=10×0．4×(1-0．4)=2．4所以EX2=DX+(EX)2=2．4+42=18．411、设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，1／2)的随机变量，则E(|ξ-η|)=_______。标准答案：知识点解析：若记X=ξ-η，则EX=Eξ-Eη=0，DX=Dξ+Dη=1可得X～N(0，1)．12、设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)，其中α，β未知，但已知E(Y)=5／3，则α=_______，β=_______，E(X)=_______，E(XY)=_______．标准答案：2／9；1／9；5／3；25／9知识点解析：13、已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ，1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则μ的置信度为0．95的置信区间是_______．(注：标准正态分布函数值Φ(1．96)=0．975，Φ(1．645)=0．95)标准答案：(39．51，40．49)．知识点解析：总体X～N(μ，σ02)，σ02=1已知，n=16，=40(样本均值)，1-α=0．95，∴=u0975=1．96，故得μ的置信下限为：μ的置信上限为：故μ的置信区间为(39．51，40．49)．三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、设随机变量X与y相互独立，X服从正态分布N(μ，σ2)，y服从[-π，π]上均匀分布，试求Z=X+Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中)标准答案：由题意，y的概率密度为由卷积公式，知Z的概率密度为知识点解析：暂无解析15、设飞机引擎在飞行中正常运行的概率为p，且各引擎是否正常运行是相互独立的，如果有至少50％的引擎正常运行，飞机就能成功飞行，问对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更可取?标准答案：设4引擎与2引擎飞机分别有X与Y个引擎正常工作，则X～B(4，p)，Y～B(2，p)，P(X≥2)=1-(1-p)4-4p(1-p)3，P(Y≥1)=1-(1-p)2，由P(X≥2)≥P(Y≥1)，而0＜P＜1，可解得知识点解析：暂无解析设随机变量X的概率分布为P{X=1)=P(X=2)=1／2，在给定X=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U(0，i)(i=1，2)。16、求Y的分布函数FY(y)；标准答案：FY(y)=P(Y≤y)=P(Y≤y|X=1)P(X=1)+P(Y≤y|X=2)P(X=2)由题意可得：知识点解析：暂无解析17、求EY．标准答案：由FY(y)=P(Y≤y)=P(Y≤y|X=1)P(X=1)+P(Y≤y|X=2)P(X=2)由题意可得：得Y的概率密度为知识点解析：暂无解析18、对随机变量X，已知EekX存在(k＞0常数)，证明：P{X≥ε}≤．E(ekX)，(其中ε＞0)．标准答案：不失一般性，设X为连续型随机变量，概率密度为f(x)，则EekX=∫-∞+∞exkx．f(x)dx，而P{x≥ε)=知识点解析：暂无解析19、设总体X～N(72，100)，为使样本均值大于70的概率不小于0．95，样本容量n至少应取多大?Φ(1．645)=0．95标准答案：由题意知：知识点解析：暂无解析设总体X的概率密度为其中θ＞0是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，记=min(X1，X2，…，Xn)．20、求总体X的分布函数F(x)；标准答案：F(x)=∫-∞xf(t)dt当x＜θ时，F(x)=0；当x≥θ时，F(x)=∫θx2e-2(t-θ)dt=1-e-2(x-θ)知识点解析：暂无解析21、求统计量的分布函数；标准答案：=P{min(X1，…，Xn)≤x}=1-P{min(X1，…，Xm)＞x}=1-P{X1＞x，X2＞x，…，Xn＞x}=1-P{X1＞x)P{X2＞x}…{Xn＞x}=1-[1-F(x)]n知识点解析：暂无解析22、如果用作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性．标准答案：的概率密度为：知识点解析：暂无解析23、设总体X～B(m，p)，其中m已知，p未知，从X中抽得简单样本X1，…，Xn，试求p的矩估计和最大似然估计．标准答案：矩估计：EX=mp，；最大似然估计；似然函数为：L=P(Xi=xi)=知识点解析：暂无解析24、随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差S=11，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为0．95的置信区间．标准答案：设炮口速度为总体X，X～N(μ，σ2)，而n=9，α=0．05，∴σ的置信下限为=7．