安徽省滁州市定远县重点中学2025届高三数学下学期4月模拟考试试题文含解析

PAGE25-安徽省滁州市定远县重点中学2025届高三数学下学期4月模拟考试试题文（含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先依据一元二次不等式计算出集合中表示元素范围,然后计算出的范围,最终依据交集的含义计算的结果.【详解】因为,所以即,所以,又因,所以.故选C.【点睛】本题考查集合的补集与交集混合运算,难度较易,留意一元二次不等式的解集的求解.2.已知是虚数单位，复数，若，则（）A.0 B.2 C. D.1【答案】A【解析】【分析】通过复数的除法运算得到，再由模的求法得到方程，求解即可.【详解】，因为，，即，解得：0故选A【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理实力与计算实力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.2024年1月1日，济南轨道交通号线试运行，济南轨道交通集团面对广阔市民开展“参观体验，征求看法”活动，市民可以通过济南地铁APP抢票，小陈抢到了三张体验票，打算从四位挚友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位与自己一起去参与体验活动，则小王被选中的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将全部符合要求的状况全部列出，然后选出符合要求的状况，利用古典概型的概率公式，得到答案.【详解】从四位挚友小王，小张，小刘，小李中随机选择两位，全部的状况有：（小王，小张）（小王，小刘）（小王，小李）（小张，小刘）（小张，小李）（小刘，小李），共6种符合要求，即包含小王的状况有：（小王，小张）（小王，小刘）（小王，小李）共3种,所以小王被选中的概率为故选B项.【点睛】本题考查古典概型的求法，属于简洁题.4.等比数列的各项均为实数，其前项和为,己知,则=(）A.32 B.16 C.4 D.64【答案】A【解析】【分析】通过探讨的取值状况，确定，利用等比数列的求和公式，建立方程组，求出和，进而求得的值．【详解】当公比时可得，代入，与冲突，所以.由等比数列的前项和公式，可得，两式相除，得，可解得或（舍），当时，代入原式可求得，则由等比数列的通项公式.故选：A.【点睛】本题主要考查了等比数列求和公式的应用，利用方程思想求出首项和公比，属于简洁题．5.依据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用表示第个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是()A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】依据方差公式，将其化简得，结合流程图得循环结束，可得，从而可得，从而可得出答案.【详解】由，循环退出时，知.，故程序框图①中要补充的语句是.故选B．【点睛】把茎叶图与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新奇，突出了高考中对创新实力的考查要求．算法表现形式有自然语言、程序框图、算法语句等三种．由于程序框图这一流程图形式与生产生活等实际问题联系亲密，既直观、易懂，又须要肯定的逻辑思维及推理实力，所以算法考查热点应是以客观题的形式考查程序框图这一内容．6.若对圆上随意一点，的取值与，无关，则实数a的取值范围是()A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】依据点到直线距离公式，转化为点到两条平行直线的距离之和来求解实数a的取值范围【详解】依题意表示到两条平行直线和的距离之和与无关，故两条平行直线和在圆的两侧，画出图像如下图所示，故圆心到直线的距离，解得或（舍去）故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7.函数的图象大致是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数为偶函数可解除C、D；由时，可解除B；即可得解.【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，由，可得函数为偶函数，故C、D错误；当时，由，可得，故B错误.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别和余弦函数的性质，属于基础题.8.已知平面对量、，满意，若，则向量、的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据，以及和，即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查依据向量的模长以及垂直关系求解向量夹角，难度较易.已知向量的模长求解向量的夹角时，可通过数量积计算公式进行化简求解.9.椭圆C：的左右顶点分别为，点P在C上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设P点坐标为，则，，，于是，故.∵∴.故选B.【考点定位】直线与椭圆的位置关系10.在正方体中，E是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系利用向量法求出直线与直线AB所成角的正弦值的最小值．【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，设0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，设平面的法向量y，，则，取，得，平面，，解得，，，设直线与直线AB所成角为，1，，，，，．直线与直线AB所成角的正弦值的最小值是．故选B．【点睛】本题考查线线角的正弦值的最小值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，函数与方程思想，是中档题．11.定义在上连续函数满意，且时，恒成立，则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】令，易得函数为奇函数，求导后即可得函数在上单调递减，转化条件得，即可得解.【详解】，，令，则，函数为奇函数，当时，，函数在上单调递减，又函数为连续函数，函数在上单调递减，不等式可转化为，即，，解得.故选：A.【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，考查了构造新函数和推理实力，属于中档题.12.已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由诱导公式及三角恒等变换得，转化条件得函数与的图象在上有两个交点，且，画出函数的图象，数形结合即可得解.【详解】，，原方程在区间上有两个根，即函数与的图象在上有两个交点，画出函数的图象，如图，数形结合可知，若要使函数与的图象在由两个交点，且，则.故选：D.【点睛】本题考查了诱导公式和三角恒等变换的综合应用，考查了三角函数的图象与性质及数形结合思想，属于中档题.第II卷（非选择题90分）二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.假如在前5小时消退了10%的污染物，那么污染物削减19%须要花费的时间为________小时．【答案】10【解析】前5小时污染物消退了10%，此时污染物剩下90%，即t＝5时，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.当污染物削减19%时，污染物剩下81%，此时P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即须要花费10小时．14.已知变量满意约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】【解析】作出可行域如图所示：设，由可行域易知．又由得：，即，而，所以的最小值为，所以，故填．点睛：本题将线性规划问题与函数的最大值问题相结合，突出了创新思路，首先要对参数分别，分别参数后求的最小值，这种处理变换式子的实力须要强化，然后换元为，结合可行域求出的取值范围，从而求出最值．15.