2020-2021学年新教材高中数学立体几何初步11.4.1直线与平面垂直学案

11.4空间中的垂直关系11.4.1直线与平面垂直新课程标准学业水平要求1.借助长方体,通过直观感知,了解直线与平面垂直的关系,并归纳出线面垂直的判定与性质定理.2.能运用直观感觉、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的命题.★水平一1.能够了解用数学语言表达的线面垂直的判定与性质定理.(数学抽象)2.了解线面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系.(逻辑推理)3.掌握一些基本命题的证明,并有条理地表述论证过程.(逻辑推理)★水平二1.能够理解用数学语言表达的线面垂直的判定与性质定理.(数学抽象)2.理解线面垂直的判定与性质定理的条件与结论之间的逻辑关系.(逻辑推理)3.对于一些基本命题,能选择合适的论证方法表述论证过程,能够通过举反例说明某些数学结论不成立.(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.如何求两条直线所成的角?2.两条垂直直线一定相交吗?3.直线与平面垂直的定义是什么?怎样判断直线与平面垂直?4.线面垂直的性质定理是什么?5.如何求直线与平面所成的角?(1)异面直线所成角的定义一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a′,b′,则a′与b′所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.(2)两条直线的夹角两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.(3)两条直线垂直空间中两条直线所成角的大小为90°时,称这两条直线垂直.(1)在异面直线所成角的定义中,角的大小与点O的位置有关系吗?提示:根据等角定理可知,a′与b′所成角的大小与点O的位置无关.但是为了简便,点O常取在两条异面直线中的一条上,特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等).(2)研究范围推广到空间后,直线与直线垂直的含义有变化吗?有什么变化?提示:有变化.空间中两条直线垂直包括相交直线垂直和异面直线垂直两种情况.(3)两条异面直线所成角θ的范围是什么?两条直线夹角φ的范围是什么?提示:两条异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°;两条直线夹角φ的范围是0°≤φ≤90°.(1)直线l与平面α垂直的充要条件文字表示符号表示图形表示直线l与平面α垂直的充要条件是,直线l与平面α内的任意直线都垂直l⊥α⇔∀m⊂α,l⊥m(2)直线与平面垂直的判定定理文字表示符号表示图形表示如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直m⊂α,n⊂α,m∩n≠⌀,l⊥m,l⊥n,则l⊥α(1)定义中的“任何一条直线”与“所有直线”、“无数条直线”是同义语吗?提示:“任何一条直线”与“所有直线”是同义语;“任何一条直线”与“无数条直线”不是同义语.(2)判定定理的条件中,把“两条相交直线”改为“两条直线”或“无数条直线”可以吗?提示:不可以.若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判定直线与平面垂直.例如,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ABCD内无数条直线垂直(与直线AD平行或重合的所有直线),但是AB1(1)直线与平面垂直的性质定理文字表示符号表示图形表示如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行l⊥α,m⊥α,则l∥m.(2)斜线段、斜足的定义如果A是平面α外一点,C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线),称C为斜足.(3)直线在平面内的射影、直线与平面所成的角设AB是平面α的垂线段,B是垂足;AC是平面α的斜线段,C是斜足,则直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.(1)线面垂直的性质定理提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据,你能想到其他转化依据吗?提示:①QUOTE⇒b⊥α;②QUOTE⇒a⊥β;③QUOTE⇒α∥β.(2)若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角,则需具备哪些条件?提示:需要PA⊥α,A为垂足,OA为斜线PO的射影,这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)三角形的两边可以垂直于同一个平面. ()(2)垂直于同一个平面的两条直线一定共面. ()(3)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直. ()(4)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直. ()提示:(1)×.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.(2)√.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.(3)√.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛盾,故只有一条直线.(4)√.由异面直线所成角的定义或等角定理都可得出,该命题正确.2.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是 ()A.60° B.45° C.30° D.120°【解析】选A.由题意知,在Rt△ABO中,∠AOB=90°,BO=QUOTEAB,所以∠ABO=60°.3.(教材二次开发:例题改编)如图,设O为平行四边形ABCD对角线的交点,P为平面ABCD外一点,且有PA=PC,PB=PD,则PO与平面ABCD的关系是.

