2020-2021学年新教材高中数学导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性课件

6.2利用导数研究函数的性质导数与函数的单调性主题1函数的单调性与导数的关系1.观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系,(1)观察图像,完成下列填空.基础预习初探图①中的函数y=x的导函数y′=__,此函数的单调递增区间为__________;图②中的函数y=x2的导函数y′=___,此函数的单调递增区间为________,单调递减区间为________.图③中的函数y=x3的导函数y′=___,此函数的单调递增区间为__________;图④中的函数y=的导函数y′=_____,此函数的单调递减区间为________________.1(-∞,+∞)2x(0,+∞)(-∞,0)3x2(-∞,+∞)(-∞,0),(0,+∞)(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系?提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此时对应的函数单调递增,当导函数在某区间上小于0时,此时对应的函数单调递减.2.观察图像,完成下表:减正>0<0结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导函数的关系增减【对点练】1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上 (

)A.单调递增B.单调递减C.在上单调递减,在上单调递增D.在上单调递增,在上单调递减【解析】选A.因为x∈(0,6),所以f′(x)=1+>0,故函数在(0,6)上单调递增.2.若函数f(x)=lnx+x2-bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为 (

)A.[2,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,2) D.(-∞,2]【解析】选B.由f(x)=lnx+x2-bx,可得f′(x)=(x>0),由题意可得存在x>0,使得f′(x)=<0,即存在x>0,使得x2-bx+1<0,等价于b>x+,由对勾函数性质易得b>2.【补偿训练】函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为 (

)A.单调递增 B.单调递减C.先增后减 D.先减后增【解析】选′=-6x,故当x∈(-1,0)时,y′>0;当x∈(0,1)时,y′<0,所以原函数在区间(-1,1)上先增后减.主题2函数变化的快慢与导数的关系1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y=,y=x2,y=x3的图像.提示:这几个函数的图像如图所示.2.观察以上函数的图像,当x>0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么?提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.结论:函数变化的快慢与导数间的关系一般地,如果一个函数在某一范围内导数的___________,那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就比较“平缓”.绝对值较大【对点练】1.函数f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)的图像可能是 (

)

【解析】选D.从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.2.已知导函数y=f′(x)的图像如图所示,请根据图像写出原函数y=f(x)的单调递增区间是________.

【解析】从图像可知当-1<x<2或x>5时f′(x)>0,所以f(x)的单调递增区间为(-1,2),(5,+∞).答案:(-1,2),(5,+∞)核心互动探究探究点一函数单调区间的判断及求解【典例1】(1)设f(x)=x-sinx,则f(x) (

)A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数(2)求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.【思维导引】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sinx的奇偶性,利用导数判断其单调性.(2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.【解析】(1)选B.因为f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又f′(x)=1-cosx≥0,所以f(x)单调递增,选B.(2)f(x)=3x2-2lnx的定义域为(0,+∞),则f′(x)=由f′(x)>0得6x2-2>0,即x2>则所以递增区间为由f′(x)<0得6x2-2<0,即x2<则因为x>0,所以0<x<所以递减区间为【类题通法】利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域.(2)求导函数f′(x).(3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.【定向训练】1.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为 (

)A. 和(1,+∞) B.C. ∪(1,+∞) D.【解析】选′=3x2-2x-1,令y′>0,得x<-或x>1,所以函数的单调递增区间为和(1,+∞).2.函数y=的单调递减区间是________.

