2024-2025学年新教材高中数学第五章数列5.2等差数列5.2.2.2等差数列习题课课时素养检测含解析新人教B版选择性必修第三册

PAGE六等差数列习题课(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.若数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,且a2=3a4-6,则S9等于 ()A.54 B.50 C.27【解析】选C.设{an}公差为d,则a4=a2+2d,所以a2=3(a2+2d)-6,2a2+6d-6=0,a2+3d=3,即a5=3,所以S9=QUOTE=9×a5=27.2.已知等差数列{an}的公差d≠0,Sn是其前n项和,若a1+a3+a5=-15,a2+a4+a6=-21,则QUOTES3的值是 ()A.-5 B.-QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.由等差数列性质知3a3=-15,3a4=-21,故a3=-5,a4=-7,则a2=-3.则QUOTES3=QUOTE×QUOTE=QUOTE=-QUOTE.3.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+n,则过P(1,a1),Q(2,a2)两点的直线的斜率是 ()A.1 B.2 C.3 【解析】选B.因为Sn=n2+n,所以a1=S1=2,a2=S2-S1=6-2=4.所以过P,Q两点直线的斜率k=QUOTE=QUOTE=2.4.若数列{an}的通项an=2n-6,设bn=|an|,则数列{bn}的前7项和为 ()A.14 B.24 C.26 【解析】选C.当n≤3时,an≤0,bn=|an|=-an=6-2n,即b1=4,b2=2,b3=0.当n>3时,an>0,bn=|an|=an=2n-6,即b4=2,b5=4,b6=6,b7=8.所以数列{bn}的前7项和为4+2+0+2+4+6+8=26.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列QUOTE的前100项和为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为a5=5,S5=15,所以QUOTE=15,所以a1=1.所以d=QUOTE=1,所以an=n.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE.则数列QUOTE的前100项的和为:T100=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.6.(多选题)等差数列{an}中,QUOTE是一个与n无关的常数,则该常数的可能值为()A.1 B.QUOTE C.2 D.3【解析】选AB.本题考查等差数列.设等差数列{an}的公差为d,则QUOTE=QUOTE为常数,则a1=d或d=0,QUOTE=QUOTE或1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6=______【解析】因为a2=3,a3+a4=9,所以a2+a3+a4=12,即3a3=12,故a3=4,a4=5,所以an=n+1,所以a1a6=2×答案:148.已知数列{an}满意an=11-2n,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=________.

【解析】原式=(a1+a2+a3+a4+a5)-(a6+a7+a8)=(9+7+5+3+1)-(-1-3-5)=34.答案:34三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.【解析】等差数列{an}的公差d=QUOTE=QUOTE=3,所以an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由an<0,得3n-63<0,即n<21.所以数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和,当n≤20时,Sn′=|a1|+|a2|+…+|an|=-a1-a2-…-an=-Sn=-QUOTE=-QUOTEn2+QUOTEn;当n>20时Sn′=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+QUOTE×3-2×QUOTE=QUOTEn2-QUOTEn+1260.所以数列{|an|}的前n项和Sn′=QUOTE10.已知Sn为各项均为正数的数列{an}的前n项和,a1∈(0,2),QUOTE+3an+2=6Sn.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=QUOTE,数列{bn}的前n项和为Tn,若对随意n∈N*,t≤4Tn恒成立,求实数t的最大值.【解析】(1)①当n=1时,QUOTE+3a1+2=6S1=6a1,即QUOTE-3a1+2=0,又因为a1∈(0,2),解得a1=1.②对随意n∈N*,由QUOTE+3an+2=6Sn知QUOTE+3an+1+2=6Sn+1,两式相减,得QUOTE-QUOTE+3(an+1-an)=6an+1,即(an+1+an)(an+1-an-3)=0,由an>0得an+1-an-3=0,即an+1-an=3,所以{an}是首项为1,公差为3的等差数列,所以an=1+3(n-1)=3n-2.(2)由an=3n-2得bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以Tn=b1+b2+…+bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因为Tn+1-Tn=QUOTE-QUOTE=QUOTE>0,所以Tn+1>Tn,即数列{Tn}是递增数列,所以t≤4Tn,QUOTE≤Tn,QUOTE≤T1=QUOTE,t≤1,所以实数t的最大值是1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.设公差为-2的等差数列{an},假如a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99等于()A.-182 B.-78 C.-148 D.-82【解析】选D.a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+…+a97)+2d×33=50+2×(-2)×33=-82.2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=0,且Sn≥-5对一切n∈N*恒成立,则此等差数列{an}的公差d的取值范围是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由S10=10a1+QUOTEd=0,所以a1=-QUOTEd.又Sn=na1+QUOTE=-QUOTEnd+QUOTEd=QUOTE(n2-10n)=QUOTE[(n-5)2-25].由Sn≥-5对一切n∈N*恒成立,得dn2-10dn+10≥0对一切n∈N*恒成立,所以d≥0且Δ≤0,所以0≤d≤QUOTE,所以d的取值范围是QUOTE.3.已知函数f(x)是(-1,+∞)上的单调函数,且函数y=f(x-2)的图像关于直线x=1对称,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{an}的前100项的和为 ()A.-200 B.-100 C.0 【解析】选B.因为函数y=f(x-2)的图像关于直线x=1对称,则函数f(x)的图像关于直线x=-1对称,又因为函数f(x)是(-1,+∞)上的单调函数,{an}是公差不为0的等差数列,f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,S100=QUOTE=50(a50+a51)=-100.4.(多选题)设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是 ()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值【解析】选ABD.由S5<S6得a1+a2+…+a5<a1+a2+…+a5+a6,即a6>0,又因为S6=S7,所以a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,所以a7=0,故B正确;同理由S7>S8,得a8<0,因为d=a7-a6<0,故A正确;而C选项S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,明显C选项是错误的.因为S5<S6,S6=S7>S8,所以S6与S7均为Sn的最大值,故D正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.若Sn是等差数列{an}的前n项和,且QUOTE=QUOTE,则QUOTE=________.

