新高考数学一轮复习 讲与练第16讲 平面向量及其应用（原卷版）

第16讲平面向量及其应用学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.平面向量基本定理(1)平面向量的基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.2.平面向量的坐标一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).3.平面向量的坐标运算(1)平面向量线性运算的坐标表示假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).(2)向量模的坐标计算公式如果向量a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).(3)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2.5.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)向量的垂直：当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量垂直.(3)数量积的定义：一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b,即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(4)数量积的几何意义：①投影向量：设非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))__为向量a在直线l上的投影向量或投影.②投影的数量：一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.③两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.6.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(3)夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).7.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).8.平面几何中的向量方法三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.考点和典型例题1、平面向量基本定理【典例1-1】（2022·江苏苏州·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D在线段SKIPIF1<0上，点E在线段SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-2】（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知SKIPIF1<0均为单位向量，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例1-3】（2022·江西·模拟预测（理））已知圆C的半径为2，点A满足SKIPIF1<0，E，F分别是C上两个动点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．[6，24] B．[4，22] C．[6，22] D．[4，24]【典例1-4】（2022·河南·模拟预测（理））如图，在SKIPIF1<0中，M为BC的中点，SKIPIF1<0，则m＋n＝（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【典例1-5】（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内两个不共线的向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若A，B，C三点共线，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．22、坐标运算及其数量积【典例2-1】（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线，则SKIPIF1<0的值为（

）A．0 B．48 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-2】（2022·全国·二模（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））在长方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上运动，且保持SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-4】（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位向量，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2-5】（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心三模（文））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0方向上的投影是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03、综合应用【典例3-1】（2022·北京·潞河中学三模）已知菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-2】（2022·北京工业大学附属中学三模）已知向量SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则当实数SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<0【典例3-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3-4】（2022·重庆八中模拟预测）如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于O．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例3-5】（2022·宁夏·平罗中学三模（文））已知函数SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在锐角SKIPIF1<0中内角SKIPIF1<0的对边分