内蒙古包头市2025届高三数学上学期期末考试教学质量检测试题理含解析

PAGE24-内蒙古包头市2025届高三数学上学期期末考试教学质量检测试题理（含解析）留意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、考场、座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据集合的包含关系,即可求得参数的取值范围.【详解】集合,,即因为,则即故选:D【点睛】本题考查了集合的包含关系,求参数的取值范围,属于基础题.2.设复数满意，（是虚数单位），则复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】依据复数表达式,先表示出.由复数的运算求解,再依据复数的几何意义求得点所在象限.【详解】复数满意即由复数的运算化简可得在复平面内对应的点坐标为,所以位于第三象限故选:C【点睛】本题考查了复数的除法运算,复数的几何意义,属于基础题.3.已知，，则的值为（）A. B.2 C. D.18【答案】A【解析】【分析】依据向量的坐标运算,先求得,再依据模的坐标运算即可求解.【详解】依据向量的坐标运算,可得则故选:A【点睛】本题考查了向量的坐标运算,向量模的求法,属于基础题.4.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得导函数,依据切点求得斜线的斜率,再由点斜式即可求得方程.【详解】曲线则当时,所以在点处的切线方程,由点斜式可得化简可得故选:A【点睛】本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,属于基础题.5.甲、乙两班实行数学学问竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：班级参赛人数平均数中位数众数方差甲4583868582乙45838485133某同学分析上表后得到如下结论：①甲、乙两班学生的平均成果相同；②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分分为优秀）；③甲、乙两班成果为85分的学生人数比成果为其他值的学生人数多；④乙班成果波动比甲班小.其中正确结论有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】①看两班的平均数易知正确；②看两班的中位数正确；③看两班的众数正确；④看两班的方差.【详解】①从表看出甲、乙两班学生的平均成果相同，正确；②因为乙班的中位数比甲班的小，所以正确；③依据甲、乙两班的众数，所以正确；④因为乙班的方差比甲的大，所以波动比甲班大，所以错误故选：C.【点睛】本题主要考查了样本中的数字特征，还考查了理解辨析的实力，属于基础题.6.直线与平面平行的充要条件是（）A.直线上有多数个点不在平面内B.直线与平面内的一条直线平行C.直线与平面内的多数条直线都平行D.直线与平面内的随意一条直线都没有公共点【答案】D【解析】【分析】A.由多数个点不代表全部的点来推断，B.由线面平行的判定定理来推断，C.由多数个不代表全部的来推断D.由直线与平面平行的定义来推断.【详解】A.多数个点不是全部点，所以不正确；B.缺少直线在平面外，所以不正确；C.多数条直线不是全部的直线，所以不正确；D.由直线与平面平行的定义，正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行的定义及判定定理，还考查了理解辨析的实力，属于基础题.7.若抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，则（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】分别求得椭圆的上顶点和抛物线的焦点坐标，再利用重合求解.【详解】椭圆的上顶点是抛物线的焦点因为两点重合所以所以故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的实力，属于基础题.8.下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别作出这四个函数的图象，再依据条件来推断.【详解】A.的图象如下：最小正周期是不正确，B.的图象如下：最小正周期是不正确C.的图象如下：最小正周期是，在区间单调递增，正确D.的图象如下：最小正周期是，在区间单调递减，不正确故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，还考查了理解辨析的实力，属于中档题.9.已知，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据均值不等式，可有，则，，，，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。【详解】因为所以所以所以所以两边分别相加得当且仅当取等号故选：B【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的实力，属于中档题.10.若函数对随意，都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据分段函数,求得各区间的解析式,画出函数图像,即可通过图像求得的取值范围.【详解】函数当时,当时,当时,当时,当时,当时,函数值越来越小.画出函数图像如下图所示:由图像可知,对随意,不等式恒成立则令,解得所以当时满意恒成立故选:C【点睛】本题考查了分段函数解析式求法,周期性函数的解析式求法,数形结合法求参数的取值范围,属于中档题.11.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点.若，则双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求右顶点到条渐近线的距离，再依据，利用求解.【详解】因为双曲线：的右顶点为，双曲线的一条渐近线右顶点到一条渐近线的距离又因为，所以解得故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的实力，属于中档题.12.设，且，记，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先令，得到，所以，，，依据结构，构造函数，再利用单调性比较大小.【详解】设，所以，，，令则因为所以在上是增函数，又因为所以故选：A【点睛】本题主要考查了构造函数法比较数的大小，还考查了构造，论证的实力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上.）13.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的运用状况，从全校学生随机抽取了100人，发觉运用或支付方式的学生共有90人，运用支付方式的学生共有70人，，两种支付方式都运用的有60人，则该校运用支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为______.【答案】08【解析】【分析】依据题意,结合各组的关系,求得运用支付方式的学生人数,即可求得其估计值.【详解】全校抽取100人,运用或支付方式的学生共有90人,则不运用或支付方式的学生共有10人运用支付方式的学生有70人,,两种支付方式都运用的有60人,则仅运用方式的人数为人则仅运用方式的人数为人所以运用方式支付的总人数为人即运用支付方式的学生人数与该校学生总数比值的估计值为故答案为:【点睛】本题考查了集合在实际问题中的应用,依据数据估计总体,属于基础题.14.