新高考数学一轮复习 讲与练第27讲 椭圆（原卷版）

第27讲椭圆学校____________姓名____________班级____________知识梳理1.椭圆的定义如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2考点和典型例题1、椭圆的定义及应用【典例1-1】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是两个定点，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正常数），动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时动点SKIPIF1<0的轨迹是椭圆；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时动点SKIPIF1<0的轨迹是线段SKIPIF1<0．故选：C．【典例1-2】已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆的上的点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆的焦点，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，故选：D【典例1-3】已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0是椭圆上一点，SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0，则椭圆C的标准方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】根据椭圆定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由离心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0.故选：B【典例1-4】已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：由题意，椭圆方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以焦点SKIPIF1<0，又由椭圆的定义，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选:C．【典例1-5】已知点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0分别为左、右焦点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.2、椭圆的简单几何性质【典例2-1】椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，右顶点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上，满足SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），故选：B.【典例2-2】椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率之积为1，则双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的倾斜角分别为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率之积为1，所以有SKIPIF1<0，因此双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线方程为：SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线的倾斜角分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：D【典例2-3】已知点A、B为椭圆SKIPIF1<0的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故选：A．【典例2-4】已知双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦点在y轴上的椭圆以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点，且离心率为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交双曲线于另一点SKIPIF1<0，交椭圆于另一点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设所求椭圆的标准方程为SKIPIF1<0，半焦距为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，右顶点为SKIPIF1<0，由于椭圆SKIPIF1<0以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为顶点，则SKIPIF1<0，该椭圆的离心率为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，椭圆的方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0在椭圆上，点SKIPIF1<0在双曲线上，所以，SKIPIF1<0，联立得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，不满足题意舍去；当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.【典例2-5】已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，第一象限内的点SKIPIF1<0在椭圆上，且满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上，设SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0垂直，要使翻折后SKIPIF1<0的长度最小，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】在椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0为第一象限内的点，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，翻折前，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，翻折后，如下图所示：因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，则在翻折前，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：A.3、椭圆的综合应用【典例3-1】（多选）已知椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（

）A．|PQ|的最大值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0为定值C．椭圆上不存在点M，使得SKIPIF1<0D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为SKIPIF1<0【答案】BD【详解】如图所示：A.|PQ|的最大值为长轴长2SKIPIF1<0，故错误；B.易知SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正确；C.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故椭圆上存在点M，使得SKIPIF1<0，故错误；D.直线AB所在直线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则点P到直线AB的距离为SKIPIF1<0，其最大值为SKIPIF1<0，同理点Q到直线AB的最大值为SKIPIF1<0，所以四边形APBQ面积的最大值为SKIPIF1<0，故正确.故选：BD【典例3-2】（多选）过椭圆SKIPIF1<0的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0周长的最小值为18B．四边形SKIPIF1<0可能为矩形C．若直线PA斜率的取值范围是SKIPIF1<0，则直线PB斜率的取值范围是SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值为-1【答案】AC【详解】A：根据椭圆的对称性，SKIPIF1<0，当PQ为椭圆的短轴时，SKIPIF1<0有最小值8，所以SKIPIF1<0周长的最小值为18，正确；B：若四边形SKIPIF1<0为矩形，则点P，Q必在以SKIPIF1<0为直径的圆上，但此圆与椭圆SKIPIF1<0无交点，错误；C：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为直线PA斜率的范围是SKIPIF1<0，所以直线PB斜率的范围是SKIPIF1<0，正确；D：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，错误.故选：AC．【典例3-3】（多选）已知椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点分别为SKIPIF1<0，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则（

）A．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为定值C．C的焦距是短轴长的2倍 D．存在点A，使得SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】解：由题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以A正确，C错误；由椭圆的对称性知，SKIPIF1<0，所以B正确；当A在y轴上时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为钝角，所以存在点A，使得SKIPIF1<0，所以D正确.故选：ABD.【典例3-4】已知椭圆SKIPIF1<0的两焦点分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，短轴的一个端点为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)椭圆C上是否存在一点P，使得SKIPIF1<0?若存在，求SKIPIF1<0的面积；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由焦点坐标知SKIPIF1<0，由短轴端点SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故所求椭圆标准方程为SKIPIF1<0.(2)假设椭圆C上存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此方程无解.故椭圆上不存在点P，