新高考一轮复习核心考点讲与练考点08 三角恒等变换原卷版

考点08三角恒等变换（核心考点讲与练）一、任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.二、1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限三、解1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).[名师提醒]1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).2.cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).1.定义法求三角函数值的三种情况①已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解；②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值；③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．2.三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．3.“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．4.“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．5.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．三角函数的定义1.（2020湖北百所重点校高三联考）已知角SKIPIF1<0的终边经过点SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角SKIPIF1<0绕原点逆时针转SKIPIF1<0后，终边交单位圆于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0化简求值1.(2020湖北武汉模拟)SKIPIF1<0＝（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2022高三一轮复习联考（一）（全国1卷））已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.3.（2022河南省大联考）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<04.（2022云南省昆明市五华区高三模拟）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．5.(2020四川南充模拟)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.1.（2021年全国高考乙卷）SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<02.（2021年全国高考甲卷）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.（2021年全国新高考Ⅰ卷）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0一、单选题1．（2022·河北·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图象在区间SKIPIF1<0上有且只有1个最低点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·辽宁丹东·一模）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·四川广安·一模（理））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．0 D．SKIPIF1<04．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多选题5．（2022·江苏·南京市第一中学三模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·重庆·模拟预测）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中SKIPIF1<0，动点P在SKIPIF1<0上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧SKIPIF1<0于点Q，且SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）图1

图2A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值 D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0三、填空题8．（2022·广东湛江·二模）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.9．（2022·河北秦皇岛·二模）已知SKIPIF1<0为锐角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.10．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知函数SKIPIF1<0的图象与函数SKIPIF1<0的图象相邻的三个交点依次为A，B，C，且SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______．四、解答题11．（2022·天津·一模）在锐角SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知SKIPIF1<0.(1)求角B的大小；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值.12．（2022·广东惠州·一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0.13．（2022·四川雅安·二模）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)设SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且______，求SKIPIF1<0的取值范围．从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．14．（2022·全国·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF