新教材人教b版选择性必修第二册第四章4 . 2 .3 二项分布与超几何分布

4.2.3二项分布与超几何分布

新课程标准学业要求

1.理解«次独。:正复试验及二项分布.（数学抽象）

1.通过具体实例.掌握二项分布.并能解决

2.理解超几何分布及北推导过程.（数学抽象）

简单的实际问题.

3.能利用二项分布及超几何分布解决些简单的实际问题.（数学建模、数学

2.通过具体实例.了解超几何分布.并能解

运算）

决简单的实际问题.

I.灵活选择概率模邸解决实际问题.（数学建模、逻辑推理,

必备知识•自主学习

1.什么是n次伯努利试验（n次独立重复试验）?什么是一项分布？

导思

2.什么是超几何分布？

1.独立重复试验与二项分布

（l）n次独立重复试验

在相同条件下重复n次伯努利试验，约定这n次试验是相互独立的,

此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.

（2）二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p,记q=1-

p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围

是{0,1,…，k,…，n},而且P（X=k）=C[pkqn-k（k=0,1,2,...,

n）,因此X的分布列如下表所示

X01•••k•••n

nCpiqn-knkn

Pc?P°q・・•CPq-・•.就Pq°

由于表中的第二行中的概率值都是二项展开式（q+pF=

C2p°qn+C]pt*1」+…+心pkqn-k+...+CSpp。中对应项的值,因

此称X服从参数为n,p的二项分布，记作X~B(n,p).

思考？

(1)独立重复试验需要满足什么条件？

提示：①每次试验的条件相同；

②每次试验是相互独立的；

③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

⑵二项分布中各个参数的意义分别是什么？

提示：n表示试验的总次数；k表示在n次独立重复试验中成功的次

数；p表示试验成功的概率；1-p表示试验不成功的概率.

2.超几何分布

一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M<

N),从所有物品中随机取出n件(nSN)，则这n件中所含甲类物品件

数X是一个离散型随机变量,X能取不小于t且不大于s的所有自然

数，其中$是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n<N

-M耐取0,否则t取n减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M)),

而且P(X=k)=-M,k=t,t+l,S,X称为服从参数为N,

n,M的超几何分布，记作

X~H(N,n,M).

思考2

超几何分布概率公式有何特点?

提示：分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下标，分子两个

组合数的上标之和等于分母组合数的上标.

;基础小测

1.辨析记忆（对的打r"，错的打“X”）

⑴二项分布的参数是N,n,M,超几何分布中的参数是n,p.（）

（2）n次独立重复试验的结果可以有多种.（）

（3）超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.（）

提示：（l）x.二项分布的参数是n,p,超几何分布中的参数是N,n,

M.

（2）x.n次独立重复试验的结果只有两种.

（3）4.由超几何分布的概念可知.

2.（教材二次开发：练习改编）设8件产品中有2件次品，现从中抽

pl

取4件，则郎产表示（）

A.4件产品中有2件次品的概率

B.4件产品中有1件次品的概率

C.4件产品中有2件正品的概率

D.4件产品中有1件正品的概率

【解析】1表示从2件次品中任选1件，0表示从6件正品中任选3

件.

3.已知随机变量X服从二项分布，X~B（4,（，则成功概率为

【解析】由二项分布参数的意义知，成功概率为;.

答案］

关键能力•合作学习

类型一n次伯努利试验与二项分布（数学抽象、逻辑推理、数学运算）

【角度1】n次伯努利试验与二项分布概念的理解

【典例】下列随机变量X不服从二项分布的是（）

A.投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数

B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的，X为从

开始射击到击中目标所需要的射击次数

C.实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜

的次数

D.某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3,X表

示下载n次数据电脑被病毒感染的次数

【思路导引】先判断是否是独立重复试验，再判断试验结果是否是只

有两个.

【解析】选B.选项A：试验出现的结果只有两个，点数为6和点数不

为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为上，每一次试验都是独

立的，故随机变量X服从二项分布；选项B：虽然每一次试验的结果

只有两个，且每一次试验都是相互独立的，且概率不发生变化，但随

机变量X的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C：

甲、乙获胜的概率一定，且和为1,进行5次比赛，相当于进行了5

次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D：由二项分布的定义

可知，X~B（n,0.3）.

♦变式探究

在本例选项A中，求P（X=2）.

【解析】由题意,

所以p（x=2）y92（|卜二盘.

【角度2]求n次伯努利试验的概率与二项分布

【典例】I3,次1品率为:，现对该批电子管进行测试，设第X次首

次测到正品，则P（x=3）等于（）

2321

AC2X-BC2X-

3434

3321

cX-DX-

444

【解析】选C.X=3表示"第3次首次测到正品，而前两次都没有测到

正品"故其概率为2x1.

