高中必修四知识点试题

第一章三角函数

'正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2、角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a

为第几象限角.

第一象限角的集合为{a360。<a<h3600+90。/ez}

第二象限角的集合为{a\k-360°+90。<h360°+180°,攵ez}

第三象限角的集合为k•360°+180°<a<h360°+270°次ez}

第四象限角的集合为［a\k-360°+270°<a<k-360°+360°次GZ}

终边在x轴上的角的集合为{a|a=h180°/eZ}

终边在y轴上的角的集合为{a|a=h180。+90。,攵ez}

终边在坐标轴上的角的集合为{a卜=人90°«eZ}

3、与角a终边相同的角的集合为{，忸=h360。+a,正Z}

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

5、半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,则角«的弧度数的绝对值是.

r

6、弧度制与角度制的换算公式：2^=360°,1°=—,l=f—«57.3°.

180（万J

7、若扇形的圆心角为a（a为弧度制），半径为广，弧长为/,周长为C,面积为S,则

I=r\a\,C=2r+l,S=^lr=^\a\r2.

8、设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点P的坐标是（尤,y）,它与原点的距

离是7=J无2+y=〉0），贝（Jsina=2,cosa=—,tana=—（x^O）.

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正，第二象限正弦为正,

第三象限正切为正，第四象限余弦为正.

10、三角函数线：sina=MP,cosa=OM,tana=AT.

11角三角函数的基本关系：

(l)sin2ez4-cos2a=1(sin2a=1-cos2a,cos2a=1-sin2;

/c\Sina(.sina)g皿口十.

(2)------=tanasina=tanacosa,cosa=-------3)倒数关系:tanacota=1

cosa\tanaJ

12、函数的诱导公式：

(l)sin(2攵万+a)=sina,cos(2攵4+a)=cosa,tan(2^+dr)=tan(2(Z:GZ).

(2)sin(7r+a)=-sina；cos(4+a)=-cos。,tan("+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin(乃一a)=sina,cos(zr-a)=-cosa,tan(^r-a)=-tana.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

71

——+a=cosa

2

cos—+cr=-sina.

(2J

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.

13、①的图象上所有点向左（右）平移网个单位长度，得到函数,y=sin（x+夕）的图象；

再将函数y=sin（x+°）的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的《倍（纵坐标不

变），得到函数y=sin（s+0）的图象;再将函数y=sin®x+°）的图象上所有点的纵坐

标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（s+°）的图象.

②数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的,倍（纵坐标不变），得

CO

到函数

2

y=sino）x的图象;再将函数y=sin6yx的图象上所有点向左（右）平移必个单位长度，

CD

得到函数丁=sin（3+°）的图象；再将函数》=sin（8+⑴的图象上所有点的纵坐标伸

长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数y=Asin（。尢+夕）的图象.

14、函数y=Asin（s+e）（A>0,0>0）的性质：

①振幅：A;②周期：T=—；③频率：f=-=——；④相位：cox+（p;⑤初相：（P.

CDT2万

函数y=Asin（s;+0）+B，当了3时，取得最小值为为由；当行々时，取得最大值

11T

为Xnax,则A=Q（ymax-ymin）,B="（^max+^min）,耳=々一玉（％〈々）.

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

y=sinxy-cosxy-tanxy=cotx

▲▲

yy1：4

y=cotx

1:\

图象

；；\x

Y77-n0n..it

22\

定义\xk/r+—,keZ\xx丰kjt+土，keZ

[2[2

RR

域

值域[-1』[-1』RR

当当x=2kMk£Z）时，

“乃

X=2K7TH——Xnax=1；当既无最大值也无最小既无最大值也无最小

2

最值

x=2k7l+71

（丘z）时，B值

小eZ）时，3n=-l.

Xnax=1'当

3

X=2k7T--

2

(AeZ)时，

Nmin=T•

2/r2万7171

周期

性

奇偶奇函数偶函数奇函数奇函数

性

在

2k7r--,2k7r+—

_22J

在

生

[2%万一万,2%乃]（左GZ）

(,兀1万、

单调伏GZ)上是增函数;K7T-—,K7T+—\

上是增函数；在

性在

(ReZ)上是增函

[2%肛2左左+乃]

_.7C_.37r

2k7i-\——2k兀〜---敢.

L22_।（keZ）上是减函数.