4299，σ的置信上限为知识点解析：暂无解析考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷第6套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为()A、与σ及n都有关B、与σ及n都无关C、与σ无关，与n有关D、与σ有关，与n无关标准答案：C知识点解析：由题设，(0，1)，于是所以比值与σ无关，与n有关．2、设X1，X2，…，Xn(n＞1)是来自总体N(0，1)的简单随机样本，记，则()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：，Q2～γ2(n)．因此本题选C．3、设X1，X2，…，X8是来自总体N(2，1)的简单随机样本，则统计量服从()A、χ2(2)B、χ2(3)C、t(2)D、t(3)标准答案：C知识点解析：4、设X1，X2，…，Xn是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，则统计量服从()A、Y～χ2(n一1)B、Y～t(n一1)C、Y～F(n，1)D、Y～F(1，n一1)标准答案：B知识点解析：由总体X～N(0，1)知，且它们相互独立，所以因此本题选B．5、设随机变量X～F(n，n)，记p1=P{X≥1)，p2=P{X≤1}，则()A、p1＜p2B、p1＞p2C、p1=p2D、p1，p2大小无法比较标准答案：C知识点解析：由X～F(n，n)知，所以因此本题选C．6、设X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y10分别是来自正态总体N(-1，4)和N(2，5)的简单随机样本，且相互独立，S12，S22分别为这两个样本的方差，则服从F(7，9)分布的统计量是()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：因此本题选D．7、设总体X~N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)相互独立．分别从X和Y中各抽取容量为9和10的简单随机样本，记它们的方差为SY2和SY2，并记则这四个统计量SX2，SY2，S122，SXY2中，方差最小者是()A、SX2B、SY2C、S122D、SXY2标准答案：D知识点解析：所以，方差最小者为SXY2．因此本题选D．8、设x1，x2，…，xn是来自总体X～N(μ，σ2)(μ，σ2都未知)的简单随机样本的观察值，则σ2的最大似然估计值为()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：在μ未知时，σ2的最大似然估计值为，因此本题选B．9、设总体X~P(λ)(λ为未知参数)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值与方差分别为是λ的无偏估计量，常数a应为()A、-1B、0C、D、1标准答案：C知识点解析：要使是λ的无偏估计量，应有，．因此本题选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y，V=一X的协方差Cov([U，V)为_________．标准答案：知识点解析：11、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量Z=X—Y的方差DZ为_________．标准答案：知识点解析：12、设随机变量X的数学期望．EX=75，方差DX=5，由切比雪夫不等式估计得P{｜X一75｜≥k}≤0．05，则k=________．标准答案：10知识点解析：即K=10．13、设X1，X2，…，Xn，…是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为λ的泊松分布，则标准答案：φ(x)知识点解析：由列维一林德伯格中心极限定理即得．14、设总体X～P(λ)，X1，X2，…，Xn是来自X的简单随机样本，它的均值和方差分别为和S2，则和E(S2)分别为______．标准答案：知识点解析：15、设总体X和y相互独立，且分别服从正态分布N(0，4)和N(0，7)，X1，X2，…，X8和Y1，Y2，…，Y14分别来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量的数学期望和方差分别为________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)16、设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布，证明：Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设ξ，η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为i=1，2，3，又设X=max{ξ，η}，Y=min{ξ，η}，试写出二维随机变量(X，Y)的分布律及边缘分布律，并求P{ξ=η}.标准答案：X的可能值为1，2，3，Y的可能值为1，2，3．以此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布列如下：知识点解析：暂无解析18、设随机变量X与Y相互独立，都服从均匀分布U(0，1)．求Z=｜X—Y｜的概率密度及标准答案：U=X—Y的密度为知识点解析：暂无解析19、设(X，Y)的概率密度为问X，Y是否独立?