2.在一次物理考试中，第14题和第15题为选做题.规定每位考生

必须且只需在其中选做一题若4名考生选做这两题的可能性均为;.

⑴求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；

⑵设这4名考生中选做第15题的学生数为已求&的分布列.

【思路导引】(1)利用相互独立事件与互斥事件的概率公式解决；

(2)利用二项分布公式解决.

【解析】⑴设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”,

则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB+T¥”且事件A,

B相互独立.

所以P(AB+X5)=P(A)P(B)+P(云)P(~B)

(2)随机变量1的可能取值为0,1,2,3,4,且1~B,,.所以P©

=k)=CT[1斗…=c^[1)4(k=0,1,2,3,4).

所以随机变量1的分布列为

01234

11311

P

1648416

解题策略

解决二项分布问题的关注点

⑴判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性,

即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是

独立重复地进行了n次.

⑵当X服从二项分布时，应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功

概率p.

⑶对于公式P(X=k)=C>pk(l-p)n-k(k=O,1,2____n)必须在满

足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.

题组训练,

1.任意抛掷三枚硬币，恰有2枚正面朝上的概率为()

331

A-B-C二D-

4834

【解析】选B.抛一枚硬币，正面朝上的概率为g，则抛三枚硬币，

恰有2枚正面朝上的概率为P=C1[jj2=|.

2.已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都

为;，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每

次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的.

⑴第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X,求X的

分布列；

⑵第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共

有3次失败的概率.

【解析】(1)由题意,随机变量X可能取值为0,1,2,3,

则X〜B(3,gpP(X=0)=C3(00(1J)3二号,

P(X=1)=G@1(12=5，

1

P(X=2)=Ci@20.lj=1,

P(X=3)=Cg)31[)。=J..

所以X的分布列为

X0123

8421

P

279927

⑵第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败,3次成功，

每次试验又是相互独立的，

因此所求概率为P=&(1)3(1-1)3x3=热.

【补偿训练】

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该

电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概

率均为:，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变

量X的分布列.

【解析】可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做

了5次独立重复试验，故X~B（5,0,P（X=0）=C5（，°修）5=

32,P(X=1)=C；81]1|4嚼

243

2rn2⑵3so

P(X=2)=C5目同=243，

3①3⑵240

P(X=3)=C5[3J同=而，

p（x=4）Y&n）1=瑞,

P（x=5）=Ci成仔）°=会.所以x的分布列为

X012345

32808040101

P

243243243243243243

类型二超几何分布（数学抽象、数学建模）

【角度3】对超几何分布的理解

【典例】某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高

一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南

方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数匕

的分布列及P6<2）.

【思路导引】先写出匕所有可能的取值，求出每一个匕所对应的概率,

然后写出分布列，求出概率.

「003

【解析】由题意知，W的可能取值为0,1,2,3,则PC=0)=-^-

112clC318

=35"化=1卢丁=35，P("2)=b=三，%=3)=

它6_±

色—35.

所以随机变量1的分布列为

10123

112184

p

35353535

1I?13

P(”2)=P6=0)+P化=1)=方+方=行.

【角度4】求超几何分布的分布列

【典例】袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任

取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的

可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

⑵随机变量X的分布列.

【思路导引】⑴用古典概型的概率公式求解；

⑵用超几何分布公式求解.

【解析】(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件

…cgGGG2

1己为A,贝［jP（A）==3•

方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一

次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事

件B是对立事件.

_,C5C2c1112

因为P(B)=--=3，所以P(A)=1-3=3-

(2)由题意知，X所有可能的取值是2,3,4,5,

《c；+c；C1c；c，+c1心2

P(X=2)=一比—=30，P(X=3)=-瓦一二记,

底G+CJC3Cici+cicl8

P(X=4)=一瓦—=10，P(X=5)=-瓦一二石・

所以随机变量X的分布列为

X2345

1238

P

3015W15

♦变式探究

本例已知条件不变计算一次取球得分介于20分到40分之间的概率.

【解析厂一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)

2313

=P(X=3)+P(X=4)=E+fo=30-

♦解题策略

1.对超几何分布的三点说明

⑴超几何分布的模型是不放回抽样.

(2)超几何分布中的参数是M,N,n.

⑶超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同

学中的男生和女生等问题，往往由差异明显的两部分组成.

2.求超几何分布的分布列应关注的两点

⑴超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范

围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.

⑵超几何分布中，只要知道M,N,n,就可以利用公式求出X取不

同k的概率P(X=k),从而求出X的分布列.

题组训练\

1•从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，

求取得次品数为自的分布列.