(ZeZ)上是减函数.

对称中心

对称中心荷称中心对称中心

对称（左1,0）（女GZ）

（人乃+予0）（女GZ）:容。kGZ）（当,°卜eZ）

性对称轴

又寸称轴=上刀■（&）无对称轴

x=k兀+/{keZ）xeZ无又寸称5由

4

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量.数量:只有大小,没有方向的量.

有向线段的三要素：起点、方向、长度.零向量：长度为0的向量.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.

相等向量：长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连.

⑵平行四边形法则的特点：共起点.

⑶三角形不等式：同一愀卜忆+形同+忖.

⑷运算性质：①交换律：a+b^b+a;

②结合律：（a+^）+c=a+（^+c）;®a+O=b+a=a.

⑸坐标运算：设。,b=（x2,y2）,则。+很=（玉+々,必+必）.

18、向量减法运算：«-^=AC-AB=BC

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.

⑵坐标运算：设。=（王,必）,b={x2,y2），贝（]万一B=（王一必）•

设A、B两点的坐标分别为（％],弘），（孙必），则AB=（%-々，乂一%）.

19、向量数乘运算：

⑴实数％与向量M的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作/IM.

①同|=|刈同；

②当；1>0时，丸）的方向与口的方向相同；当丸<0时，4）的方向与口的方向相反；当

2=0时，25=6.

5

（2）运算律：①/!（〃））=行;+=+;（?）=Aa+Ab.

⑶坐标运算：设。=（x,y），则=4（x,y）=（/bc,/ly）.

20、向量共线定理：向量用2=0）与很共线，当且仅当有唯——个实数X，使B=府.

设。=（xi，yj,b={x2,y2）其中一声0，则当且仅当菁%-々y=0时，向量。、B倒王。）

共线.

21、平面向量基本定理：如果［、可是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面

内的任意向量之，有且只有一对实数4、4，使万=41+4窈.（不共线的向量1、Z作

为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点P是线段PF?上的一点，耳、P2的坐标分别是（%，X）,（9，必），

当年=2画时，点P的坐标是什*'*）.（当几=1时，就为中点公式。）

I1+41+4/

23、平面向量的数量积：

⑴方防=间可3吨W0,BW6,OY"18O°）.零向量与任一向量的数量积为0.

⑵性质股之和B都是非零向量，则①=0.②当方与B同向时，之名=|同W；

当5与B反向时，）/=—同W；无之=方2=同2或同=诉意.③卜同同.

（3）运算律：①方===;@（a+byc^a-c+b-c.

⑷坐标运算：设两个非零向量2=（七,x）,B=（马，必），则之•B=玉々+X必•

若。=（x,y）,则同2=x2+y2,或同=Jd+y2.设五=（百,%），很=（%，％），则

万_LB<=>百9+%%=0・

设d、B都是非零向量，2=（4凹），b=（x2,y2）,。是。与B的夹角，则

rnqn=m■坐

.同W&；；y：d"+y；'

知识链接：空间向量

6

空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，

求值的应用进行总结归纳.

1、直线的方向向量和平面的法向量

(1).直线的方向向量：

若A、B是直线/上的任意两点，则,豆为直线/的一个方向向量；与阳平行的任意非

零向量也是直线/的方向向量.

⑵.平面的法向量：

若向量3所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面打，记作3La,如果

nVa,那么向量n叫做平面a的法向量.

(3).平面的法向量的求法(待定系数法)：

①建立适当的坐标系.

②设平面a的法向量为n=(x,y,z).

③求出平面内两个不共线向量的坐标Z=(%,%,&)，»=(仇/2也).

，一一

n-a=O

④根据法向量定义建立方程组一_.

n-h=0

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面a的法向量.

7

1、用向量方法判定空间中的平行关系

（I）线线平行

设直线4,4的方向向量分别是，则要证明/J4，只需证明力।不，即1=比（％€/?）.

即：两直线平行或重合0两直线的方向向量共线。

⑵线面平行

①（法一）设直线/的方向向量是£,平面。的法向量是Z,则要证明/Ila,只需证明

a.Lu，即Q・〃=0.

即：直线与平面平行"直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外

②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方

向向量是共线向量即可.

（3）面面平行

若平面a的法向量为“，平面£的法向量为u,要证anp，只需证〃Ilv，即证w=/lv.

