2024-2025学年高中数学综合检测课时跟踪训练含解析新人教A版必修5

PAGE综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是()A．若ac＞bc⇒a＞b B．若a2＞b2⇒a＞bC．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)⇒a＜b D．若eq\r(a)＜eq\r(b)⇒a3＜b3解析：选项A，当c＜0时，ac＞bc⇒a＞b，故A错误；选项B，令a＝－2，b＝0，a2＞b2⇒a＞b，故B错误；选项C，令a＝1，b＝－1，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)⇒a＜b，故C错误．答案：D2．在△ABC中，已知a＝eq\r(2)，b＝2，B＝45°，则角A＝()A．30°或150° B．60°或120°C．60° D．30°解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(\r(2),2)sin45°＝eq\f(1,2)，又因为b＞a，故A＝30°.答案：D3．已知等比数列{an}满意a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,8)解析：设等比数列{an}的公比为q，a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2×a1q4＝4(a1q3－1)，∴eq\f(1,16)×q6＝4(eq\f(1,4)×q3－1)，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝eq\f(1,2).故选C.答案：C4．若a＞b，则下列各式正确的是()A．a·lgx＞b·lgx B．ax2＞bx2C．a2＞b2 D．a·2x＞b·2x解析：已知a＞b，选项A，由已知不等式两边同乘lgx得到，由不等式的性质可知，当lgx＞0时，a·lgx＞b·lgx；当lgx＝0时，a·lgx＝b·lgx；当lgx＜0时，a·lgx＜b·lgx．故该选项不正确．选项B，由已知不等式两边同乘x2得到，由不等式的性质可知，当x2＞0时，ax2＞bx2；当x2＝0时，ax2＝bx2.故该选项不正确．选项C，由已知不等式两边平方得到，由不等式的性质可知，当a＞b＞0时，a2＞b2；当a＞0＞b且|a|＜|b|时，a2＜b2.故该选项不正确．选项D，由已知不等式两边同乘2x得到，且2x＞0，所以a·2x＞b·2x.故该选项正确．答案：D5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100项和为()A.eq\f(100,101) B．eq\f(99,101)C.eq\f(99,100) D.eq\f(101,100)解析：由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，∴d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝1，a1＝1，∴an＝n，eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前100项和T100＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,100)－eq\f(1,101)＝1－eq\f(1,101)＝eq\f(100,101)，故选A.答案：A6．已知△ABC的面积为5eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，AB＝5，则BC＝()A．2eq\r(3) B．2eq\r(6)C．3eq\r(2) D.eq\r(13)解析：因为A＝eq\f(π,6)，AB＝5，△ABC的面积为5eq\r(3)＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(1,2)×5×AC×eq\f(1,2)，所以解得：AC＝4eq\r(3)，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cosA)＝eq\r(25＋48－2×5×4\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(13).答案：D7．设集合P＝{m|－1＜m＜0}，Q＝{m∈R|mx2＋4mx－4＜0对随意实数x恒成立}，则下列关系式中成立的是()A．PQ B．QPC．P＝Q D．P∩Q＝∅解析：当m＝0时，－4＜0对随意实数x∈R恒成立；当m≠0时，由mx2＋4mx－4＜0对随意实数x∈R恒成立可得．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝16m2＋16m＜0，))解得－1＜m＜0，综上所述，Q＝{m|－1＜m≤0}，所以PQ.答案：A8．已知an＝eq\f(3,2n－101)(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn＞0的n的最小值为()A．99 B．100C．101 D．102解析：由通项公式得a1＋a100＝a2＋a99＝a3＋a98＝…＝a50＋a51＝0，a101＝eq\f(3,101)＞0，故选C.答案：C9.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A．20eq\r(6)海里 B．40eq\r(6)海里C．20(1＋eq\r(3))海里 D．40海里解析：连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得eq\f(AD,sin30°)＝eq\f(40,sin45°)，所以AD＝20eq\r(2)，在Rt△BCD中，因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，所以BD＝eq\r(2)CD＝40eq\r(2).在△ABD中，由余弦定理得AB＝eq\r(800＋3200－2×20\r(2)×40\r(2)×cos60°)＝20eq\r(6).答案：A10．△ABC的三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若直线bx＋(a－c)y＋1＝0与直线(a－b)x－(a＋c)y＋1＝0垂直，则角C的大小为()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3) D.eq\f(5π,6)解析：由已知条件得b(a－b)－(a－c)(a＋c)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2).又0＜C＜π，所以C＝eq\f(π,3).答案：B11．设实数x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤0，,x≤2，,y≥\f(1,2)，))则2x＋eq\f(1,y)的最小值为()A.eq\r(2) B．eq\r(3)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)解析：由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－x≤0，,x≤2，,y≥\f(1,2)))可知，x，y∈(0，＋∞)，∵y≤x，∴2x＋eq\f(1,y)≥2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2).(当且仅当x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立)，即2x＋eq\f(1,y)的最小值为2eq\r(2)，故选C.答案：C12．已知数列{an}满意an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝eq\f(π,2)，若函数f(x)＝sin2x＋2cos2eq\f(x,2)，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为()A．0 B．－9C．9 D．1解析：由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin2x＋cosx＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin2x－cosx＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2.∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))则z＝x－2y的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)z，作直线y＝eq\f(1,2)x并平移，视察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.答案：－514．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是________．解析：因为ln(a＋b)＝0，所以a＋b＝1所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2＝4.当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．即eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为4.答案：415．已知数列{an}满意a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2016＝________.解析：∵数列{an}满意a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1②.∵①÷②得eq\f(an＋1,an－1)＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2016＝eq\f(1－21008,1－2)＋eq\f(2×1－21008,1－2)＝3×21008－3.答案：3×21008－316．有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线的地方有一个已知条件看不清，详细如下：在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B＝45°，a＝eq\r(3)，________.求角A.若已知正确答案为A＝60°，且必需运用全部条件才能解得，请写出一个符合要求的已知条件．解析：在△ABC中，若已知B＝45°，a＝eq\r(3)，A＝60°，则C＝180°－45°－60°＝75°.由正弦定理得AB＝eq\f(BCsinC,sinA)＝eq\f(\r(3)×sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，所以已知条件可填AB＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，另外，若填C＝75°则未运用全部条件，若填AC的长度，求出A＝60°或120°，不合题意．答案：AB＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满意eq\r(3)acosC－csinA＝0.(1)求角C的大小．(2)已知b＝4，△ABC的面积为6eq\r(3)，求边长c的值．解析：(1)在△ABC中，由正弦定理得：eq\r(3)sinAcosC－sinCsinA＝0.因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而eq\r(3)cosC＝sinC，又cosC≠0，所以tanC＝eq\r(3).所以C＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)×4a×sineq\f(π,3)＝6eq\r(3)，得a＝6，由余弦定理得：c2＝62＋42－2×6×4coseq\f(π,3)＝28，所以c＝2eq\r(7).18．(12分)已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解析：法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0，,a＜－1，,g－1≥0，))解得－3≤a≤1.19．(12分)已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))的前n项和．解析：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝eq\f(1,2)，从而a1＝eq\f(3,2)，所以{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2)n＋1.(2)设eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))的前n项和为Sn，由(1)知eq\f(an,2n)＝eq\f(n＋2,2n＋1)，Sn＝eq\f(3,22)＋eq\f(4,23)＋…＋eq\f(n＋1,2n)＋eq\f(n＋2,2n＋1)，eq\f(1,2)Sn＝eq\f(3,23)＋eq\f(4,24)＋…＋eq\f(n＋1,2n＋1)＋eq\f(n＋2,2n＋2)，两式相减得eq\f(1,2)Sn＝eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,23)＋…＋\f(1,2n＋1)))－eq\f(n＋2,2n＋2)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n－1)))－eq\f(n＋2,2n＋2).所以Sn＝2－eq\f(n＋4,2n＋1).20．(12分)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满意：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f(x1)＞f(x2)成立．设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)．(1)求f(x)的表达式；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)∵f(x)≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.当a＝4时，函数f(x)＝x2－4x＋4在(0,2)上递减，故存在0＜x1＜x2，使f(x1)＞f(x2)成立；而当a＝0时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上递增，不合题意．故a＝4，f(x)＝x2－4x＋4.(2)由(1)知，Sn＝n2－4n＋4.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋4)－[(n－1)2－4(n－1)＋4]＝2n－5，当n＝1时，a1＝S1＝1不适合上式，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,2n－5，n≥2.))21．(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，S2015＝0.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使其满意an≥Sn.解析：(1)设公差为d，则由S2015＝0⇒2015a1＋eq\f(2015×2014,2)d＝0⇒a1＋1007d＝0，d＝－eq\f(1,1007)a1，a1＋an＝eq\f(2015－n,1007)a1，所以Sn＝eq\f(n,2)(a1＋an)＝eq\f(n,2)·eq\f(2015－n,1007)a1＝eq\f(a1,2014)(2015n－n2)．因为a1＜0，n∈N*，所以当n＝1007或1008时，Sn取最小值504a1.(2)an＝eq\f(1008－n,1007)a1，Sn≤an⇔eq\f(a1,2014)(2015n－n2)≤eq\f(1008－n,1007)a1.因为a1＜0，所以n2－2017n＋2016≤0，即(n－1)(n－2016)≤0，解得1≤n≤2016.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2016，n∈N*}．22．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2).(1)求角B的大小；(2)若等差数列{an}的公差不为零，且a1cos2B＝1，a2，a4，a8是等比数列，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,anan＋1)))的前n项和Sn.并证明：eq\f(1,2)≤Sn＜1.解析：(1)由a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq\r(3)bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2).∵0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,6)