【解析】设随机变量［表示取出次品的个数，则匕服从超几何分布,

其中N=15,M=2,n=3.它的可能取值为0,1,2,相应的概率依

「「

03_22

1

次为P©=o)=■-L■=

5535

GC彳312C泗31

P^=1)=~CIT=35-右2)=不"=35•

所以自的分布列为

012

22121

P

353535

2.现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率

1

为7-

⑴求7名学生中甲班的学生数；

⑵设所选2名学生中甲班的学生数为X,求X的分布列，并求所选2

名中甲班学生数不少于1名的概率.

M(M-1)

1029

【解析】(1)设甲班的学生数为M,由题意得与二3"=一前一

r

M(M-1)

7x6，整理得M2-M-6=0解得乂=3或乂=-2(舍去).

即7名学生中，甲班有3名.

(2)由题意知X服从参数N=7,M=3,n=2的超几何分布，其中X

rk「2-k

的所有可能取值为0,1,2.P(X=k)="C2(k=0,1,2),

C?戢62

即nnP(X=O)=~^1一二五=7

C；』124C，/_1

=五二

P(X=l)=-^2—q,P(X=2)==21=7•

所以X的分布列为

X012

241

P

777

415

由分布列知P(XN1)=P(X=1)+P(X=2)=]+y=亍.即所选2名中

甲班学生数不少于1名的概率为£.

【补偿训练】

一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，

编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为

1.现从袋中一次随机抽取3个球.

⑴求取出的3个球的颜色都不相同的概率；

⑵记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.

【解析】⑴从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n=Ci=20,

取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C；ClC;

=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P=4-

（2）由题意知X=0,1,2,3.

C1c!c=9

P（X=0）二段;而，P（x=l）=p-;厢.

C：C；9ci1

P（X=2）=-cT=20，P（X=3）二百二刃.

所以X的分布列为

X0123

1991

P

20202020

类型三几种分布问题的综合应用（数学建模、逻辑推理、数学运算）

【典例】一个袋子中有60个大小相同的球，其中有20个黄球、40

个白球，从中随机地摸出10个球作为样本，用X表示样本中黄球的

个数.

⑴有放回地摸球，求X的分布列；

⑵不放回地摸球，求X的分布列.

步骤内容

条件：①袋中有20个黄球、40个白球，从中随机地摸出

理解10个球；②用X表示样本中黄球的个数.

题意结论：⑴有放回地摸球，求X的分布列；⑵不放回地摸

球，求X的分布列.

思路对⑴，X服从二项分布，对⑵，X服从超几何分布，分别

探求求出相应的概率，列出分布列.

⑴对于有放回地摸球，每次摸到黄球的概率为:，且各次

试验之间的结果是独立的，因此X~N（10,；）,X的分布

列为

pik=P（X=k）=C]｛）扪x@1。”,k=o」，2，…，10.①

书写

⑵对于不放回地摸球，各次试验的结果不独立，X服从超

表达

几何分布，X的分布列为

「k「10-k

Jo/

p2k-P（X-k）-io,k-0,1,2,…，10.②

^60

注意书写的规范性：①也可以使用等式来表示分布列;②

注意概率分布模型的区分.

题后独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，超几

反思何分布的实际原型是不放回地抽样问题.

*解题策略

二项分布与超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的

分布规律.若N件产品中含有M件次品，当我们从这些产品中每次

抽取一件，共抽取n次进行检查时，若是有放回地抽样，则抽到的次

品数X服从的是二项分布，若是不放回地抽样且n<N,则抽到的次

品数X服从的是超几何分布.对于不放回地抽样，当n远远小于N

时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二

项分布近似.

跟踪训练\

盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2

个.若从中随机依次取出2个球，则放回抽取时所取出的2个球颜色

不同的概率等于不放回抽取时所取出的2个球颜色不同的

概率等于.

【解析】若放回抽取，设取得红球的个数为X,

则X~B(2,I)，取出2个颜色不同的球即事件“X=1”，

所以P(X=1)=Gx|x|=奈.若不放回抽取，设取得红球的个数为

plpl

Y,则Y~H(5,2,3),所以取到的2个球颜色不同的概率P二盗片

3

5,

【拓展延伸】

两点分布是一种特殊的二项分布，即n=1的二项分布.

【拓展训练】某人投弹击中目标的概率为P=0.8.

(1)求投弹一次，命中次数X的分布列；

⑵求重复10次投弹时，击中次数Y的分布列.

【解析】(DX服从两点分布，其分布列为

X01

P

⑵Y服从二项分布，即Y~B(10,0.8),其分布列为P(X=k)=Gokl°

-k,k=0,1,2,,10.

课堂检测•素养达标

1.某地人群中高血压的患病率为P，由该地区随机抽查n人，则()

A.样本患病率服从B(n,p)

B.n人中患高血压的人数X服从B(n,p)

C.患病人数与样本患病率均不服从B(