即：两平面平行或重合O两平面的法向量共线。

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直

设直线4,4的方向向量分别是九否，则要证明414,只需证明々，区,即=5=0.

即：两直线垂直o两直线的方向向量垂直。

（2）线面垂直

①（法一）设直线/的方向向量是Z,平面a的法向量是】，则要证明，只需证明］

IIu，即q=.

②（法二）设直线/的方向向量是£,平面a内的两个相交向量分别为百、7,若

8

,_—.

a-m=0…

__，则/_L。

a-n=0

即：直线与平面垂直o直线的方向向量与平面的法向量共线o直线的方向向量与平面

内两条不共线直线的方向向量都垂直。

（3）面面垂直

若平面a的法向量为U，平面P的法向量为V，要证aV/3，只需证"_Lu，即证M•v=0.

即：两平面垂直O两平面的法向量垂直。

4、利用向量求空间角

⑴求异面直线所成的角

已知。力为两异面直线，A,C与B,D分别是。力上的任意两点，a力所成的角为6,

ACBD

则cos。

⑵赛直线和平面所成的角

①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的

角・

②求法：设直线/的方向向量为々，平面a的法向量为％,直线与平面所成的角为。，a

与Z的夹角为e,则。为/的余角或°的补角

的余角.即有:

an

sin^=|cos(p\-

（3）求二面角

①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直

线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做

二面角的面.

9

二面角的平面角是指在二面角a-/一4的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作

射线A01l,B0Yl，则NA03为二面角a-1-p的平面角.

②求法：设二面角a-l-p的两个半平面的法向量分别为碗、［，再设蓝、3的夹角为

(P，二面角的平面角为。，则二面角。为石、［的夹角8或其补角%一°.

根据具体图形确定，是锐角或是钝角：

m-n

♦如果0是锐角，则cose=|cos°|==^,

nmn

m-n

BP6^=arccos;

m\\n

m-n

♦如果。是钝角，贝（Jcos9=-|cose|=zTipr

一m-一n、

即。=arccos-

5、:求空间距离

点Q到直线,距离

若Q为直线/外的一点,尸在直线/上,M为直线/的方向向量，B=而，则点Q到直线

I距离为。^^\a\\b\)2-(a-b)2

\a\

(2)点A到平面a的距离

若点夕为平面。外一点，点”为平面。内任一点,

平面a的法向量为［，贝IIP到平面a的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.

即4=1西cos^J叫

10

।___।n-MP

1।

M.两

口

⑶直线q与平面色之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面

的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

\n-MP\

即d'LpjA

⑷两平行平面%£之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

限而

即

⑸异面直线间的距离

设向量7与两异面直线都垂直，^^。，「^"则两异面直线兄匕间的距离^就是

MP在向量n方向上投影的绝对值。

\n-MP\

即1\一^.

6、三垂线定理及其逆定理

⑴三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也

和这条斜线垂直.

11

POLa,Oea

推理模式：PAna=A[=>aA.PA

aua,a_LOA

概括为：垂直于射影就垂直于斜线.

⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也

和这条斜线的射影垂直.

POJ_a,0ea

推理模式：PAfla=A，na_LA。

aua,aJ-AP

概括为：垂直于斜线就垂直于射影.

7,三余弦定理

设AC是平面a内的任一条直线AD是a的一条斜线AB在a内的射影，且BD±AD,

垂足为D.设AB与a(AD)所成的角为我,AD与AC所成的角为02,AB与AC所成的

角为。.贝(]cos。=cos伍cos2.

8、面积射影定理

已知平面月内一个多边形的面积为S(S®j,它在平面a内的射影图形的面积为

S'(S射)，平面a与平面£所成的二面角的大小为锐二面角。，则

cos^=—.

SS原

9、一个结论

12

长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为小，2、4，夹角分别为

4、％、。3,则有/=/：+/；+/；0cos26)+C0g2a+COS)4=1

222

<=>sin4+sin92+sin4=2.

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).

13

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

(i)cos(a-/)=cosacos/+sinasin〃;(2)cos(a+^)=cos6zcos^-sincrsin^;

⑶sin(a—/?)=sinacos〃一cosasin〃；@sin(a+/?)=sinacos〃+cosasin〃;

(tan。-tan〃=tan(a一夕)(1+tanatanQ));

/c、tana+tan

⑹皿…=■=>(tana+tan£=tan(a+/7)。-tanatan尸)).

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

(1)

sin2a=2sinacosa.=1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa产

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos21=1-2sin2a

=>升幕公式1+cosa=2cos2—,1-cos^z=2sin2—

22

cq-八32cos2a+ll-cos2cr

=>降曷公式cos-a=-------------,sin2a

22

26、万能公式

a

2tan—1-,tan2—。

•?

sma=----------------;cosa2

aa

1+tan9”一1+tan9-

22

-2tana

tan2a=------------

1-tan

27、

14

n(后两个不用判断符号，更加好

用)

28、合一变形n把两个三角函数的和或差化为"一个三角函数，一个角，一次方"的

y=Asin(g+0)+3形式。Asina+Bcosa=，A?+B?sin(a+夕)，其中tan°=1.

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，

灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：

(1)角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角

与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的

差异，使问题获解，对角的变形如：

①2a是a的二倍；4a是2a的二倍；a是巴的二倍；三是胃的二倍；

224

②15。=45。-300=60"-45"=双;问：sin—=;

212----------------

③a=(a+尸)一尸；+a=[-(£—a)；

424

JTTT

⑤2a=(a+Z7)+(a—B)—(—Fa)—(---a);等等

44

(2)函数各称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余

弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

(3)常数代换:在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例

如常数"1"的代换变形有：

1=sin2a+cos2a=tanacota-sin90°=tan45°

15

(4)幕的变换:降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处

理的方法。常用降幕公式有：；.降幕并非绝对，

有时需要升幕,如对无理式J1+cosa常用升鬲化为有理式，常用升幕公式

有：；；

(5)公式变形:三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

1+tana1-tana

如：--------=__________________；-------=________________；

1-tana1+tana

tana+tan〃=;1-tancrtan(3-;

tana-tanJ3=;14-tancrtan/?=;

2tana=;1-tan2a=;

tan200+tan40"+gtan20"tan400=;

sina+cosa-=;

asina+bcosa-=;(其

中tan0=;)

1+cosa-;1-cosa-;

(6)三角函数式的化简运算通常从：〃角、名、形、黑"四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理

化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：sin500(1+V3tan10")=;

tana-cota-(

16

I<HC课后强化作业

基础巩固强化

1.（文）（2011•广州检测）若sina<0且tana>0,则a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［答案］C

［解析］•••sina<0,「.a为第三、四象限角或终边落在y轴负半

轴上，

.tana>0,.'a为第一、三象限角，

「.a为第三象限角.

（理）（2011•绵阳二诊）已知角A同时满足siiL4>0且taiL4<0,贝lj角

A的终边一定落在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

I答案］B

［解析］由siiU>0且taiU<0可知，cos/<0,所以角力的终边一

定落在第二象限.选B.

2.（2010•安徽省168中学联考）已知集合/=｛（*,y）\y=sinx｝,

集合6=｛（x,j）［F=tanx｝,则/GE=（）

A.｛（0,0）｝

B.｛（7T,0）,（0,0）｝

C.｛（x,y）\K=kn,y=0,4WZ｝

D.0

借案］c

17

［解析］函数y=sinx与y=tanx图象的交点坐标为（Am0）,k

£Z.

3.设“=§曜，Z>=cosj,c=T，</=tanp则下列各式正确的是

o454

（）

A.a>b>d>cB.b>a>c>d

C.c>b>d>aD.c>d>b>a

I答案］D

［解析］因为“=b==,c=?>1,d=1,所以a<b<d<c.

/r4J

4.（文）（2010•河南新乡市模拟）已知角a终边上一点P（一

4«,3a）（«<0）,贝！hina的值为（）

,3^3

AqB.一耳

C.|D.4

5

【答案】B

［解析］a<0,->.r=-\l（~4a）2+（3a）2=-5a,

•*.sina=-=故选B.

r3

（理）（2010•河北正定中学模拟）已知角a终边上一点

p（siny,cosy^）,则角a的最小正值为（）

A,6nB,6

c5

C.铲D•于

［答案］B

18

［解析］由条件知，cosa=sin竺=sin?=坐

.2元711

sina=cos§=_cosj=~29

•••角a为第四象限角，」.a=2元-*故选B.

,,..,,,„.6sina+cosa,,„

5.已知点P（l,2）在角a的终边上，则二诂〃一工二〃的值为（）

A.3B.4v

I答案IB

［解析］由条件知tana=2,

6sina+cosa6tana+113

3sina-2cosa3tana-24"

6.(2010•广东佛山顺德区质检)函数作)=sinx在区间灯上是

增函数，且/(a)=—1,/(〃)=1,则cos9亭=()

A.0B.申

C.-1D.1

I答案ID

定7Ta+b

［解析］由条件知，〃=一不+2〃元(A€Z),/>=y+2kn,cos-3-

=cos2^71=1.

7.（2011•北京东城区质检）若点P（x,仍是300。角终边上异于原点

的一点，贝吐的值为.

［答案］一审

19

［解析］依题意，知己=121>300。=-tan60°=~\［3.

8.（2011•太原调研）已知角a的顶点在原点，始边与x轴正半轴

重合，点P（—4吗3〃1）（〃1>0）是角a终边上一点，贝（J2sina+cosa=

*

2

借案］5

［解析］由条件知x=-4m,y=3m,r=-\jx2+y2=5|»i|=5m,

..23x4

--sina==~,cosa=-=

r5r5

-2sina+cosa=

能力拓展提高

1.（文）（2011•深圳一调、山东济宁一模）已知点P（sin/,cos彳）落

在角夕的终边上，且夕£［0,2兀），则〃的值为（）

•兀437r

A.T4B.74

八57r、77r

［答案］D

3IT

［解析］由sin-^->0,cos^y）知角夕是第四象限的角，,「tan〃

3兀

cos^-_

477r

=~=-1,夕€［0,2兀），**.0=~T.

s«ny

（理）（2011•新课标全国理，5）已知角e的顶点与原点重合，始边

与X轴的正半轴重合，终边在直线>=2*上，贝IJcos20=（）

20

4

A.

5

C.|D.：

I答案］B

［解析］依题意：tan"±2,;.cos”土心,

23acos2^-sin20

二•cos2〃=2cos2〃-=厂1=-耳或32〃=荷〃+-2〃=

1-tan2，1-43

1+tan26>=1+4=-f故选B.

2.（2010•青岛市质检）已知｛%｝为等差数歹（J,若用+恁+的二元,

则cosa+ag）的值为（）

A.-1B.-平

4D善

［答案］A

［解析］由条件知，元=“1+%+。9=3%，•，-«5=3,

/、〜27rn1

COS(«2+48)=COS2%=COS-^-=—cos丁r故选A.

3.(2011•绵阳二诊)记a=sin(cos2010°),Z>=sin(sin2010°),c=

cos(sin2010°),rf=cos(cos2010°),则a、b、c、d中最大的是()

A.aB.b

C.cD.d

［答案］C

I解析］注意至U2010°=360°X5+180。+30。，因此sin2010°=-

21

sin30°=cos2010°=-cos30°=--y<-^<0,-?<-1

]S711sA/3

<0,0<T<^-<T,co%>cos;>0,a=sin（-,）=-sin^-<0,b=sin（-

/44乙/

：）=-sin^<0,c=cos（-；）=cosj>0,d=cos（-率）=co：

因此选c.

［点评］本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱

导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识

要求掌握熟练的小综合训练.

4.（文）（2010•北京西城区抽检）设0＜回＜£,则下列不等式中一定

成立的是（）

A.sin2a>sinaB.cos2a<cosa

C.tan2a>tanaD.cot2a<cota

借案］B

元

［解析］当-彳＜々＜0时，4C、O不成立•如a—不则2a=

n]

2<~J5tan2a=一木,tana=

r

看，cot2«=cota=一小,而一木〈一看,此时，cot2a＞cota.

（理）如图所示的程序框图，运行后输出结果为（）

22

开始

A.1B.2680

C.2010D.1340

［答案］C

(nnnn.”

懈析I,「/(〃)=2sin|jy+^|+1=2cos-y+1.由S=S+H〃)及n

=〃+1知此程序框图是计算数列%=2co号+1的前2010项的和.

7r+2c。号+1+2cos争1

即S2。cos§+上1i++

20107T

2cos+1

3

nIn37r20107r71

=2lcosj+cos-y+cos!T+…+COS-~+2010=2X335Xcos^

2元37r47r57r

+cos5+cos-y+COS亍+COS三+cosiy+2010=2010.