【解析】函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),y′=令y′<0,得x<1,且x≠0,故函数的单调递减区间是(-∞,0)和(0,1).答案:(-∞,0)和(0,1)3.求函数f(x)=x2+alnx(a∈R,a≠0)的单调区间.【解析】函数定义域为(0,+∞),f′(x)=x+.①当a>0时,f′(x)=x+>0恒成立,这时函数只有单调递增区间(0,+∞);②当a<0时,由f′(x)=x+>0,得x>;由f′(x)=x+<0,得0<x<,所以当a<0时,函数的单调递增区间是(,+∞),单调递减区间是(0,).综上,当a>0时,单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a<0时,单调递增区间为(,+∞),单调递减区间为(0,).【补偿训练】求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x3+.(2)y=xex.【解析】(1)f′(x)=3x2-=3.由f′(x)>0,解得x<-1或x>1;由f′(x)<0,解得-1<x<1,且x≠0.所以函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,0),(0,1).(2)y′=ex+xex=ex(1+x).令y′>0,得x>-1;令y′<0,得x<-1.因此,y=xex的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1).探究点二原函数与导函数图像间的关系【典例2】(2018·全国卷Ⅲ)函数y=-x4+x2+2的图像大致为 (

)【思维导引】利用导数的符号判断函数的单调性.【解析】选D.因为y=-x4+x2+2,所以y′=-4x3+2x,令y′>0,解得x<-或0<x<,令y′<0,解得x>或-<x<0,所以函数y=-x4+x2+2在上单调递增,在上单调递减,所以选D.【类题通法】判断函数与导数图像间对应关系的两个关键第一:要弄清所给图像是原函数的图像还是导函数的图像.第二:注意以下两个方面:(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)>0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;若f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.(2)导数与函数图像的关系:

函数值增加得越来越快,函数值增加得越来越慢,f′(x)>0且越来越大.

f′(x)>0且越来越小.函数值减小得越来越快,函数值减小得越来越慢,f′(x)<0且越来越小, f′(x)<0且越来越大,绝对值越来越大. 绝对值越来越小.

【定向训练】1.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中,不正确的是 (

)

【解析】选D.A,B,C均有可能;对于D,若C1为导函数,则y=f(x)应为增函数,不符合;若C2为导函数,则y=f(x)应为减函数,也不符合.2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是 (

)

【解析】选A.因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的.

探究点三利用函数的单调性求参数的范围【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,求a的取值范围.(2)设函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R,若f(x)在区间(0,1]上单调递减,求实数a的取值范围.【思维导引】(1)由f(x)=ax3+x在区间[-1,1]上单调递增,可得出利用不等式f′(x)>0在[-1,1]上恒成立,确定a的取值范围.(2)把f(x)在区间(0,1]上单调递减,转化为f′(x)≤0对任意x∈(0,1]恒成立.【解析】(1)f′(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以f′(x)=3ax2+1>0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,显然成立,当x≠0时,a>-.因为-在x∈[-1,0)∪(0,1]的最大值为-,所以a>-.故a的取值范围是.(2)f′(x)=2x+a-.因为f(x)在区间(0,1]上单调递减,所以f′(x)<0对任意x∈(0,1]恒成立,即2x+a-<0对任意x∈(0,1]恒成立,所以a<-2x对任意x∈(0,1]恒成立.令g(x)=-2x,所以a<g(x)min,易知g(x)在(0,1]上单调递减,所以g(x)min=g(1)=-1,所以a<-1.【类题通法】利用函数的单调性求参数的取值范围应用条件f′(x)>0(或f′(x)<0),x∈(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0.【定向训练】若函数f(x)=lnx+x2+ax在定义域内为增函数,则实数a的取值范围是________.

【解析】定义域为(0,+∞).f′(x)=+2x+a.函数f(x)=lnx+x2+ax在定义域内为增函数,即f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,即+2x+a≥0在x>0内恒成立,因此可以得到a≥-在x>0时恒成立,a满足:a≥因为x>0,所以,当且仅当x=时等号成立.所以有,因此实数a的取值范围是a≥-2.答案:a≥-2

【课堂小结】

课堂素养达标1.已知函数f(x)=x3-3x2-9x,则函数f(x)的单调递增区间是 (

)A.(3,9)B.(-∞,-1),(3,+∞)C.(-1,3)D.(-∞,3),(9,+∞)【解析】选B.因为f(x)=x3-3x2-9x,所以f′(x)=3x2-6x-9=3(x