【解析】因为PA=PC,所以PO⊥AC,又PB=PD,所以PO⊥⊥平面ABCD.答案:垂直关键能力·合作学习类型一线面垂直的定义及线线角、线面角的求解(数学运算、直观想象)1.下列说法中正确的个数是 ()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α;②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α;③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线;④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂直.A.0 B.1 1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1B1C1DA.30° B.45° C.60° D.135°【解析】1.选D.由直线和平面垂直的判定定理知①正确;由直线与平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条直线垂直,故③不对;④正确.2.如图,B1D与CC1所成的角为∠BB1D.因为△DBB1为直角三角形,所以tan∠BB1D=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE1B1C1D1中,BB1⊥平面A1B1C1D1,BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1,所以∠BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角,在等腰直角三角形BB1C(1)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.(2)空间直线与直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况,所以在平面内的这两条直线是否与已知直线有交点,是无关紧要的.(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.【补偿训练】1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,CC1的中点,则异面直线EF与B1D1所成的角为【解析】连接BC1,AD1,AB1,可知EF为△BCC1的中位线,所以EF∥BC1.又因为ABCDC1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形.所以BC1∥AD1.所以EF∥AD1.所以∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角.在△AB1D1中,易知AB1=B1D1=AD1,所以△AB1D1为正三角形,所以∠AD1B1=60°.所以EF与B1D1所成的角为60°.答案:60°2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于.

【解析】因为PA⊥平面ABC,所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角,又PA=AB,所以∠PBA=45°.类型二直线与平面垂直的判断与性质(逻辑推理、直观想象)角度1直线与平面垂直的判定

【典例】1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ()2.如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.(1)求证:PC⊥平面AEF;(2)设平面AEF交PD于G,求证:AG⊥PD.【思路导引】1.利用线面垂直的判定定理,由线线垂直,证明线面垂直.2.PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,AE⊥PB,AF⊥PC⇒AE⊥面PBC;若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的所有直线.【解析】1.选C.由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.(1)因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,又AE⊂平面PAB,所以AE⊥⊥PB,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,所以AE⊥⊥AF,AE∩AF=A,所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF,所以PC⊥AG,同理CD⊥平面PAD,AG⊂平面PAD,所以CD⊥AG,PC∩CD=C,所以AG⊥平面PCD,又PD⊂平面PCD,所以AG⊥PD.若本例2中,底面ABCD是菱形,H是线段AC上任意一点,AF⊥PC于点C,求证:BD⊥FH.【证明】因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,又PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,因为PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,且PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,又FH⊂平面PAC,所以BD⊥FH.角度2直线与平面垂直的性质

【典例】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EF∥BD1【思路导引】证明EF与BD1都与平面AB1C【证明】连接AB1,B1C,BD,B1D1因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC.又因为AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,又AC∩B1所以BD1⊥平面AB1C因为EF⊥A1D,且A1D∥B1C所以EF⊥B1C又因为EF⊥AC,AC∩B1C所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1(1)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义.②线面垂直的判定定理.③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤:①在这个平面内找两条直线,使它和这条直线垂直;②确定这个平面内的两条直线是相交的直线;③根据判定定理得出结论.2.利用线面垂直的性质定理,把证线线平行转化为证线面垂直.【拓展延伸】1.空间几何体中,确定线面角的关键是什么?提示:在空间几何体中确定线面角时,过斜线上一点向平面作垂线,确定垂足位置是关键,垂足确定,则射影确定,线面角确定.(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算.(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.【拓展训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1(1)求直线A1C(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.【解析】(1)因为直线A1A⊥所以∠A1CA为直线A1C设A1A=1,则AC=QUOTE,所以tan∠A1CA=QUOTE.(2)在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D因为BB1⊥平面A1B1C1D1A1C1⊂平面A1B1C1D所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1所以A1C1⊥平面BDD1B1所以∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O=QUOTEA1C1=QUOTEA1B,所以∠A1BO=30°,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.1.如图,BC是Rt△ABC的斜边,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,则图中直角三角形的个数是 ()A.8 B.7 【解析】⊥AC,PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8个.2.四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=2,则四棱锥的侧面积是.

【解析】如图,由已知PA⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,则CD⊥PA,又CD⊥AD,且PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD,即△PCD是直角三角形,同理△PBC也是直角三角形,且△PBC和△PCD的面积相同,四棱锥的侧面积S=2S△PAD+2S△PCD=2×QUOTE×2×2+2×QUOTE×2×QUOTE=4+4QUOTE.答案:4+4QUOTE3.如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.(1)求证:SD⊥平面ABC.(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.【证明】(1)因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD⊥△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD⊂平面ABC,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC=D,SD,AC⊂平面SAC,所以BD⊥平面SAC.【补偿训练】如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,M是圆周上任意一点,AN⊥PM,垂足为N.求证:AN⊥平面PBM.【证明】设☉O所在的平面为α,因为PA⊥α,且BM⊂α,所以PA⊥BM.又因为AB为☉O的直径,点M为圆周上一点,所以AM⊥∩AM=A,所以BM⊥平面PAM,而AN⊂平面PAM,所以BM⊥AN.所以AN与平面PBM内的两条相交直线PM,BM都垂直.所以AN⊥平面PBM.类型三直线与平面垂直的判定与性质的综合应用(逻辑推理、直观想象)【典例】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=QUOTE,D,F分别是A1B1,BB1的中点.(1)求证:C1D⊥AB1.(2)求证:AB1⊥平面C1DF.【思路导引】(1)要证C1D⊥AB1,需证C1D⊥平面AA1B1B,需证C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,由已知可证.(2)要证AB1⊥平面C1DF,需证AB1⊥DF,需证A1B⊥AB1,需证四边形AA1B1B为正方形,由已知可证.【证明】(1)因为ABC-A1B1C1所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1,因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C所以AA1⊥C1D,又因为AA1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B,又因为AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.(2)连接A1B,因为D,F分别是A1B1,BB1的中点,所以DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中,A1QUOTE=A1QUOTE+B1QUOTE,所以A1B1=QUOTE,所以A1B1=AA1,即四边形AA1B1B为正方形,所以AB1⊥A1B,即AB1⊥DF,又(1)已证C1D⊥AB1,又DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A求证:MN∥AD1.【证明】因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.备选类型距离问题(数学运算、直观想象)【典例】如图所示,直角△ABC所在平面α外有一点P,∠ACB=90°,PC=24,PD垂直AC于D,PE⊥BC于E,且PD=PE=6QUOTE,求P点到平面α的距离.【思路导引】作PO⊥α于O,则PO的长为P点到平面α的距离,构造直角三角形列方程组求解.【解析】作PO⊥α于O,则PO的长为P点到平面α的距离,连接OC,∠PCO为PC和平面α所成的角,连接OE,OD.因为PD=PE,PE⊥BC于E,PD⊥AC于D,所以PD,PE在平面α上的射影OE=OD,且OE⊥BC,OD⊥AC,即在四边形ODCE中,OE=OD,且∠OEC=∠ODC=∠ACB=90°,所以四边形ODCE为正方形,OC=QUOTEOE.设OP=x,OC2=PC2-OP2=242-x2, ①OE2=PE2-OP2=QUOTE-x2, ②OC=QUOTEOE, ③解①②③组成的方程组得x=12(舍去负值),即P点到平面α的距离为12.距离问题一直是高考的重点与热点问题,本题考查了各种距离,其中求点到平面的距离关键是作出点到平面的垂线,线到面的距离关键是转化为点到面的距离,各种距离的基础是点与点的距离.已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,设点C到平面PAB的距离为d1,点D到平面PAC的距离为d2,BC到平面PAD的距离为d3,则d1,d2,d3三者之间的大小关系是.