5.（文）（2010•南京调研）已知角a的终边经过点P（x,-6）,且tana

3

1则x的值为

［答案］10

23

-63

［解析］根据题意知tana=~^j=-《，所以x=10.

（理）已知/\ABC是锐角三角形，则点P（cosE-siivi,tanB—cotQ,

在第象限.

［答案］二

|解析|•••△4BC为锐角三角形，.

0<B<T,0<C<?,且4+B>T，B+O?>

7T九一c九一九一

-j?>0,5>B>5-OO,

,.j=sinx与y=tanx在0,号上都是增函数，

siivi>sinj-tanJ5>tan/-cj,

sin/Acos—tanB>cotC,在第二象限.

6.在（0,2元）内使sinx>cosx成立的x的取值范围是.

I答案］（小苧）

［解析］由三角函数定义结合三角函数线知，在（0,2兀）内，使

sinx>cosx成立的x的取值范围为。苧）.

［点评］要熟知单位圆中的三角函数线在三角函数值的大小中

的应用.

24

7.（文）（2010•上海嘉定区模拟）如图所示,角a的终边与单位圆（圆

心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点［cosa,|）,则cosa一

sina=<

7

借案］-5

3

［解析］由条件知，sina=三，

4.7

cosa=-g,「•cosa-sina=一g.

（理）直线歹=2*+l和圆/+y=1交于4，6两点，以x轴的正

方向为始边，04为终边（O是坐标原点）的角为a,05为终边的角为

fi,求sin（a+/?）的值.

25

I答案］-f

［解析］将y=2x+1代入Y+/=1中得，5x2+4x=0,/.x=0

4(431

或一g,•••4(0,1),5［一目,故

5Vsina=l,cosa=0,sinfi=

c4

COSjff=-g,

4

/•sin(a+0=sinacosy?+cosasin/?=-g.

8.（文）已知角a终边经过点P（x,一啦）（x关0）,且cosa=^-x.

求sina+忑匕；的值.

［解析］•.P（x,-啦）（xN0）,

二.点尸到原点的距离r=迎+2.

26

r近.x小

Xcosa=七x,…cosa=/,=4x.

6#+26

TxWO,；.x=；.r=2小.

当*=恒时，P点坐标为（师，一啦），

由三角函数的定义，有sina=一点，

••1_亚__6y［5+y［6

一sinatana~~6~^5~~6'

当x=-，］历时，同理可求得sina+马京=一

（理）已知sin。、cos。是方程d一（陋一l）x+/n=0的两根.

（1）求m的值；

sin，cosO

Q）求彳的值.

一cot。1—tan。

［解析］（1）由韦达定理可得

sin〃+cos。=5T①

sin，,cos〃=m②

由①得1+2sin^cos0=4-2班.

将②代入得利=不-巾，满足A=（小一1）2-4次20,

故所求m的值为|-巾.

sin。cosOsin。cos。

（2）先化简:+~+

1-cote1-tan。_cos。_sin。

sin，cos。

sin26>cos2^co』。-si，。

+=cos"+sin”

sin。-cos。cos。-sin，cos。-sin。

=y[3-l.

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BXTK备选题库

1.已知关于x的方程21—(巾+l)x+/〃=O的两根为sin，和

cos，，且夕£(0,2兀)，

八、分sin。.cosO占人告

()求的值；

11i—cot，1~—7t-an，

(2)求加的值；

(3)求方程的两根及此时0的值.

［解析］(1)由韦达定理可知

‘小+1

sin0+cos®=_2~①

m

②

Isin^-cos^=vL

__sin。cos。sin2^cos?。

而------+-------=---------+---------

1-cot，1-tan〃sin，-cos0cos，-sin，

V§+1

=sin。+cos。=-2~；

5

(2)由①两边平方得1+2sin，cos，=2™

将②代入得加=半；

(3)当阳=孚时，原方程变为

2x，-(1+小)x+*=0,解得为=乎，x2=p

28

rrjr

又'：：.或不

8£(0,2?r),.8=UJ

2.周长为20cm的扇形面积最大时，用该扇形卷成圆锥的侧面,

求此圆锥的体积.

［解析］设扇形半径为尸，弧长为/,则/+2—20,

20-2r,

S=jr/=^(20-2r)«r=(10-r),r,

・•・当r=5时，