如图，正方形的边长为，点分别在边上，且．将此正方形沿切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为________．【答案】【解析】分析：由题意首先确定几何体的空间结构，然后利用体积相等求得内切球半径，最终求解内切球的体积即可.详解：如图所示，在长宽高分别为的长方体中，三棱锥即为题中所给的四个面组成的三棱锥，该三棱锥的体积：，在△AB1C，由勾股定理易得：，由余弦定理可得：，则，故，该三棱锥的表面积为：，设三棱锥外接球半径为,则：，即：，该三棱锥的体积：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要仔细分析图形，明准确点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为__________．【答案】【解析】【分析】依据题意设，可得，依据双曲线的定义求得的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】设，则，依据双曲线的定义，有，即，.则，，所以，，故面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.解答直线与圆锥曲线位置关系题目时，首先依据题意画出曲线的图像，然后结合圆锥曲线的定义和题目所给已知条件来求解.利用题目所给等腰直角三角形，结合定义可求得直角三角形的边长，由此求得面积.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.某城市的公交公司为了便利市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流淌地段增设一个起点站，为了探讨车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系，经过调查得到如下数据：间隔时间（分钟）101112131415等侯人数（人）232526292831调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回来方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下：先用求得的线性回来方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若差值的肯定值不超过1，则称所求方程是“恰当回来方程”.（1）若选取的是后面4组数据，求关于的线性回来方程，并推断此方程是否是“恰当回来方程”；（2）为了使等候的乘客不超过35人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟？附：对于一组数据，，……，，其回来直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，【答案】（1），是；（2）18分钟.【解析】【分析】（1）由题意求出、、、，代入公式求得、即可求得线性回来方程；依据“恰当回来方程”的概念干脆推断即可得解；（2）令，解出后，即可得解.【详解】（1）由后面四组数据求得，，，，∴，.∴.当时，，而；当时，，而.∴求出的线性回来方程是“恰当回来方程”；（2）由，得，故间隔时间最多可设置为分钟.【点睛】本题考查了线性回来方程的求解及应用，考查了运算实力及对于新概念的理解，属于中档题.18.已知数列｛｝的前n项和Sn＝n2－5n(n∈N+）．（1）求数列｛｝的通项公式；（2）求数列｛｝的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式：，计算可得数列｛｝的通项公式；（2）结合（1）求得，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛｝的前项和.【详解】（1）因为，所以,时,也适合，所以（2）因为，所以两式作差得：化简得，所以.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题.“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应留意以下几点：①驾驭运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时留意最终一项的符号；③求和时留意项数别出错；④最终结果肯定不能遗忘等式两边同时除以.19.如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将，分别沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于点M．(1)求证：；(2)求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）在正方形ABCD中，有，，在三棱锥中，可得，，由线面垂直的判定可得面MEF，则；（2）由E、F分别是AB、BC边的中点，可得，求出三角形MEF的面积，结合及棱锥体积公式求解．【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，，，在三棱锥中，有，，且，面MEF，则；（2）解：、F分别是边长为2的正方形ABCD中AB、BC边的中点，，，由（1）知，．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查棱锥体积的求法，是中档题．20.设函数.（Ⅰ）探讨函数的单调性；（Ⅱ）若函数的极大值点为，证明：.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）的定义域为，，据此分类探讨可得：当时，函数在区间单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，原问题等价于证明.构造函数，结合导函数的特征再次构造函数，结合函数的性质即可证得题中的结论.详解：（Ⅰ）的定义域为，，当时，，则函数在区间单调递增；当时，由得，由得.所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，由得，由得，所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减.综上所述，当时，函数在区间单调递增；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知且时，解得.，要证，即证，即证：.令，则.令，易见函数在区间上单调递增.而，，所以在区间上存在唯一的实数，使得，即，且时，时.故在上递减，在上递增.∴.又，∴.∴成立，即成立.点睛：导数是探讨函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是中学数学中重要的学问点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都特别突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，推断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．21.动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】【分析】（1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x2=2y得出轨迹方程；（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式化简|k1﹣k2|，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（Ⅰ）设点，则由得，因点在抛物线上，（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率肯定存在，设点，联立得由韦达定理得（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得（2）当直线不经过点即且时，，所以的最小值为.方法二：同上故，所以的最小值为方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：化简整理得：，令，则【点睛】本题考查