【解析】如图,点C到平面PAB的距离就是点D到平面PAB的距离,过点D作DE⊥PA,则DE⊥平面PAB,所以DE的长就是点D到平面PAB的距离,故d1=DE=QUOTE;令AC∩BD=M,在平面PDB内作DF⊥PM,则DF⊥平面PAC,所以点D到平面PAC的距离d2=DF=QUOTE;BC到平面PAD的距离,即C到平面PAD的距离,所以d3=1,故有d2<d1<d3.答案:d2<d1<d3课堂检测·素养达标1B1C1D1的六个面中,与AA1A.1 B.2 【解析】1B1C1D1的六个面中与AA1垂直的平面是平面ABCD与平面A1B1C1D2.下列说法中,错误的个数是 ()①若直线m∥平面α,直线l⊥m,则l⊥α;②若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α必相交;③过平面α外一点有且只有一条直线和平面α垂直;④过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直.A.0 B.1 【解析】选C.①错误,若直线m∥平面α,直线l⊥m,则l与α平行、相交或l在α内都有可能;②错误,若直线l和平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能;③④正确.3.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是 ()【解析】选C.因为BA⊥α,α∩β=l,l⊂α,所以BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以l⊥AC.4.(教材二次开发:练习改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ADD1A1所成的角等于,AB1与平面DCC1D1所成的角等于【解析】∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1答案:45°0°5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2QUOTE,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥平面BEF.【证明】连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中点,所以EF⊥PC.又BP=QUOTE=2QUOTE=BC,F是PC的中点,所以BF⊥∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.课时素养评价十八直线与平面垂直(15分钟·30分)1.下列条件中,能使直线m⊥α的是 ()A.m⊥b,m⊥c,b⊂α,c⊂αB.m⊥b,b∥αC.m∩b=A,b⊥αD.m∥b,b⊥α【解析】选D.对于A,缺b与c相交;对于B,还可能得出m∥α,m与α相交或m⊂α;对于C,可能有m∥α或m⊂α或m与α相交.【补偿训练】已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下列四个说法:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m⊥n,m∥α⇒n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确说法的序号是 ()A.①③ B.②④ C.①④ D.②③【解析】选C.①④可由直线与平面垂直的定义和判定推证.根据②中条件可知,m与n平行或异面,所以②错.③中由m⊥n,m∥α,可知n∥α或n⊂α,或n与α相交,故③错,所以①④正确.1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面BQUOTEB.QUOTEQUOTED.QUOTE【解析】1D的中点O,连接EO(图略),则EO∥AC,因为AC⊥平面B1BD,所以EO⊥平面B1BD,则∠EBO就是直线BE与平面B1BD所成角的平面角,所以sin∠EBO=QUOTE=QUOTE.【补偿训练】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=4,BB1=1,AC=2QUOTE,则BD与AC所成的角为 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】1C1则DM∥A1C1∥所以异面直线BD与AC所成角为∠BDM,因为DM=QUOTEAC=QUOTE,BD=QUOTE=QUOTE,BM=QUOTE=QUOTE,所以∠BDM=60°,即异面直线BD与AC所成的角为60°.3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论正确的有 ()①BC⊥平面PAB;②AD⊥PC;③AD⊥平面PBC;④PB⊥平面ADC. C.2个 【解析】⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,则PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,故BC⊥平面PAB,①正确;因为BC⊥平面PAB,AD⊂平面PAB,所以BC⊥AD,因为PA=AB,D为PB的中点,故AD⊥PB,又BC∩PB=B,故AD⊥平面PBC,因为PC⊂平面PBC,故AD⊥PC,②③正确;若PB⊥平面ADC,因为CD⊂平面ADC,故PB⊥CD,因为D为PB的中点,故CB=CP,又PC>AC>BC,故CB=CP不成立,故④错误.【补偿训练】在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点.动点P在线段MN上运动时,下列四个结论,不一定成立的为 ()①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.A.①③B.③④C.①②D.②④【解析】选D.作出如图所示的辅助线.对①,在正四棱锥S-ABCD中,因为AC⊥BD,AC⊥SO,BD⊂平面SBD,SO⊂平面SBD,且SO∩BD=O,故AC⊥平面SBD.又因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,故平面EMN∥平面SBD,故AC⊥平面EMN,因为EP⊂平面EMN,故EP⊥①成立.对②,当且仅当P与M重合时,EP∥②不一定成立.对③,由①有平面EMN∥平面SBD,又EP⊂平面EMN,故EP∥③成立.对④,当且仅当P与M重合时,才有EP⊥④不一定成立.4.如图所示,平面α∩β=CD,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,则CD与AB的位置关系是.

【解析】因为EA⊥α,CD⊂α,根据直线和平面垂直的定义,则有CD⊥EA.同理,因为EB⊥β,CD⊂β,则有EB⊥∩EB=E,所以CD⊥平面AEB.又因为AB⊂平面AEB,所以CD⊥AB.答案:CD⊥AB5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过A点作平面A1①点H是△A1BD的中心;②AH垂直于平面CB1D1;③AC1与B1C其中正确结论的序号是.

【解析】①正确,因为AH⊥平面A1BD,AA1=AB=AD,所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB,所以HA1=HB=HD,所以点H是△A1BD的外心,又因为A1B=BD=DA1,所以点H是△A1BD的中心.②正确,易证平面A1BD∥平面CB1D1,又因为AH⊥平面A1BD,所以AH垂直于平面CB1D1.③正确,易证A1D⊥平面ABC1D1,所以AC1⊥A1D,又A1D∥B1C所以AC1⊥B1C,所以AC1与B1C所成的角是90答案:①②③6.如图,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD,AE⊥平面CDE.求证:AB⊥平面ADE.【证明】因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD,又在正方形ABCD中,CD⊥AD,AE∩AD=A,所以CD⊥平面ADE,又在正方形ABCD中,AB∥CD,所以AB⊥平面ADE.(30分钟·60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是()A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH【解析】⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥⊥平面β,则由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1111中点与CC1中点连成的线段1C1【解析】选A.如图,由于BD1⊥平面AB1C,故点P一定位于B13.如图,在四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为QUOTE,则点B到平面ACD的距离为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】⊥BC,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,故AB⊥CD,因为CD⊥BE,CD⊥AB,可得CD⊥平面ABE,则AB在平面ADC上的射影与AE在一条直线上,故直线AB与平面ACD所成角即为∠BAE.在Rt△ABE中,BE=QUOTE,sin∠BAE=QUOTE,故可得AE=3QUOTE,AB=4,故VA-BCD=VB-ACD,设点B到平面ACD的距离为x,则QUOTES△BCD×AB=QUOTES△ACD×x,整理得2AB=6h,解得h=QUOTE.4.如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A11C①总存在某个位置,使CE⊥平面A1DE;②总有BM∥平面A1DE;③存在某个位置,使DE⊥A1CA.①② B.①③ C.②③ D.①②③【解析】①中,总存在某个位置,使CE⊥平面A1DE,①正确;在②中,取CD中点F,连接MF,BF,则MF∥A1D且MF=QUOTEA1D,FB∥ED且FB=ED,由MF∥A1D与FB∥ED,可得平面MBF∥平面A1DE,所以总有BM∥平面A1DE,故②正确;在③中,A1C在平面ABCD中的射影为AC,AC与DE不垂直,所以DE与A1C不垂直,故③错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分),则能得出直线与平面垂直 ()