【解析】由QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,2a1=5d,而QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,满意a2+a8=6,S5=-5,则a6=________,Sn的最小值为________.

【解析】依题意得:QUOTE解得QUOTE所以a6=-5+10=5,Sn=-5n+QUOTE×2=n2-6n,当n=3时,Sn的最小值为-9.答案:5-97.已知数列{an}中a1=1,a2=2,当整数n>1时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=________.

【解析】因为数列{an}中,当整数n>1时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立⇔Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2⇔an+1-an=2(n>1).所以当n≥2时,{an}是以2为首项,2为公差的等差数列.所以S15=14a2+QUOTE×2+a1=14×2+QUOTE×2+1=211.答案:2118.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若1≤a1≤3,3≤a1+S3≤6,则QUOTE的取值范围是________.

【解析】在等差数列{an}中,a1+a3=2a2,所以S3=a1+a2+a3=3a2,又3≤a1+S3≤6,所以3≤a1+3a2≤6.由1≤a1≤3得QUOTE≤QUOTE≤1.所以1≤QUOTE≤6,即1≤1+QUOTE≤6,所以0≤QUOTE≤QUOTE.即QUOTE的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.已知数列{an},an∈N*,Sn是其前n项和,Sn=QUOTE(an+2)2.(1)求证:{an}是等差数列;(2)设bn=QUOTEan-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=QUOTE(a1+2)2,解得a1=2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=QUOTE(an+2)2-QUOTE(an-1+2)2,即8an=(an+2)2-(an-1+2)2,整理得(an-2)2-(an-1+2)2=0,即(an+an-1)(an-an-1-4)=0.因为an∈N*,所以an+an-1>0,所以an-an-1-4=0,即an-an-1=4(n≥2).故数列{an}是以2为首项,4为公差的等差数列.(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,因为bn=QUOTEan-30,且由(1)知,an=2+(n-1)×4=4n-2(n∈N*),所以bn=QUOTE(4n-2)-30=2n-31.故数列{bn}是单调递增的等差数列.令2n-31=0,得n=15QUOTE.因为n∈N*,所以当n≤15时,bn<0;当n≥16时,bn>0,即b1<b2<…<b15<0<b16<b17<….故当n=15时,Tn取得最小值,最小值为T15=QUOTE×15=-225.10.已知等差数列{an}(n∈N*)满意:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)令bn=QUOTE,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,所以a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.所以an=2n+1,Sn=n(n+2)(n∈N*).(2)因为an=2n+1,所以QUOTE-1=4n(n+1),所以bn=QUOTE=QUOTE.故Tn=b1+b2+…+bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以数列{bn}的前n项和Tn=QUOTE(n∈N*).【补偿训练】数列{an}中,a1=8,a4=2,且满意an+2-2an+1+an=0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Hn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Hn.【解析】(1)因为an+2-2an+1+an=0.所以an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1.所以{an}是等差数列且a1=8,a4=2,所以d=-2,an=a1+(n-1)d=10-2n.故an=10-2n(n∈N*).(2)因为an=10-2n,令an=0,得n=5.当n>5时,an<0;当n=5时,an=0;当n<5时,an>0.设Sn=a1+a2+…+an.所以当n>5时,Hn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-(a6+a7+…+an)=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn=n2-9n+40,当n≤5时,Hn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=9n-n2.所以Hn=QUOTE(n∈N*)