已知是定义在上的奇函数，当时，，若函数在区间上值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】依据奇函数性质,求得函数解析式.画出函数图像,结合函数图像即可分析出的取值范围.【详解】是定义在上的奇函数,所以当时,令则所以由奇函数性质可知所以,满意综上可知,画出函数图像如下图所示:若函数在区间上值域为,由函数图像可知,在上的值域为所以当时,解方程可得或（舍）所以当时能够满意值域为即故答案为:【点睛】本题考查了依据奇函数性质求函数解析式,数形结合法求参数的取值范围,属于中档题.15.在圆内接四边形中，，，，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理在中，有，在中，有再依据内接四边形对顶角互补，两式相加得再用正弦定理求解.【详解】依据题意在中，在中，又因为所以所以两式相减得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的实力，属于中档题.16.如图，棱长为1的正方体木块经过适当切割，得到棱数为12的正八面体（正多面体是由全等的正多边形围成的多面体）.已知面平行于正方体的下底面，且该正八面体的各顶点均在正方体的面上，若在侧面内，且该正八面体的体积为，则该正八面体的棱长为______，点到棱的距离为______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先明确正八面体中两个正四棱锥的高是，从而求得底面积，再依据底面是正方形求解.【详解】设正八面体的棱长为依据题意正八面体中两个正四棱锥的高是所以所以所以设点到棱的距离为依据题意故答案为：(1).(2).【点睛】本题主要考查了棱锥体积的有关计算，还考查了运算求解的实力，属于中档题.三、解答题（共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22，23题为选考题，考生依据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，侧面底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）依据题意可证明平面底面,由面面垂直的性质可证明平面;（2）由题意可证明,则以为坐标原点建立空间直角坐标系.写出各个点的坐标,并求得平面和平面的法向量,即可利用法向量法求得两个平面形成二面角的余弦值大小,结合同角三角函数关系式,即可求得求二面角的正弦值.【详解】（1）证明：∵底面是正方形,∴,∵侧面底面,侧面底面,∴由面面垂直的性质定理,得平面.（2）设,的中点为,的中点为,则,.由面面垂直的性质定理知平面,又平面,故.以为坐标原点,的方向为轴正方向,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.∵侧面为正三角形,∴,则,,,,∵为的中点,∴,∴,,设平面的法向量,则,即,即,所以可取,平面的法向量可取,于是,由同角三角函数关系式可求得所以,二面角的正弦值为.【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,利用法向量法求二面角夹角的余弦值,同角三角函数关系式的应用,属于中档题.18.设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，.（1）求和的通项公式；（2）记，，证明：，.【答案】（1）.（2）见解析【解析】【分析】（1）依据等差数列与等比数列的通项公式,即可代入得方程组,进而求得和的通项公式;（2）依据题意,可知为等差与等比乘积形式,利用错位相减法可求得的前n项和.依据前n项和的表达式,即可证明不等式成立.【详解】（1）设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则.由题意,得,解得：,故,.（2）∵,设数列的前项和为,∴①∴②∴①-②得：,∴,又∵,∴,,∴,即,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列通项公式的应用,错位相减法求数列的和,数列中不等式的证明,属于中档题.19.已知某校甲、乙、丙三个爱好小组的学生人数分别为36，24，24.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠质量的调查.（1）应从甲、乙、丙三个爱好小组的学生中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用表示抽取的3人中睡眠足够的学生人数，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）3人，2人，2人.（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依据各组人数和抽样比,即可求得各组抽取的人数.（2）依据独立重复试验中概率计算公式,可分别求得随机变量的概率,即可得其分布列.由数学期望公式,即可求得期望值.【详解】（1）由已知,甲、乙、丙三个爱好小组的学生人数之比为,由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个爱好小组中分别抽取3人,2人,2人.（2）随机变量的全部可能取值为0,1,2,3.则,所以,随机变量的分布列为0123随机变量的数学期望.【点睛】本题考查了分层抽样的特征和计算,独立重复试验概率的计算方法,离散型随机变量分布列及数学期望的求法,属于基础题.20.已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、的随意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积为、，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出点的坐标,代入椭圆方程,依据,可得方程组,求得的等量关系,结合焦距长即可求得,得椭圆方程.（2）探讨直线斜率存在与不存在两种状况.当斜率不存在时,易求得,即可求得;当斜率存在时,用点斜式表示出直线方程,联立椭圆,整理成关于的一元二次方程,利用韦达定理表示出.结合直线方程,即可表示出.将等式变形,结合基本不等式即可求得最大值.【详解】（1）椭圆：,点是椭圆上异于、的随意一点设点,则,①∵,②∴联立①②得,∴,又∵,∴,∴,即,∴,∴,∴椭圆的标准方程为.（2）由题意知,①当直线的斜率不存在时,,于是,②当直线的斜率存在时,设直线：,联立,得.设,,依据韦达定理,得,,于是,当且仅当时等号成立,综上,的最大值为.【点睛】本题考查了拖延标准方程的求法,过定点的直线与椭圆的位置关系,三角形面积的表示方法,利用基本不等式求最值,综合性较强,属于难题.21.已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；（2）若，且在区间上恒成立，求实数的取值范围；（3）若，且，探讨函数的单调性.【答案】（1）（2）.（3）见解析【解析】【分析】（1先求导，再由求解..（2）由，，在区间上恒成立，转化为在上恒成立，令，再用导数法求解.（3）由，，求导得，令，分，两种状况探讨.详解】（1）由题意，得，则，解得.（2）当时，，在区间上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，可得，单调递增；令，可得，单调递减；所以，即，故.（3）当时，，则，令，当时，，所以，在内，∴，∴单调递增，在内，∴，∴单调递减.当时，，令，解得或，所以，在和内，，∴，∴单调递增；在内，，∴，∴单调递减综上，当时，在上单调递增，在单调递减.当时，∴在和单调递增；在∴单调递减.【点睛】本