全国版2025届高考数学二轮复习专题检测四排列组合二项式定理理含解析

PAGE专题检测（四）排列、组合、二项式定理一、选择题1．(2024·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参与数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参与生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()A．48 B．72C．90 D．96解析：选D由于甲不参与生物竞赛，则支配甲参与另外3场竞赛或甲不参与任何竞赛．①当甲参与另外3场竞赛时，共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝72(种)选择方案；②当甲学生不参与任何竞赛时，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)选择方案．综上所述，全部参赛方案有72＋24＝96(种)．故选D.2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的绽开式中，有理项共有()A．1项 B．2项C．3项 D．4项解析：选Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－1)r·36－r·x6－r，令6－eq\f(3,2)r为整数，求得r＝0,2,4,6，共计4项．故选D.3．(2024·济南模拟)已知(2x－1)4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，则a2＝()A．18 B．24C．36 D．56解析：选B∵(2x－1)4＝[(2x－2)＋1]4＝[1＋(2x－2)]4＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4，∴a2＝Ceq\o\al(2,4)·22＝24.故选B.4．在(1－x)5(2x＋1)的绽开式中，含x4项的系数为()A．－5 B．－15C．－25 D．25解析：选B∵(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋Ceq\o\al(3,5)(－x)3＋…，∴在(1－x)5·(2x＋1)的绽开式中，含x4项的系数为5－2Ceq\o\al(3,5)＝－15.故选B.5．(2024·安庆模拟)在(eq\r(x)＋x)6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))5的绽开式中，eq\f(x4,y2)项的系数为()A．200 B．180C．150 D．120解析：选C(eq\r(x)＋x)6绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(eq\r(x))6－rxr＝Ceq\o\al(r,6)xeq\f(6＋r,2)，令eq\f(6＋r,2)＝4，得r＝2，则T3＝Ceq\o\al(2,6)xeq\f(6＋2,2)＝15x4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))5绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)))r＝Ceq\o\al(r,5)y－r，令r＝2可得T3＝Ceq\o\al(2,5)y－2＝10y－2.故eq\f(x4,y2)项的系数为15×10＝150.故选C.6．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A．1 B．243C．121 D．122解析：选B令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B.7．在某班进行的演讲竞赛中，共有5位选手参与，其中3位男生，2位女生，假如2位女生不能连着出场，且男生甲不能排在第一个出场，那么不同出场依次的排法种数为()A．12 B．24C．36 D．60解析：选D依据题意，分两种状况探讨：①第一个出场的是女生，则其次个出场的是男生，以后的出场依次随意排，排法有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(3,3)＝36(种)；②第一个出场的是除甲之外的剩余2位男生中的1位，将剩下2位男生排好，有Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)种状况，排好后，有3个空位可选，在其中任选2个支配2位女生，有Aeq\o\al(2,3)种状况，则此时的排法有Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝24(种)，则不同出场依次的排法种数为36＋24＝60.故选D.8．(2024·新余模拟)高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参与社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必需有班级要去，则不同的安排方案有()A．16种 B．18种C．37种 D．48种解析：选C满意题意的不同的安排方案有以下三类：①三个班中只有一个班去甲工厂有Ceq\o\al(1,3)×32＝27(种)方案；②三个班中只有两个班去甲工厂有Ceq\o\al(2,3)×3＝9(种)方案；③三个班都去甲工厂有1种方案．综上可知，共有27＋9＋1＝37(种)不同方案．故选C.9．某班上午有五节课，分别支配语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是()A．16 B．24C．8 D．12解析：选A依据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其依次，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)状况；②将这个整体与英语全排列，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)状况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，支配物理，有2种状况，则数学、物理的支配方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.故选A.10.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有()ABCDA．192种 B．128种C．96种 D．12种解析：选C依据题意，对于A，B两个方格，可在1,2,3,4中任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)状况，对于C，D两个方格，每个方格有4种状况，则共有4×4＝16(种)状况，则不同的填法共有16×6＝96(种)．故选C.11．在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))n的绽开式中恰好第五项的二项式系数最大，则绽开式中含有x2项的系数是()A．35 B．－35C．－56 D．56解析：选C由于第五项的二项式系数最大，所以n＝8.所以二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))8绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r(－x－1)r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，故绽开式中含有x2项的系数是(－1)3Ceq\o\al(3,8)＝－56.故选C.12．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出依次有如下要求：节目甲必需排在前三位，且节目丙、丁必需排在一起，则该校毕业典礼节目演出依次的编排方法共有()A．120种 B．156种C．188种 D．240种解析：选A依据题意，由于节目甲必需排在前三位，分3种状况探讨：①甲排在第一位，节目丙、丁必需排在一起，则丙、丁相邻的位置有4个，考虑两者的依次，有2种状况，将剩下的3个节目全排列，支配在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)支配方法，则此时有4×2×6＝48(种)编排方法；②甲排在其次位，节目丙、丁必需排在一起，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的依次，有2种状况，将剩下的3个节目全排列，支配在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)支配方法，则此时有3×2×6＝36(种)编排方法；③甲排在第三位，节目丙、丁必需排在一起，则丙、丁相邻的位置有3个，考虑两者的依次，有2种状况，将剩下的3个节目全排列，支配在其他三个位置，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)支配方法，则此时有3×2×6＝36(种)编排方法，则符合题意要求的编排方法有48＋36＋36＝120(种)．故选A.二、填空题13．(2024·郑州模拟)已知二项式(2x－3)n的绽开式中二项式系数之和为64，则绽开式中x2的系数为________．解析：由题意可知2n＝64，n＝6，即二项式为(2x－3)6，所以T5＝Ceq\o\al(4,6)(2x)2(－3)4＝4860x2，所以x2的系数为4860.答案：486014．(2024·上海浦东新区一模改编)已知二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的绽开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n＝________，绽开式中的第五项为________．解析：二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的绽开式中，前三项的二项式系数之和为Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝1＋n＋eq\f(nn－1,2)＝37，则n＝8，故绽开式中的第五项为Ceq\o\al(4,8)·eq\f(1,24)·x＝eq\f(35,8)x.答案：8eq\f(35,8)x15．为了迎接植树节的到来，某班现从6名男班委和4名女班委中选取3人，参与义务植树活动，若男、女班委至少各有一人，则不同选法的种数为________．解析：法一：(干脆法)男、女班委至少各有一人，不同的选法可分两类：第一类，男班委1人，女班委2人，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)种不同的选法；其次类，男班委2人，女班委1人，共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)种不同的选法．依据分类加法计数原理，不同的选法共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＝96(种)．法二：(间接法)从10名班委中任选3名，共有Ceq\o\al(3,10)种不同的选法；从6名男班委中任选3名，共有Ceq\o\al(3,6)种不同的选法；从4名女班委中任选3名，共有Ceq\o\al(3,4)种不同的选法．所以男、女班委至少各有一人，不同选法的种数为Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝96.答案：9616．某学校有5位老师参与某师范高校组织的暑期骨干老师培训，现有5个培训项目，每位老师可随意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位老师中的任何一位老师选择的状况数为________种．解析：分三步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共Ceq\o\al(3,5)种状况；其次步：5位老师分成两类：①选择选出的3个培训项目的老师人数分别为1人、1人、3人，共Ceq\o\al(3,5)种状况；