5.2.1基本初等函数的导数课件高二上学期数学人教A版选择性

基本初等函数的导数第五章一元函数的导数及其应用人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.能应用导数的定义求y=c,y=x,y=x2,y=x3,的导数.2.掌握基本初等函数的导数公式,并会求函数的导数.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

基础落实·必备知识一遍过知识点基本初等函数的导数公式函数导数f(x)=c(c为常数)f'(x)=

f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=

f(x)=sinx

f'(x)=

f(x)=cosx

f'(x)=

f(x)=ax(a>0,且a≠1)

f'(x)=

f(x)=exf'(x)=

即为上式中a=e时的特例

0

αxα-1cosx-sinxaxlnaex函数导数f(x)=logax(a>0,且a≠1)

f'(x)=

注意对数函数的求导公式中,自变量的取值要大于零才有意义

f(x)=lnx

f'(x)=

名师点睛由于根式函数可以转化为幂函数的形式,因此可以利用幂函数的导数公思考辨析对于幂函数f(x)=xα,当α分别取1,2,3,-1,时,f'(x)分别为多少?自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若f(x)=4x,则f'(x)=4xlog4e.(

)×√C3.[北师大版教材习题]用定义法求函数y=f(x)=的导数f'(x),并求f'(1),f'(2),f'(3).4.[人教B版教材例题]求曲线y=sinx在(0,sin0)处的切线方程.解

因为(sin

x)'=cos

x,所以所求切线的斜率为cos

0=1,又因为sin

0=0,所以所求切线方程为y-0=1(x-0),即y=x.重难探究·能力素养速提升探究点一利用导数的定义求函数的导数【例1】

[北师大版教材例题]求y=f(x)=3x2-x的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(1),f'(-2),f'(0).解

Δy=f(x+Δx)-f(x)=3(x+Δx)2-(x+Δx)-(3x2-x)=3(Δx)2+6xΔx-Δx.可得f'(1)=6×1-1=5,f'(-2)=6×(-2)-1=-13,f'(0)=6×0-1=-1.变式探究(变条件)将本例中“f(x)=3x2-x”改为“f(x)=3x2-x+2”,其他不变.解

易得Δy和例1相同,故结果和例1一致.规律方法

根据导数的定义易知(f(x)+c)'=f'(x),其中c为常数.探究点二利用导数公式求函数的导数【例2】

[2024湖南高二期末]求下列函数的导数.规律方法

利用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.变式训练1求下列函数的导数:探究点三导数几何意义的应用变式训练2[苏教版教材习题]设b为实数,若直线y=-x+b为函数y=图象的切线,求b的值及切点坐标.所以切点坐标是(-1,-1)或(1,1),当切点坐标是(-1,-1)时,代入直线的方程y=-x+b,得b=-2;当切点坐标是(1,1)时,代入直线的方程y=-x+b,得b=2.★★【例3-2】

[人教B版教材例题]已知函数f(x)=x2,而l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(2,3).(1)判断(2,3)是否为曲线y=f(x)上的点;(2)求l的方程.解

(1)因为f(2)=22=4≠3,所以点(2,3)不是曲线y=f(x)上的点.(2)设切点为(x0,f(x0)).因为f'(x)=2x,所以切线的斜率为f'(x0)=2x0,由此可解得x0=1或x0=3,因此,切点为(1,1)或(3,9),切线方程为y-1=2(x-1)或y-9=6(x-3).即l的方程为y=2x-1或y=6x-9.规律方法

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点,则在该点处的切线斜率就是该点处的导数;(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的几何意义求解.变式训练3[2024广东惠州高二统考]已知函数f(x)=x3.求:(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.解

(1)因为f'(x)=3x2,所以f'(1)=3,又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.本节要点归纳1.知识清单:(1)定义法求函数的导数.(2)公式法求函数的导数.(3)导数几何意义的应用.2.方法归纳:公式法、转化法、待定系数法.3.常见误区:(1)常数的导数判断失误致错;(2)求切线忽视判断点是否在曲线上.学以致用·随堂检测促达标12345678910111213A级必备知识基础练1.[探究点二]下列求导运算正确的是(

)A.(3x)'=x·3x-1B.(sina)'=cosa(a为常数)C.(cosx)'=sinxD解析

对于A,(3x)'=3xln

3,所以A不正确;对于B,因为a为常数,所以(sin

a)'=0,所以B不正确;对于C,(cos

x)'=-sin

x,所以C不正确;易知D正确.故选D.12345678910111213C123456789101112133.[探究点三]直线l经过点A(0,b),且与直线y=2x平行,如果直线l与曲线y=x2相切,那么b等于(

)B解析

设切点坐标为(m,m2),且y=x2的导数为y'=2x,因为直线l经过点A(0,b),且与直线y=2x平行,所以切线的斜率为2,即切线l的斜率k=2m=2,解得m=1,可得切点坐标为(1,1),由2=,解得b=-1.故选B.123456789101112134.[探究点二](多选题)下列选项正确的是(

)A.y=ln2,则y'=0ABD1234567891011121312345678910111213BC123456789101112136.[探究点二]已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为,底数a的值是

.

2123456789101112137.[探究点二]求下列函数的导数.解

(1)y'=(x12)'=12x11.(3)y'=(4x)'=4xln

4.123456789101112138.[探究点三·人教B版教材习题]已知f(x)=,求f'(8)以及曲线y=f(x)在点(8,f(8))处的切线的方程.123456789101112139.[探究点一·北师大版教材习题]求y=f(x)=3x2+x的导数f'(x),并求f'(2),f'(-2),f'(3).解

Δy=f(x+Δx)-f(x)=[3(x+Δx)2+(x+Δx)]-(3x2+x)=6Δx·x+3(Δx)2+Δx.故可得f'(2)=6×2+1=13,f'(-2)=6×(-2)+1=-11,f'(3)=6×3+1=19.1234567891011121310.[2024甘肃高二期末]若过点P(1,0)作曲线y=x3的切线,则这样的切线共有(

)A.0条

B.1条

C.2条

D.3条B级关键能力提升练C1234567891011121311.[北师大版教材习题]求曲线f(x)=x2的一条与直线y=2x+1平行的切线的方程.解

易求得f'(x)=2x.设切点为(x0,y0),则过该点(x0,y0)的切线的斜率为f'(x0)=2x0,所以2x0=2,于是x0=1,y0==1.所以切点坐标为(1,1),斜率为2,切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.1234567891011121312.[人教B版教材习题]已知函数f(x)=x2,而l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(3,5).(1)判断(3,5)是否是曲线y=f(x)上的点;(2)求l的方程.解

(1)因为f(3)=9≠5,所以点(3,5)不是曲线y=f(x)上的点.12345678910111213解得x