A.三角形的两边 C.圆的两条直径 【解析】选AC.由线面垂直的判定定理知,直线垂直于平面内三角形的两边,因为这两边是相交的,所以能得出直线与平面垂直,所以A选项正确;直线垂直于梯形的两边,因为梯形的两边可能平行,所以不能得出直线与平面垂直,所以B选项不正确;直线垂直于圆的两条直径,因为任何一个圆的两条直径是相交的,所以能得出直线与平面垂直,所以C选项正确;直线垂直于正六边形的两边,因为正六边形的两边可能平行,所以不能得出直线与平面垂直,所以D选项不正确.6.(2020·惠州高一检测)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,下列说法正确的是()A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEH D.HG⊥平面AEF【解析】选BC.由题意可得:AH⊥HE,AH⊥HF.所以AH⊥平面EFH,而AG与平面EFH不垂直,所以B正确,A不正确.又HF⊥HE,所以HF⊥平面AHE,C正确.HG与AG不垂直,因此HG⊥平面AEF不正确,D不正确.【补偿训练】(多选题)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是 ()【解析】选BD.对于A,由AB与CE所成角为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;对于C,由AB与CE所成角为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直;对于D,连接AC,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.其中正确的有(把所有正确的序号都填上).

【解析】对于①,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AE,又EA⊥AB,PA∩AB=A,所以EA⊥平面PAB,从而可得EA⊥PB,故①正确.对于②,由于PA⊥平面ABC,所以平面ABC与平面PBC不可能垂直,故②不正确.对于③,由于在正六边形中BC∥AD,所以BC与EA必有公共点,从而BC与平面PAE有公共点,所以直线BC与平面PAE不平行,故③不正确.对于④,由条件得△PAD为直角三角形,且PA⊥AD,又PA=2AB=AD,所以∠PDA=45°.故④正确.答案:①④8.《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,CA=4,PA=2,D为AB中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE=;点E的轨迹的长度为.

【解析】当E在AC上时,因为PA⊥平面ABC,故PA⊥DE,又PC⊥DE,故DE⊥⊥AC.又∠ACB=90°,故DE∥BC,D为AB中点,所以E为AC中点.故AE=QUOTEAC=2.取AC中点F,则由(1)有DF⊥平面PAC,故PC⊥DF,又PC⊥DE,设平面DEF∩PC=G,则有PC⊥平面DGF.故点E的轨迹为FG.又此时CF=2,tan∠PCA=QUOTE=QUOTE,故sin∠PCA=QUOTE=QUOTE.所以FG=CF·sin∠PCA=QUOTE=QUOTE.答案:2QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥BE.【证明】因为AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥⊂平面ABE,所以AE⊥BC.因为BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,所以AE⊥BF.又因为BF⊂平面BCE,BC⊂平面BCE,BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,所以AE⊥BE.【补偿训练】如图所示,四边形ABB1A1为圆柱的轴截面(过圆柱轴的截面),C是圆柱底面圆周上异于A,B的任意一点.求证:AC⊥平面BB1【证明】因为四边形ABB1A1所以BB1⊥⊂底面ABC,所以BB1⊥AC.因为AB为底面圆的直径,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又因为BB1∩BC=B,BB1⊂平面BB1C,BC⊂平面BB1所以AC⊥平面BB1C10.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧面SBC为等边三角形,SD=2.(1)求证:SD⊥BC;(2)求点B到平面ASD的距离.【解析】(1)设BC边中点是E,连接DE,SE.因为△SBC是等边三角形,所以SE⊥BC,又由已知得△DBC是等