理学章多项式

教学要求：1、了解多项式的基本概念；2、掌握多项式的整除概念及其判定方法；3、掌握多项式的因式分解定理及最大公因式的求解方法；4、了解多项式函数及其根等概念；5、有理多项式解的理论(了解)。教学重点：1、除概念及其判定方法；难点：1、多项式互素的概念及其应用；2、转相除法、综合除法；3、因式分解定理；4、有理数域上的多项式。2、最大公因式的求法；3、有理根的求法及应用。§4.1一元多项式的定义

和运算教学目标掌握一元多项式的定义并会进行简单运算。重点一元多项式的概念。难点一元多项式的概念。§4.1一元多项式的定义和运算

；；；定义4.1.1大家能告诉我它们是一些什么式子吗？大家来看以下的式子：是一个数域，。是一非负整数，是一个文字，设由此引出：则形式表达式

（1）称为系数在数域中的一元多项式，

或者简称为

比较）。这里数域上的一元多项式。（与初中所学的多项式进行

称为次项，

称为次项的系数。

用

或等来表示多项式。

定义4.1.2

若多项式与同次项的系数全相等，

那么就系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。定义4.1.3，

如果

那么

称为多项式（1）的首项，

称为首项系数，

称为多项式的次数。零多项式为。与相等，记为。称多项式多项式

的次数记是唯一不定义次数的多项式。设是数域上两个多项式，那么可以写成；在表示多项式与的和时，

如果，

为了方便起见，在中令，

那么与的和为而与的乘积为其中次项的系数是所以可表成。。利用多项式的加法可以定义多项式的减法：2.加法结合律：由多项式的加法、乘法和减法的定义可知，数中的多项式经过加、减、乘之后，仍是

中的的多项式。

域1.加法交换律：运算法则：3、乘法交换律：4.乘法结合律：5.乘法对加法的分配律：。定理4.1.1设是数域上的多项式，则（1）（2）上面的结果都可以推广到多个多项式的情形。且：推论4.1.2与中至少有一个为零。推论4.1.3若

且

，则。

定义：所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为。§4.2多项式的整除性教学目标掌握多项式整除的性质及证明。重点整除及其判定方法。难点带余除法及其应用§4.2多项式的整除性一、概念和性质例：

若，用除得：

”称为整除

数域上的多项式，定义4.2.1

如果存在使得成立。

用表示整除“

，用

表示不能整除称为当时，就称为的因式，的倍式。多项式整除性的一些基本性质：（1）如果，，那么；（2）如果，，那么；（3）如果，那么，有；（4）如果，，则有；（5）（，

且）；。和如果，那么有这里是数域中某一不等于零的数。设（6），证明略（板书）定理4.2.1、，且，则一定，使-------(1)成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的。（1）中的称为除的商，称为除的余式。多项式的整除性不会因数域的扩大而改变。二、例题例1求被除所得的商式和余式。例2计算:§4.3多项式的最大公因式重点多项式最大公因式的定义、运算及其性质。难点

运用展转相除法求最大公因式，最大公因式性质的运用。教学目标

掌握多项式最大公因式的定义、运算及其性质。§4.3多项式的最大公因式定义4.3.1（多项式的公因式）设。若中的一个多项式满足且，那么就称为与的一个公因式。定义4.3.2（多项式的最大公因式）设是多项式与的一个公因式。若能整除与的每一个公因式，则称是与的最大公因式。例如，对于任意多项式，就是与0的一个最大公因式。特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0。引理如果有等式成立，那么，和，有相同的公因式。定理4.3.1

中的任意两个多项式，，一定有最大公因式。除一个零次因式以外，与的最大公因式是唯一确定的。证明:利用辗转相除法加以证明。（对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使得：）。定理4.3.2

若是与的最大公因式，那么在中存在多项式使得一下等式成立:。证明:利用定理4.3.1证明中的辗转相除法的式子直接推得。(此定理的逆定理不一定成立。）由最大公因式的定义不难看出，如果是，的两个最大公因式，那么一定有与，也就是说。这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的。用（，）来表示首项系数是1的那个最大公因式。定义4.3.3

中两个多项式，称为互素（也称为互质）的，如果。显然，两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然。定理4.3.3

中两个多项式，互素的充要条件是有中多项式使.推论1

如果，且，那么。推论2

如果，且那么。

推论3如果，，那么。，如果使得:1）;2）如果，那么。则称为的一个最大公因式，用符号来表示首项系数为1的最大公因式。与在中的首项系数为1的最大公因式,而是与在中首项系数为1的最大公因式,那么。 即从数域过渡到数域时，与的最大公因式本质上没有改变。互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式与互素，则。

2)若多项式都整除，且两两互素，则.3)若多项式都与互素，则

例1求多项式与的最大公因式，并求使得。§4.4多项式的分解

教学目标掌握不可约多项式的定义、性质及其应用重点不可约多项式的性质及应用。难点不可约多项式的性质及应用。§4.4多项式的分解的平凡因式——非零常数与

定义4.4.1数域

上次数

的多项式

称为数域上的不可约多项式如果它不能表成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积。一个多项式是否可约是依赖于系数域的。一次多项式总是不可约多项式。不可约多项式的性质：1、不可约多项式的因式只有平凡因式与

此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数的多项式一定是不可约的。2、不可约多项式与任一多项式之间只可能有两种关系，或者或者3、如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者。