标准答案：边缘密度为知识点解析：暂无解析20、设随机变量(X，Y)的概率密度为求Z=X2+Y2的概率密度fz(z)．标准答案：设Z的分布函数为FZ(z)，则知识点解析：暂无解析21、设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且Xi服从参数为λi的指数分布，其密度为求P{X1=min{X1，X2，…，Xn}}．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设X关于Y的条件概率密度为而Y的概率密度为求．标准答案：(X，Y)的概率密度为知识点解析：暂无解析23、设(X，Y)服从G={(x，y)｜x2+y2≤1)上的均匀分布，试求给定Y=y的条件下X的条件概率密度函数fX｜Y(x｜y)．标准答案：因为(X，Y)服从G={(x，y)｜x2+y2≤1)上的均匀分布，所以知识点解析：暂无解析24、设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到成功两次为止，试求试验次数的数学期望．标准答案：设X表示所需试验次数，则X的可能取值为2，3，…，于是知识点解析：暂无解析25、市场上有两种股票，股票A的价格为60元／股，每股年收益为R1元，其均值为7，方差为50．股票B的价格为40元／股，每股年收益为R2元，其均值为3．2，方差为25，设R1和R2互相独立．某投资者有10000元，拟购买s1股股票A，s2股股票B，剩下的s3元存银行，设银行1年期定期存款利率为5％，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于800元，并使投资收益标准答案：设投资策略为(s1，s2，s3)，则该投资策略的收益为平均收益及方差为：ES=s1×7+s2×3．2+(10000—60s1—40s2)×5％，DS=50s12+25s22，问题为求DS=50s12+25s22的最小值．约束条件为：ES=s1×7+s2×3．2+(10000—60s1一40s2)×5％≥800,用拉格朗日乘数法求解该问题，令L=50s1+25s2+δ(800一s1×7—s2×3．2一(10000—60s1一40s2)×5％)，其中δ是待定系数，最优解应满足的一阶条件为：解此方程组得：s1=63．56元，s2=38．14元，s3=4660．8元．该投资策略的方差和标准差分别为：DS=50×63．562+25×38．142≈238360，．知识点解析：暂无解析26、设随机变量服从几何分布，其分布律为P{X=k)=(1一p)k-1，0＜p＜1，k=1，2，…，求EX与DX．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设随机变量X的概率密度为已知，求(1)a，b，c的值；(2)随机变量Y=ex的数学期望和方差．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设(X，Y)的概率密度为求的数学期望．标准答案：知识点解析：暂无解析29、在长为L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差．标准答案：以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X，Y，则它们均在[0，L]上服从均匀分布，且X，Y相互独立．所以知识点解析：暂无解析30、设X，Y是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量，求E｜X—Y｜与D｜X—Y｜．标准答案：设Z=X一Y，则Z～N(0，1)．故知识点解析：暂无解析31、设随机变量X与Y独立同分布，均服从正态分布N(μ，σ2)，求：(1)max(X，Y}的数学期望；(2)min{X，Y}的数学期望．标准答案：(1)设，则U和V独立同服从正态分布N(0，1)，知识点解析：暂无解析考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷第7套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设随机变量X取非负整数值，P{X=n)=an(n≥1)，且EX=1，则a的值为()A、B、C、D、1／5标准答案：B知识点解析：2、设X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ的泊松分布，令Y=(X1+X2+X3)，则Y2的数学期望为()A、B、λ2C、D、标准答案：C知识点解析：因为X1，X2，X3相互独立且均服从P(λ)，所以X1+X2+X3～P(3λ)，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3λ，3、设X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有()A、P{｜X—C｜≥ε)=E｜X—C｜／εB、P{｜X—C｜≥ε)≥E｜X—C｜／εC、P{｜X—C｜≥ε)≤E｜X—C｜／εD、P{｜X—C｜≥ε)≤DX／ε2标准答案：C知识点解析：故选C．4、设随机向量(X，Y)的概率密度f(x，y)满足f(x，y)一f(-x，y)，且ρXY存在，则ρXY=()A、1B、0C、一1D、一1或1标准答案：B知识点解析：5、