新高考数学一轮复习 讲与练第25讲 直线的方程（解析版）

直线的方程学校____________姓名____________班级____________一、知识梳理1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π).(2)斜率公式①一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.2.直线的方向向量、法向量(1)直线的方向向量的定义一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.(2)直线方向向量的有关结论①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.②如果直线l的斜率为k，则(1，k)是直线l的一个方向向量.③若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝eq\f(y,x).(3)直线的法向量的定义一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线考点和典型例题1、直线的倾斜角与斜率【典例1-1】过点SKIPIF1<0的直线的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】过A、B的斜率为SKIPIF1<0，则该直线的倾斜角为SKIPIF1<0，故选：A．【典例1-2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线l与线段AB有公共点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线l与线段AB有公共点，所以由图可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选：D【典例1-3】直线SKIPIF1<0的倾斜角为（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】A【详解】直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.【典例1-4】如图，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由斜率的定义可知，SKIPIF1<0.故选：A．【典例1-5】直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，其倾斜角为SKIPIF1<0，现将直线SKIPIF1<0绕原点O逆时针旋转得到直线SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．-2【答案】B【详解】由题，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：B2、求直线的方程【典例2-1】过点SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0垂直的直线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：B．【典例2-2】已知过定点直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】直线SKIPIF1<0可变为SKIPIF1<0，所以过定点SKIPIF1<0，又因为直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距都是正值，可知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以直线与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以直线与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等，所以此时直线为：SKIPIF1<0.故选：C.【典例2-3】已知直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题意知：直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故选：C.【典例2-4】直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0轴正半轴､SKIPIF1<0轴正半轴交于SKIPIF1<0两点，当SKIPIF1<0面积最小时，直线SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】根据题意，直线SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0轴垂直，则其斜率存在，设为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此，直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等（舍去SKIPIF1<0），故SKIPIF1<0面积最小值为4，此时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C.【典例2-5】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的欧拉线的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】∵SKIPIF1<0，结合题意可知SKIPIF1<0的欧拉线即为线段SKIPIF1<0的垂直平分线SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，斜率SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0垂直平分线的斜率SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的欧拉线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：D．3、直线方程的综合应用【典例3-1】已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0可写成SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0必过定点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0相交，SKIPIF1<0由图象知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：A【典例3-2】SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上的中线所在的直线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分线所在直线方程为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0边所在直线的方程（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的中点坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0边所在直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：B【典例3-3】若点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于直线l对称，则l的方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意可知AB中点坐标是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为A，B关于直线l对称，所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，所以直线l的斜率为SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：A.【典例3-4】已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（

）A．x﹣y+2＝0 B．xSKIPIF1<0y+2＝0 C．xSKIPIF1<0y+2＝0 D．x﹣2y+2＝0【答案】D【详解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，又线段AC中点坐标为（2，2），SKIPIF1<0则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2SKIPIF1<0，即x﹣2y+2＝0．故选：D．【典例3-5】（多选）下列说法正确的是（

）A．过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的直线方程为SKIPIF1<0B．点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与两坐标轴围成的三角形的面积是2D．经过点SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴上截距都相等的直线方程为SKIPIF1<0【答案】BC【详解】对于A：当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的直线方程为SKIPIF1<0，故A不正确；对于B：点

(0,2)

与

(1,1)

的中点坐标SKIPIF1<0，

满足直线方程SKIPIF1<0,

并且两点的斜率为：

−1,

所以点

(0,2)

关于直线

y=x+1

的对称点为

(1,1)

，所以

B

正确；对于C：直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距分别为：

2,−2,

直线SKIPIF1<0与坐标轴围成的三角形的面积是SKIPIF1<0，所以C

正确；

对于D：经过点

(1,1)

且在

x

轴和

y

轴上截距都相等的直线方程为

x+y−2=0

或

y=x

，所以

D

不正确；故选：BC.【典例3-6】直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别过定点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标；(2)当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)证明见解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0【解析】(1)在直线SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，在直线SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0；(2)联立直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0.SK