4、如果不可约多项式整除一些多项式的乘积，

那么一定整除这些多项式之中的一个。定理4.4.1(因式分解及唯一性定理)数域上

次数的多项式

可都以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果

有两个分解式,那么必有，并且适当排列因式的次序后有.其中是一些非零常数。利用数学归纳法加以证明。例证明：。

§4.5重因式教学目标了解重因式的定义，掌握重因式的判断。重点重因式的判定。难点重因式的判定。§4.5重因式定义4.5.1不可约多项式称为多项式重因式,如果,但定义4.5.2多项式的一阶导数为：根据定义可得：同样可以定义高阶导数的概念。微商称为的一阶导数；的导数称为的二阶导数；等等。的阶导数记为一个次多项式的导数是一个次多项式；它的阶导数是一个常数；它的阶导数等于0。定理4.5.1如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是导数的重因式。如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是的因式,但不是的因式。定理4.5.2不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是：是与

的公因式。

定理4.5.3

无重因式

§4.6多项式函数、多项式的根教学目标了解多项式与多项式函数的区别，掌握综合除法并会应用。重点综合除法、多项式的根。难点综合除法的应用。§4.6多项式函数、多项式的根设

在上式中用代替所得的数

称为

当时的值,

记为。这样，多项式就定义了一个数域上的函数。如果那么定理4.6.1(余数定理)定义4.6.1用一次多项式去除多项式

，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值。令是的一个多项式而是

的一个数。若是当时

的值那么

叫作

数域在中的一个根。定理4.6.2

是

的根的充要条件是。定理4.6.3多项式相等与多项式函数相等的关系定理4.6.4次多项式中在数域中的根不可能多于

个，重根按重数计算。

如果多项式的次数都不超过，而它们对

个不同的数有相同的值即，那么介绍综合除法：并且设(1)

，其中。比较等式（1）中两端同次项的系数，我们得到设

由此得出这样，欲求系数，重要把前一系数乘以再加上对应系数，而余数也可以按照类似的规律求出。因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余数：表中的加号通常略去不写。§4.7复系数和实系数多项式的因式分解教学目标掌握代数基本定理并会应用。重点、难点代数基本定理，复系数和实系数多项式的标准分解因式。§4.7复系数和实系数多项式的因式分解

代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有一个根。复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中是不同的复数，是正整数。标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）。

实系数多项式因式分解定理

每个次数

的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积。实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含非实共轭复数根的二次多项式。实系数多项式具有标准分解式其中

全是实数，

，

是正整数，并且

是不可约

的，也就是适合条件

其中第

个等式的右端是一切可能的

个根的乘积之和，乘以。

§4.8有理系数多项式教学目标了解本元多项式的定义、有理数域上有任意次不可约多项式；了解艾森斯坦因判别法；会求简单的有理多项式。重点、难点有理多项式根的存在性的判别。§4.8有理系数多项式有理系数多项式的有理根定义4.8.1(本原多项式的定义)如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于的公因子，也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式。任何一个非零的有理系数多项式都可以表示成一个有理数与一个本原多项式的乘积，即。Gauss引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式。定理4.8.1

如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积。推论4.8.2设是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，一定是整系数多项式。那么定理4.8.3设是一个整系数多项式.而是它的一个有理根，其中互素，那么(1)；特别如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子。(2)其中是一个整系数多项式。定理4.8.4(艾森斯坦(Eisenstein)判别法)

设是一个整系数多项式。若有一个素数，使得1.2.3.则多项式在有理数域上不可约。有理数域上存在任意次的不可约多项式。其中是任意正整数。

例如§4.9

多元多项式教学目标了解多元多项式的定义，会对多元多项式进行简单的分析。重点多元多项式的概念、多元多项式函数。难点多元多项式的概念、多元多项式函数。§4.9

多元多项式令为数域，是个文字。形如的表达式（其中），叫做数域上的单项式，为系数。上的个文字的单项式总可以看成

个文字的单项式。一些单项式用加号连接起来得到：叫做上个文字的多项式。用符号，等表示上个文字的单项式。同类项：与叫做同类项。元多项式中不含同类项；次数：

单项式的次数：的次数为多项式的次数：

出现在这个多项式里一切不为零的单项式的次数最大者。零次多项式无次数。多项式的加法定义：对应项相加。由加法定义知：。乘法定义：利用分配律，字母相同指数相加系数相乘，然后合并同类项。加法、乘法运算规律：（1）（加法结合律）；{}gfgf,max)(£+¶（2）（加法交换律）；（3）（乘法结合律）；（4）（乘法交换律）；（5）（分配律）。多项式环的负多项式：把的所有的系数都换成各自的相反数。记作：。减法：数域上元多项式可记为：元多项式的运算同中学所学完全一样，只是这里的是个文字。。字典排列法：设是数域上的元多项式。设（1）（2）是的两个不同的项，那么中至少有一个不等于零。如果存在使得，但称项（1）大于项（2）对于多项式总是一个大于（或小于）另一个的。若项（1）大于项（2），而项（2）大于项：（3）那么（1）也大于（3）。这样只要把大的项排在前面就可以确定多项式各项的次序了。这就是多项式的字典排列法。定理4.9.1

次齐次多项式——

次齐式、的首项等于这两个多项式首项的乘积，两个

非零多项式的乘积也不等于零。若，那么就是一个次齐式。定理4.9.2

证明：设则它们所确定的函数与也相等，反之也成立。定理4.9.3那么。若，都有对实施数学归纳法：

设推论4.9.4，如果对任意的都有：那么。、设§4.10对称多项式教学目标了解多元对称多项式的定义，会对多元对称多项式进行简单的应用。重点多元对称多项式的定义、性质及应用。难点多元对称多项式的性质及应用。§4.10对称多项式定义4.10.1

对的一个排列：。一般。

设，如果对的任意一个排列：均有，则称是数域上元对称多项式。如果对称多项式含，则也一定含（是的一个排列）。设——元对称多项式引理4.10.1设是数域上的一个元多项式，以