新高考数学一轮复习 讲与练第30讲 圆锥曲线的综合应用（解析版）

第30讲圆锥曲线的综合应用学校____________姓名____________班级____________知识梳理1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.3.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.4.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：①|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).考点和典型例题1、直线与圆锥曲线的位置关系【典例1-1】直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【答案】A【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在椭圆内，SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交.故选：A.【典例1-2】过SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0有且只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【详解】当斜率不存在时，过SKIPIF1<0的直线与双曲线没有公共点；当斜率存在时，设直线为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，①式只有一个解；当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上可知过SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.【典例1-3】斜率为SKIPIF1<0的直线过抛物线SKIPIF1<0的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形SKIPIF1<0的面积是（O为坐标原点）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】抛物线SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，则斜率为SKIPIF1<0的直线方程为：SKIPIF1<0，与抛物线方程联立得：SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，点O到直线AB的距离为SKIPIF1<0，所以△AOB的面积为SKIPIF1<0故选：B【典例1-4】（多选）已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，左、右顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（

）A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之积为1B．若双曲线C为等轴双曲线，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若P为焦点SKIPIF1<0关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为SKIPIF1<0D．延长SKIPIF1<0交双曲线右支于点Q，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的内切圆半径分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】由题意知，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A正确；对于B，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由A选项知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正确；对于C，易得双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，若P为焦点SKIPIF1<0关于双曲线C的渐近线的对称点，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则C的离心率为SKIPIF1<0，C错误；对于D，设SKIPIF1<0的内切圆与SKIPIF1<0分别切于SKIPIF1<0三点，由切线长定理知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0重合，即SKIPIF1<0的内切圆圆心SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0的内切圆圆心SKIPIF1<0横坐标也为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0轴，且SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为切点，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，D正确.故选：ABD.【典例1-5】（多选）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，过其准线上的点SKIPIF1<0作的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的斜率为2 D．SKIPIF1<0面积的最小值为4【答案】ABD【详解】对A，易知准线方程为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，故选项A正确.对B，设直线SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当直线与SKIPIF1<0相切时，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是上述方程两根，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选项B正确.对C，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.代入点SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.

故选项C不正确.对D，同C，切线方程SKIPIF1<0：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的面积小值为SKIPIF1<0，故D正确；故选：ABD2、中点弦及弦长问题【典例2-1】（2022·江苏·高二）已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作一条倾斜角为SKIPIF1<0的直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则椭圆SKIPIF1<0的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设点SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，相减得SKIPIF1<0，因直线AB的倾斜角为SKIPIF1<0，即直线AB的斜率为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故选：A【典例2-2】（2022·内蒙古·赤峰二中高二阶段练习（文））已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为SKIPIF1<0，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为SKIPIF1<0，则C的离心率为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率SKIPIF1<0．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴双曲线C的离心率SKIPIF1<0．故选：B．【典例2-3】（河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期末数学文科试题）已知抛物线C：SKIPIF1<0，直线l与C交于A，B两点，若弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则直线l的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．－3【答案】C【详解】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因为弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0．故选：C【典例2-4】（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的点，则（

）A．椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0 B．椭圆SKIPIF1<0的短轴长为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的两焦点距离之差的最大值为SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】令SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，所以，椭圆SKIPIF1<0的焦点在SKIPIF1<0轴上，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A对；椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，椭圆SKIPIF1<0的短轴长为SKIPIF1<0，B错；SKIPIF1<0，C对；椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其标准方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，如下图所示：设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,当且仅当点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三点共线时，等号成立，D对.故选：ACD．【典例2-5】（多选）（2021·江苏省灌云高级中学高二阶段练习）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线SKIPIF1<0相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（

）A．b<a B．渐近线方程为y=±2xC．离心率SKIPIF1<0 D．b>a【答案】CD【详解】解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，因为M（1，1）是AB的中点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，故选：CD3、圆锥曲线的综合应用【典例3-1】（2022·北京·北大附中三模）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程及其离心率；(2)若SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上第一象限的点，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0的坐标.【答案】(1)SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【解析】(1)依题知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以椭圆方程为SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0.(2)如图：设SKIPIF1<0，第一象限有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0②，联立①②解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【典例3-2】（2022·陕西咸阳·二模（文））已知抛物线SKIPIF1<0，过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M、N两点，SKIPIF1<0.(1)求抛物线C的标准方程；(2)若A、B两点在抛物线C上，且SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0的垂直平分线l恒过定点.【解析】(1)因为SKIPIF1<0过焦点且与SKIPIF1<0轴垂直，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，从而抛物线C的方程为SKIPIF1<0.(2)设线段SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题知，直线SKIPIF1<0的垂直平分线斜率存在，设为k，则：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若直线SKIPIF1<0不与x轴垂直，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则直线l斜率为SKIPIF1<0，从而直线l的方程为SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0.若直线SKIPIF1<0与x轴垂直，则l为直线SKIPIF1<0，显然也满足恒过点SKIPIF1<0.综上所述，直线l恒过点SKIPIF1<0.【典例3-3】（2021·湖南·模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0的其中一个焦点为SKIPIF1<0，一条渐近线方程为SKIPIF1<0（1）求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；（2）已知倾斜角为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且线段SKIPIF1<0的中点的纵坐标为4，求直线SKIPIF1<0的方程.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（1）由焦点可知SKIPIF1<0，又一条渐近线方程为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，AB中点的坐标为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，②SKIPIF1<0①得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0【典例3-4】（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中点SKIPIF1<0为抛物线的焦点，如图所示.（1）求抛物线的标准方程；（2）若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】解：（1）由椭圆SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为抛物线的焦点为SKIPIF1<0，可设抛物线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以抛物线的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由椭圆SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0无斜率，则其方程为SKIPIF1<0，经检验，不符合要求.所以直线SKIPIF1<0的斜率存在，设为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.①因为直线SKIPIF1<0与抛物线有两个交点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.由①可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不符合题意，舍去，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例3-5】（2022·全国·高考真题）已知点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，直线l交C于P，Q两点，直线SKIPIF1<0的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0